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2025-2026学年福建省福州市仓山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形具有稳定性的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列各式为最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在 ABCD中，∠A+∠C=110°，则∠A的度数为（　　）
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
4.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10
5.不等式组的解集是（　　）
A. x＞1 B. C. D.
6.下列各式计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
7.正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等
8.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何.意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面的高度x尺.根据题意，可列方程为（　　）
A. x2+32=102
B. （10-x）2+32=x2
C. x2+32=（10-x）2
D. x2+（10-x）2=32
9.如图，在△ABC中，AC=10，BC=14，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，F在线段DE上，若∠AFC=90°，则DF的长为（　　）
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
10.如图是一张7×7的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（　　）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12.“比a的2倍小1的数”用代数式表示是 ．
13.在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形ABCD的周长为 .
14.如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB=∠ADB=90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE.若∠CED=100°，则∠CBD的度数为 .
15.如图，在 ABCD中，∠BAD=60°，AE、BF分别是∠BAD、∠ABC的平分线分别交CD于点E、F，AE交BF于点O，若AB=6，BC=4，则OF的长为 .
16.如图，在正方形ABCD中，以线段BC为边在正方形内作等边△BCE，点M，N分别是BE，CD上的点，且BM=DN.若AB=2，则MN的最小值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
若一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个正多边形一个内角的度数.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是BC上一点，若DF∥BE，求证：F是BC的中点.
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，，，连接AC，若AB⊥BC，判断AD和CD的位置关系，并说明理由.
22.(本小题10分)
已知.
（1）求A的最小值；
（2）若A=a+b+5，求A的值.
23.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线.
（1）尺规作图：在CD，AD，AC上分别取点E，F，G，使得四边形CEFG为菱形（要求：保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长EG交AB于点P，若DF=1，求BP的长.
24.(本小题12分)
综合实践
【问题背景】
勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝.其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.据说其证明方法有400余种.现有三种可用来证明勾股定理的图形：
图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形；
图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形；
这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为a,b,斜边长为c.
（1）【探索求证】
请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理.
（2）【深入实践】
同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边a,b,c之间除了满足a2+b2=c2，还有其他的关系，如：若a≠b,则，请证明这个结论.
（3）【拓展迁移】
如图4，△ACE，△ABD，△BCF分别是以Rt△ABC的三边为一边的等边三角形.若Rt△ABC的面积为S1，△AEP的面积为S2，四边形DPCQ的面积为S3，△BFQ的面积为S4，试判断S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由.
25.(本小题14分)
如图，在菱形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作ME⊥CD于点E，连接并延长DM交BC于点F.
（1）如图1，当∠BAC=∠CDF时.
①求证：CE=DE；
②若点F恰为边BC的中点，求证：AM=DF+ME.
（2）如图2，若∠B=120°，AD=AM.求证：.
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.C
6.D
7.B
8.C
9.C
10.A
11.x≥3
12.2a-1
13.20
14.130°
15.1
16.
17.．
18.120°．
19.．
20.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，即DE∥BF，
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴F是BC的中点．
21.AD⊥CD，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴，
∵，，
∴，
又AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠D=90°，
∴AD⊥CD．
22.3 13
23.如图，四边形CEFG即为所求，

24.选图1：
大正方形边长为c，因此大正方形面积，
大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为（b-a）的小正方形组成，因此总面积也可表示为：，
因此a2+b2=c2，勾股定理得证．
选图2：大正方形边长a+b，面积，
整理得a2+b2=c2，勾股定理得证．
选图3：梯形面积，
整理得a2+b2=c2，勾股定理得证 证明：由题意可得：
要证，两边平方等价于证明（a+b）2＜2c2，整理得a2+2ab+b2＜2c2，
结合勾股定理a2+b2=c2，代入得：a2+2ab+b2＜2（a2+b2），
整理得（a-b）2＞0，
∵a≠b，
∴该式恒成立，
因此原不等式得证 S1+S3=S2+S4．
理由：△ACE，△ABD，△BCF分别是以Rt△ABC的三边为一边的等边三角形．若Rt△ABC的面积为S1，△AEP的面积为S2，四边形DPCQ的面积为S3，△BFQ的面积为S4，则：
设Rt△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，
过点E，F，D分别作EG⊥AC，FH⊥BC，DK⊥AB，
由题意可得：∠EAC=∠FBC=∠DBA=60°，
∴∠AEG=∠BFH=∠BDK=30°，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴，
∵S△ACE=S2+S△APC，S△BCF=S4+S△BQC，S△ABD=S1+S3+S△APC+S△BQC．
将前两式相加，代入S△ACE+S△BCF=S△ABD，消去相同项后整理得：S1+S3=S2+S4
25.①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，且BC=CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠CDF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE；②如图，分别延长AB、DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠CDF，
∵∠BAC=∠CDF，
∴∠G=∠BAC，
∴MG=MA，
在△CDF和△BGF中，
，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
∵BC=CD，点F，E分别是BC，CD的中点，
∴，
在△CEM和△CFM中，
，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
∵AM=GM，GM=GF+MF，GF=DF，MF=ME，
∴AM=DF+ME 如图，过点C作CN⊥CD交DF延长线于点N，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠B=∠ADC=120°，AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形，∠ACD=∠DAC=30°，
∵AD=AM，
∴△ADM是等腰三角形，
∴，
∴∠MDE=∠ADC-∠ADM=45°，
∵ME⊥CD，
∴△MED是等腰直角三角形，
∴，
∵∠FDC=45°，∠DCN=90°，
∴△NCD是等腰直角三角形，
∴NC=CD，，∠N=∠CDM=45°，
∴∠NCF=∠DCN-∠BCD=30°，
∴∠NCF=∠DCM=30°，
在△NCF和△DCM中，
，
∴△NCF≌△DCM（ASA），
∴NF=DM，
又∵CD=AD=AM，
∴，
∴DN=DF+NF，即，
∴
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