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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.1.2三角形的外角第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.1.1三角形内角和定理”核心知识点设计，重点考查三角形内角和定理的定义、证明方法、简单应用及角度计算，熟练运用定理解决三角形内角求值、角度关系判断、多三角形综合计算等问题，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握定理的推导过程与解题规范，规避角度计算、定理应用中的常见失误。一、基础梳理（必记内容）（一）三角形内角和定理核心知识点1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°（即$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$，其中$$\angle A、\angle B、\angle C$$是三角形的三个内角）。2.定理核心说明：①该定理适用于所有三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立）；②三角形的三个内角中，最多有1个直角（90°）或1个钝角（大于90°小于180°），其余两个角必为锐角（小于90°）。3.定理的简单证明思路（核心方法）：-（1）剪拼法：将三角形的三个内角剪下来，拼成一个平角（平角为180°），直观验证内角和为180°；-（2）推理证明法（重点）：通过作辅助线（如过三角形一个顶点作对边的平行线），利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等），将三角形的三个内角转化为一个平角，严谨证明定理。4.定理的基本应用步骤：-（1）审：审题，明确题目中已知的三角形内角角度，确定要求解的未知角；-（2）用：根据三角形内角和定理，列出等式（三个内角和为180°）；-（3）解：代入已知角度，求解未知角的度数；-（4）验：检验计算结果是否合理（三个角的和是否为180°，角度是否符合三角形内角的取值范围）。5.常见拓展：①直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和为90°）；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（后续知识点铺垫）。6.易错提醒：①混淆三角形内角和与外角和（内角和为180°，外角和为360°）；②计算时漏加或错加角度，导致结果错误；③证明定理时，辅助线作法错误或不会利用平行线性质转化角度；④已知两个角求第三个角时，忽略三角形内角的取值范围（每个角大于0°小于180°）。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于三角形内角和定理的说法，正确的是（）A.三角形的内角和为180°，仅适用于锐角三角形B.钝角三角形的内角和大于180°，锐角三角形的内角和小于180°C.任意三角形的三个内角的和都等于180°D.直角三角形的内角和为90°2.在△ABC中，若$$\angle A = 30^\circ$$，$$\angle B = 60^\circ$$，则$$\angle C$$的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3.已知一个三角形的两个内角分别为50°和70°，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定4.在Rt△ABC中，其中一个锐角为25°，则另一个锐角的度数为（）A. 25°B. 55°C. 65°D. 75°5.下列说法错误的是（）A.三角形的三个内角中，最多有一个钝角B.三角形的三个内角中，至少有两个锐角C.若一个三角形的两个内角和为90°，则这个三角形是直角三角形D.三角形的内角和是360°三、填空题（每题3分，共15分）1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于________；直角三角形的两个锐角________。2.在△ABC中，$$\angle A = 45^\circ$$，$$\angle B = \angle C$$，则$$\angle B = $$________°。3.一个钝角三角形中，钝角为100°，其中一个锐角为35°，则另一个锐角为________°。4.证明三角形内角和定理时，常用的辅助线作法是________（写出一种即可）。5.在△ABC中，$$\angle A + \angle B = 130^\circ$$，则$$\angle C = $$________°，这个三角形是________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查三角形内角和定理的定义与证明思路。（1）请完整叙述三角形内角和定理，并简要说明剪拼法验证定理的步骤；（2）请写出三角形内角和定理的一种推理证明过程（要求画出辅助线，写出已知、求证、证明）。解：2.（12分）辨析题，考查定理应用的易错点及角度关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①三角形的内角和为180°，所以任意两个内角的和一定小于180°；②直角三角形的内角和为90°，因为它有一个角是直角；③一个三角形中，若两个内角之和等于第三个角，则这个三角形是直角三角形；④钝角三角形的内角和大于180°，因为它有一个角是钝角。（2）简述三角形内角和定理与直角三角形两个锐角互余的关系。解：3.（12分）基础计算题，考查三角形内角和定理的简单应用（单三角形求值）。求下列各三角形中未知角的度数，并判断三角形的类型（锐角、直角、钝角三角形）：①已知△ABC中，$$\angle A = 50^\circ$$，$$\angle B = 65^\circ$$，求$$\angle C$$；②已知△ABC中，$$\angle A = 100^\circ$$，$$\angle B = 30^\circ$$，求$$\angle C$$；③已知Rt△ABC中，一个锐角为40°，求另一个锐角的度数；④已知△ABC中，$$\angle A = \angle B = 2\angle C$$，求三个内角的度数。解：4.（12分）综合计算题，考查三角形内角和定理的综合应用（含角度关系）。（1）在△ABC中，$$\angle A$$比$$\angle B$$大20°，$$\angle C$$是$$\angle B$$的2倍，求△ABC三个内角的度数；（2）在△ABC中，$$\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C$$，求三个内角的度数，并判断三角形的类型；（3）已知△ABC中，$$\angle A + \angle B = 2\angle C$$，且$$\angle A - \angle B = 20^\circ$$，求三个内角的度数。解：5.（12分）应用题，考查三角形内角和定理在实际场景中的应用。（1）一个三角形零件，其中两个内角的度数分别为45°和65°，求第三个内角的度数，若这个零件是直角三角形零件，其中一个锐角为38°，求另一个锐角的度数；（2）一块三角形木板，三个内角的度数比为2:3:5，求这块木板三个内角的度数，并判断木板的形状；（3）在一个三角形中，最大角的度数是最小角的3倍，中间角的度数是最小角的2倍，求这个三角形三个内角的度数。解：6.（12分）综合题，考查定理的灵活运用（多三角形综合）。（1）如图，在△ABC中，$$\angle A = 60^\circ$$，$$\angle ABC = 50^\circ$$，BD平分$$\angle ABC$$，求$$\angle BDC$$的度数（提示：利用三角形内角和定理及角平分线定义）；（2）已知△ABC中，$$\angle ACB = 90^\circ$$，CD⊥AB于点D，求证：$$\angle ACD = \angle B$$（利用三角形内角和定理及直角三角形的性质）；（3）在△ABC中，$$\angle B = 40^\circ$$，$$\angle C = 60^\circ$$，延长BA至点E，求$$\angle CAE$$的度数（结合三角形内角和定理，尝试分析外角与内角的关系）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.C 3.A 4.C 5.D二、填空题：1. 180°；互余2. 67.5 3. 45 4.过三角形一个顶点作对边的平行线（答案不唯一）5. 50；锐角三、解答题：1.（1）定理略；剪拼法步骤：将三角形三个内角剪下，把三个角的顶点重合，边依次拼接，可得到一个平角（180°）；（2）证明略（已知：△ABC，求证：$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$，辅助线：过点A作DE∥BC，利用内错角相等转化角度）2.（1）①错误，改正：任意两个内角的和可能大于、等于或小于180°（如直角三角形中两个锐角和为90°，钝角三角形中两个锐角和小于90°）；②错误，改正：直角三角形内角和仍为180°；③正确；④错误，改正：任意三角形内角和都是180°；（2）关系略（直角三角形两个锐角互余是三角形内角和定理的推论）3.①$$\angle C = 65^\circ$$，锐角三角形；②$$\angle C = 50^\circ$$，钝角三角形；③50°；④$$\angle A = \angle B = 72^\circ$$，$$\angle C = 36^\circ$$（步骤略）4.（1）$$\angle A = 60^\circ$$
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义。
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
复习回顾
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。
3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。
48°
50°
130°
进行新课
在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。
A
B
C
E
D
思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。
1
三角形的外角的概念
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
D
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
三角形的外角应具备的条件：
每一个三角形都有 6 个外角．
归纳总结
1
2
3
6
5
4
A
B
C
2
三角形的外角的性质
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
探究1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
探究2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
探究3 (1) 如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
(2) 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：∵∠2=∠1+∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
知识要点
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
A
B
C
D
例3 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC.
求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)，
∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
B
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1．
如图，CE是 △ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°， ∠DCE＝55°，则∠A等于(　　)
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
返回
B
2．
[2025福建]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　)
A．5° B．15°
C．25° D．35°
D
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3．
如图，已知△ABC，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠1＞∠2
B．∠1＞∠3
C．∠3＞∠5
D．∠4＞∠5
4．
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234°
如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝54°，则∠CBE＋∠BCF的度数为________.
5．
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50°
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP，CP分别平分△ABC的外角∠NAC，∠ACM，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是________.
6．
一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李师傅量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
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【解】延长BC与AD相交于点E.
∵∠CED是△ABE的外角，∠A＝90°，∠B＝20°，
∴∠CED＝∠B＋∠A＝110°.
∵∠D＝30°，∴∠BCD＝∠CED＋∠D＝140°.
∵李师傅量得∠BCD＝142°，不是140°，
∴这个零件不合格．
7．
如图，一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的度数是(　　)
A．50°
B．60°
C．45°
D．40°
【点拨】
【答案】C
如图．∵AB∥OF，∠1＝160°，∴∠4＝180°－∠1＝20°.
∵∠POF＝∠2＝25°，∴∠3＝∠POF＋∠4＝25°＋20°＝45°.
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8．
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A
如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(　　)
A．73°
B．63°
C．83°
D．93°
9．
如图，点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是(　　)
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
【点拨】
【答案】B
∵∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，∴∠OAB＝2∠BAC，∠OBD＝2∠CBD.∵∠OBD＝∠OAB＋∠AOB，∠CBD＝∠BAC＋∠C，∴∠OAB＋∠AOB＝2∠CBD＝2∠BAC＋2∠C.∴∠AOB＝2∠C.∵∠AOB＝90°，∴∠C＝45°.
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