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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.1.3多边形的内角和第一章三角形的证明及其应用北师大版八年级数学下册1.1.3多边形的内角和练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.1.3多边形的内角和”核心知识点设计，重点考查多边形的定义、正多边形的特征、多边形内角和公式的推导与应用，以及多边形内角和与三角形内角和的关联，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握多边形内角和的计算方法与解题规范，规避公式混淆、边长与内角关系判断失误等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）多边形内角和核心知识点1.多边形的定义：由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（三角形是最简单的多边形，n=3时为三角形）。核心分类：①凸多边形（所有内角都小于180°，各边都在任意一边所在直线的同侧）；②凹多边形（至少有一个内角大于180°）；初中阶段重点研究凸多边形。2.正多边形的定义与特征：各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。关键提醒：正多边形必须同时满足“边相等”和“角相等”两个条件，缺一不可（如菱形边相等但角不一定相等，不是正多边形；矩形角相等但边不一定相等，不是正多边形）。3.多边形内角和公式（重点）：-（1）推导思路：将n边形分割成（n-2）个三角形（从n边形的一个顶点出发，连接这个顶点与其余各顶点，可作（n-3）条对角线，分割成（n-2）个三角形）；-（2）核心公式：n边形的内角和为$$(n - 2) \times 180^\circ$$（n≥3，n为整数）；-（3）特殊应用：三角形内角和（n=3）：$$(3 - 2) \times 180^\circ = 180^\circ$$（与前序知识点呼应）；四边形内角和（n=4）：$$(4 - 2) \times 180^\circ = 360^\circ$$。4.正多边形的内角计算公式：正n边形的每个内角的度数为$$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$（由内角和公式除以n推导得出，因正多边形各内角相等）。5.核心应用关联：多边形内角和公式是三角形内角和定理的延伸，通过“分割法”将多边形转化为三角形，利用三角形内角和求解多边形内角和，体现“转化思想”。6.易错提醒：①混淆多边形内角和公式与三角形内角和，误将n边形内角和记为$$n \times 180^\circ$$；②忽略正多边形“边相等、角相等”的双重条件；③分割n边形时，错误计算分割出的三角形个数（应为n-2个）；④计算正多边形内角时，漏除n；⑤忽略多边形的边数n≥3（边数为整数）这一前提。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于多边形的说法，正确的是（）A.由三条以上线段组成的图形叫做多边形B.多边形的内角和一定是180°的整数倍C.正多边形的各个角都相等，各条边不一定相等D.凹多边形的内角和大于凸多边形的内角和2.一个多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 73.下列正多边形中，每个内角的度数为120°的是（）A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形4.下列说法错误的是（）A.三角形的内角和是180°，是多边形内角和公式的特殊情况B.从n边形的一个顶点出发，能作（n-3）条对角线C.正八边形的每个内角为135°D.多边形的内角和随边数的增加而减小5.一个凸多边形的内角和为1080°，则这个多边形的对角线条数为（）A. 20 B. 24 C. 28 D. 32三、填空题（每题3分，共15分）1.由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段________组成的封闭图形，叫做n边形；n边形的内角和公式为________。2.正n边形的每个内角的度数为________；正三角形的每个内角为________°，正四边形（正方形）的每个内角为________°。3.一个多边形的内角和是三角形内角和的4倍，则这个多边形的边数为________。4.从一个n边形的一个顶点出发，能分割出________个三角形，能作________条对角线。5.一个凸多边形的每个内角都为140°，则这个多边形的边数为________。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查多边形的定义、内角和公式及推导思路。（1）请完整叙述多边形的定义、正多边形的定义，以及n边形内角和公式，并简要说明内角和公式的推导思路；（2）计算：①五边形的内角和；②正七边形的每个内角的度数（结果保留整数）。解：2.（12分）辨析题，考查多边形内角和的易错点及相关关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①多边形的内角和为$$n \times 180^\circ$$（n为边数）；②各边相等的多边形一定是正多边形；③从n边形的一个顶点出发，能作n条对角线；④凸多边形的每个内角都小于180°，其内角和一定小于凹多边形的内角和。（2）简述多边形内角和公式与三角形内角和定理的关系。解：3.（12分）基础计算题，考查多边形内角和公式的简单应用。（1）已知一个多边形的内角和为1260°，求这个多边形的边数；（2）求正五边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数，比较它们的大小；（3）一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，求这个多边形的边数。解：4.（12分）综合计算题，考查内角和公式与正多边形的综合应用。（1）一个正多边形的每个内角比它的相邻外角大120°，求这个正多边形的边数和内角和；（2）已知一个凸多边形的边数是正多边形边数的2倍，且凸多边形的内角和是正多边形内角和的3倍，求这两个多边形的边数；（3）一个多边形的每个内角都相等，且内角和为900°，求这个多边形的每个内角的度数。解：5.（12分）应用题，考查多边形内角和在实际场景中的应用。（1）一个多边形零件，其内角和为1440°，求这个零件的边数，若它是正多边形零件，求每个内角的度数；（2）一块正多边形木板，每个内角为108°，求这块木板的边数，并判断它的形状（正几边形）；（3）一个多边形桌面，由多个三角形木板拼接而成，已知桌面的内角和为2160°，求这个桌面的边数，以及从一个顶点出发能作的对角线条数。解：6.（12分）综合题，考查多边形内角和的灵活运用（与三角形综合）。（1）如图，在五边形ABCDE中，∠A=100°，∠B=110°，∠C=120°，∠D=80°，求∠E的度数（利用多边形内角和公式求解）；（2）已知一个多边形，从一个顶点出发分割成8个三角形，求这个多边形的内角和及边数；（3）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，求△ABC的内角和及∠ACB的度数（结合正多边形性质与三角形内角和定理）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.B 2.C 3.D 4.D 5.A二、填空题：1.首尾顺次相接；$$(n - 2) \times 180^\circ$$ 2. $$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$；60；90 3. 6 4.（n-2）；（n-3）5. 9三、解答题：1.（1）定义、公式略；推导思路：从n边形一个顶点出发，连接其余各顶点，分割成（n-2）个三角形，利用三角形内角和180°推导；（2）①540°；②129°2.（1）①错误，改正：$$(n - 2) \times 180^\circ$$；②错误，改正：各边相等且各角相等的多边形才是正多边形；③错误，改正：能作（n-3）条对角线；④错误，改正：内角和只与边数有关，与凸凹无关；（2）关系略（多边形内角和公式是三角形内角和定理的延伸，n=3时即为三角形内角和）3.（1）9；（2）正五边形108°、正六边形120°、正八边形135°，大小关系：正八边形>正六边形>正五边形；（3）7（步骤略）4.（1）边数12，内角和1800°；（2）正多边形边数4，凸多边形边数8；（3）128.6°（保留一位小数）（步骤略）5.（1）边数10，每个内角144°；（2）边数5，正五边形；（3）边数14，对角线条数11（步骤略）6.（1）∠E=130°；（2）内角和1440°，边数10；（3）△ABC内角和180°，∠ACB=60°（步骤略）
学习目标
1. 掌握多边形内角和公式。
2. 能通过不同方法探索多边形的内角和公式。
3. 能灵活运用多边形的内角和公式解决问题。
新课导入
思考1：三角形内角和是多少度？
思考2：长方形和正方形的内角和是多少度？
180°
360°
360°
1
多边形的内角和
问题2 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗
五边形的内角和
＝3个三角形内角和之和
＝180°×3＝540°.
五边形的内角和
＝5个三角形内角和之和－周角
＝180°×5－360°＝540°.
你还有其他方法吗？
按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形 n 边形呢 你能确定 n 边形的内角和吗
想一想
4个
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
(n - 2)×180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
······
···
由特殊到一般
定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°
( n 是大于或等于 3 的自然数).
总结归纳
按照 问题2 的方法二再试一试？
多边形的内角和公式
例4 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？
B
A
D
C
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
解：∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4 - 2)×180° = 360°，
∴∠B +∠D
= 360°－(∠A +∠C) = 180°.
想一想：正 n 边形的一个内角是 度.
想一想
正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
60°
108°
90°
120°
135°
11．
30°
如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，且∠CAB，∠CBA，∠E的大小保持不变，则∠D应调整为________.
【点拨】
连接CF，并延长至点M.在△ABC中，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝70°.∴∠DCE＝∠ACB＝70°.∵∠DFM＝∠DCF＋∠D，∠EFM＝∠ECF＋∠E，∴∠EFD＝∠DCF＋∠ECF＋∠D＋∠E＝∠DCE＋∠D＋∠E，即130°＝70°＋∠D＋30°.∴∠D＝30°.
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12．
如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2……以此类推得到∠A2 025，则∠A2 025的度数是________.
【点拨】
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13．
如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
(1)猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
(2)作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F，求证BF∥OD．
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14．
85°或100°
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.
(1)如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝__________.
(2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数.
(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A＝m°，∠ABC＝n°，请直接写出∠BPC的度数(用含n，m的代数式表示).
多边形的内角和
内角和计算公式
(n - 2) ×180°(n≥3的整数)
正多
边形
内角=

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