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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.1.1三角形内角和定理第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.1.1三角形内角和定理”核心知识点设计，重点考查三角形内角和定理的定义、证明方法、简单应用及角度计算，熟练运用定理解决三角形内角求值、角度关系判断、多三角形综合计算等问题，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握定理的推导过程与解题规范，规避角度计算、定理应用中的常见失误。一、基础梳理（必记内容）（一）三角形内角和定理核心知识点1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°（即$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$，其中$$\angle A、\angle B、\angle C$$是三角形的三个内角）。2.定理核心说明：①该定理适用于所有三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立）；②三角形的三个内角中，最多有1个直角（90°）或1个钝角（大于90°小于180°），其余两个角必为锐角（小于90°）。3.定理的简单证明思路（核心方法）：-（1）剪拼法：将三角形的三个内角剪下来，拼成一个平角（平角为180°），直观验证内角和为180°；-（2）推理证明法（重点）：通过作辅助线（如过三角形一个顶点作对边的平行线），利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等），将三角形的三个内角转化为一个平角，严谨证明定理。4.定理的基本应用步骤：-（1）审：审题，明确题目中已知的三角形内角角度，确定要求解的未知角；-（2）用：根据三角形内角和定理，列出等式（三个内角和为180°）；-（3）解：代入已知角度，求解未知角的度数；-（4）验：检验计算结果是否合理（三个角的和是否为180°，角度是否符合三角形内角的取值范围）。5.常见拓展：①直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和为90°）；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（后续知识点铺垫）。6.易错提醒：①混淆三角形内角和与外角和（内角和为180°，外角和为360°）；②计算时漏加或错加角度，导致结果错误；③证明定理时，辅助线作法错误或不会利用平行线性质转化角度；④已知两个角求第三个角时，忽略三角形内角的取值范围（每个角大于0°小于180°）。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于三角形内角和定理的说法，正确的是（）A.三角形的内角和为180°，仅适用于锐角三角形B.钝角三角形的内角和大于180°，锐角三角形的内角和小于180°C.任意三角形的三个内角的和都等于180°D.直角三角形的内角和为90°2.在△ABC中，若$$\angle A = 30^\circ$$，$$\angle B = 60^\circ$$，则$$\angle C$$的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3.已知一个三角形的两个内角分别为50°和70°，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定4.在Rt△ABC中，其中一个锐角为25°，则另一个锐角的度数为（）A. 25°B. 55°C. 65°D. 75°5.下列说法错误的是（）A.三角形的三个内角中，最多有一个钝角B.三角形的三个内角中，至少有两个锐角C.若一个三角形的两个内角和为90°，则这个三角形是直角三角形D.三角形的内角和是360°三、填空题（每题3分，共15分）1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于________；直角三角形的两个锐角________。2.在△ABC中，$$\angle A = 45^\circ$$，$$\angle B = \angle C$$，则$$\angle B = $$________°。3.一个钝角三角形中，钝角为100°，其中一个锐角为35°，则另一个锐角为________°。4.证明三角形内角和定理时，常用的辅助线作法是________（写出一种即可）。5.在△ABC中，$$\angle A + \angle B = 130^\circ$$，则$$\angle C = $$________°，这个三角形是________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查三角形内角和定理的定义与证明思路。（1）请完整叙述三角形内角和定理，并简要说明剪拼法验证定理的步骤；（2）请写出三角形内角和定理的一种推理证明过程（要求画出辅助线，写出已知、求证、证明）。解：2.（12分）辨析题，考查定理应用的易错点及角度关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①三角形的内角和为180°，所以任意两个内角的和一定小于180°；②直角三角形的内角和为90°，因为它有一个角是直角；③一个三角形中，若两个内角之和等于第三个角，则这个三角形是直角三角形；④钝角三角形的内角和大于180°，因为它有一个角是钝角。（2）简述三角形内角和定理与直角三角形两个锐角互余的关系。解：3.（12分）基础计算题，考查三角形内角和定理的简单应用（单三角形求值）。求下列各三角形中未知角的度数，并判断三角形的类型（锐角、直角、钝角三角形）：①已知△ABC中，$$\angle A = 50^\circ$$，$$\angle B = 65^\circ$$，求$$\angle C$$；②已知△ABC中，$$\angle A = 100^\circ$$，$$\angle B = 30^\circ$$，求$$\angle C$$；③已知Rt△ABC中，一个锐角为40°，求另一个锐角的度数；④已知△ABC中，$$\angle A = \angle B = 2\angle C$$，求三个内角的度数。解：4.（12分）综合计算题，考查三角形内角和定理的综合应用（含角度关系）。（1）在△ABC中，$$\angle A$$比$$\angle B$$大20°，$$\angle C$$是$$\angle B$$的2倍，求△ABC三个内角的度数；（2）在△ABC中，$$\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C$$，求三个内角的度数，并判断三角形的类型；（3）已知△ABC中，$$\angle A + \angle B = 2\angle C$$，且$$\angle A - \angle B = 20^\circ$$，求三个内角的度数。解：5.（12分）应用题，考查三角形内角和定理在实际场景中的应用。（1）一个三角形零件，其中两个内角的度数分别为45°和65°，求第三个内角的度数，若这个零件是直角三角形零件，其中一个锐角为38°，求另一个锐角的度数；（2）一块三角形木板，三个内角的度数比为2:3:5，求这块木板三个内角的度数，并判断木板的形状；（3）在一个三角形中，最大角的度数是最小角的3倍，中间角的度数是最小角的2倍，求这个三角形三个内角的度数。解：6.（12分）综合题，考查定理的灵活运用（多三角形综合）。（1）如图，在△ABC中，$$\angle A = 60^\circ$$，$$\angle ABC = 50^\circ$$，BD平分$$\angle ABC$$，求$$\angle BDC$$的度数（提示：利用三角形内角和定理及角平分线定义）；（2）已知△ABC中，$$\angle ACB = 90^\circ$$，CD⊥AB于点D，求证：$$\angle ACD = \angle B$$（利用三角形内角和定理及直角三角形的性质）；（3）在△ABC中，$$\angle B = 40^\circ$$，$$\angle C = 60^\circ$$，延长BA至点E，求$$\angle CAE$$的度数（结合三角形内角和定理，尝试分析外角与内角的关系）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.C 3.A 4.C 5.D二、填空题：1. 180°；互余2. 67.5 3. 45 4.过三角形一个顶点作对边的平行线（答案不唯一）5. 50；锐角三、解答题：1.（1）定理略；剪拼法步骤：将三角形三个内角剪下，把三个角的顶点重合，边依次拼接，可得到一个平角（180°）；（2）证明略（已知：△ABC，求证：$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$，辅助线：过点A作DE∥BC，利用内错角相等转化角度）2.（1）①错误，改正：任意两个内角的和可能大于、等于或小于180°（如直角三角形中两个锐角和为90°，钝角三角形中两个锐角和小于90°）；②错误，改正：直角三角形内角和仍为180°；③正确；④错误，改正：任意三角形内角和都是180°；（2）关系略（直角三角形两个锐角互余是三角形内角和定理的推论）3.①$$\angle C = 65^\circ$$，锐角三角形；②$$\angle C = 50^\circ$$，钝角三角形；③50°；④$$\angle A = \angle B = 72^\circ$$，$$\angle C = 36^\circ$$（步骤略）4.（1）$$\angle A = 60^\circ$$我们已经知道三角形三个内角的和为 .
180°
以前探索三角形三个内角的和是用什么方法，你还记得吗
方法一：测量法
45°
56°
79°
45°+ 79° + 56° = 180°
方法二：折叠法
1
1
2
2
3
3
方法三：拼凑法
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？
剪拼折叠角的目的什么？
构造平角
1
三角形的内角和定理的证明
A
B
C
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改变角的位置构造平角？
延长 BC 到 D，过点 C 作射线CE∥BA
分析：
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证一证
证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
则∠1 =∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°(平角的定义)，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°
(等量代换).
A
B
C
E
D
1
2
三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°.
在△ABC 中，∠A +∠B +∠C = 180°.
几何语言：
知识要点
A
B
C
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法2：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180° (平角的定义)，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180° (等量代换).
1
2
证一证
A
B
C
证一证
C
B
A
E
D
F
证明：过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C =∠1，∠B =∠3
(两直线平行，同位角相等).
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A=∠2(等量代换).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
1
2
3
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
1
2
A
B
C
例1 如图，在△ABC 中，∠B = 38°，∠C = 62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：在△ABC中，∠B +∠C +∠BAC = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠C = 62°，
∴∠BAC = 180° - 38° - 62° = 80°.
∵ AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = ×80° = 40°.
在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠BAD = 40°，
∴∠ADB= 180° - 38° - 40°= 102°.
A
C
B
D
思考：我们已经证明了 SSS，ASA，SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢？
已知： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
C
B
D
F
E
证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理，∠F＝180°－∠D－∠E.
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
2
全等三角形的判定和性质
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
在△ABC 和△DEF 中，
A
C
B
D
F
E
问题1：AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2：AB 和 DE 有什么关系？AC 和 DF 呢？
根据三角形内角和定理，已知两个角可以推出另外一个角的大小，因此证明AAS 成立可以转化为 ASA 的证明.
AB＝DE， AC＝DF
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【知识要点】
A
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1．
如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.85°
B．80°
C．75°
D．70°
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C
2．
[教材P3例1 ]如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝40°，CD是∠ACB的平分线，则∠ADC＝(　　)
A.80°
B．75°
C．70°
D．60°
D
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3．
具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
4．
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B
当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，称α为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为(　　)
A.15° B．30°
C．60° D．45°
5．
返回
B
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，连接CE，AB＝CE，∠B＝∠CED，若BD＝4，AE＝2，则CD的长为(　　)
A.5
B．6
C．7
D．8
6．
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75°
如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是燃气管道，为了不影响管道，准备在B处和C处开工挖出“V”字形通道．若∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠A的度数是________.
7．
110°
【点拨】
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8．
【解】如图，根据题意可得
∠1＝60°，∠3＝30°.∵AE∥DB，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ABC＝180°－60°－30°＝90°.
如图，点C在点B的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏西30°方向上，点B在点A的北偏东30°方向上.
(1)求∠ABC的大小；
(2)求∠C的大小.
∵∠3＝30°，∠4＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－30°－30°＝30°.
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