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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.1.4多边形的外角和第一章三角形的证明及其应用北师大版八年级数学下册1.1.4多边形的外角和练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.1.4多边形的外角和”核心知识点设计，重点考查多边形外角的定义、多边形外角和定理、外角和与内角和的关联，以及利用外角和定理解决角度计算、正多边形边长与外角的关系等问题，衔接前序多边形内角和知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握多边形外角和的计算方法与解题规范，规避外角和与内角和混淆、外角定义理解偏差等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）多边形外角和核心知识点1.多边形外角的定义：多边形的每个内角的邻补角，叫做多边形的一个外角（即多边形的一边与另一边的延长线组成的角，与前序三角形外角定义一致，推广到任意多边形）。核心说明：①任意n边形（n≥3，n为整数）都有2n个外角，两两互为对顶角，度数相等；②初中阶段研究的多边形外角和，特指每个顶点取一个外角（共n个）的和，即n个不重复外角的和。2.多边形外角和定理（重点）：-（1）核心结论：任意多边形的外角和都等于360°（与边数n无关，无论n为多少，外角和恒为360°）；-（2）推导思路：①利用邻补角性质（多边形的每个内角与其相邻外角和为180°），n边形的内角和与外角和总和为$$n \times 180^\circ$$；②结合多边形内角和公式$$(n - 2) \times 180^\circ$$，推导得出外角和为$$n \times 180^\circ - (n - 2) \times 180^\circ = 360^\circ$$；-（3）特殊验证：三角形外角和360°、四边形外角和360°（与内角和推导结果呼应，验证定理的普遍性）。3.正多边形的外角计算公式：-（1）正n边形的每个外角都相等（因正多边形各内角相等，其邻补角也相等）；-（2）计算公式：正n边形的每个外角的度数为$$\frac{360^\circ}{n}$$（由外角和360°除以边数n推导得出）；-（3）补充关联：正n边形的每个内角+每个外角= 180°，可通过外角求内角，或通过内角求外角。4.核心应用关联：多边形外角和定理与内角和公式相辅相成，可灵活运用两者解决角度计算、边数求解问题（如已知外角求边数、已知内角求外角等），简化计算过程。5.易错提醒：①混淆多边形外角和与内角和（外角和恒为360°，与边数无关；内角和为$$(n - 2) \times 180^\circ$$，随边数增加而增大）；②误将n边形的2n个外角总和当作外角和（忽略“每个顶点取一个外角”的前提）；③计算正多边形外角时，误用内角和公式；④忽略正多边形外角与内角的邻补角关系；⑤已知外角求边数时，忘记外角和为360°。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于多边形外角和的说法，正确的是（）A.多边形的外角和随边数的增加而增大B.任意多边形的外角和都等于360°C.正多边形的外角和大于非正多边形的外角和D.三角形的外角和小于四边形的外角和2.一个正多边形的每个外角为60°，则这个正多边形的边数为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 73.下列说法错误的是（）A.多边形的每个内角与其相邻外角的和为180°B.正多边形的每个外角都相等C.多边形的外角和是内角和的2倍D.从n边形的一个顶点出发，作对角线的条数与外角和无关4.一个多边形的每个外角都为45°，则这个多边形的内角和为（）A. 720°B. 900°C. 1080°D. 1440°5.已知一个正多边形的内角为150°，则它的外角和为（）A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°三、填空题（每题3分，共15分）1.多边形的每个内角的________，叫做多边形的一个外角；任意多边形的外角和都等于________。2.正n边形的每个外角的度数为________；正三角形的每个外角为________°，正四边形（正方形）的每个外角为________°。3.一个正多边形的外角和为360°，若它的每个外角为30°，则这个正多边形的边数为________。4.若一个多边形的每个外角都相等，且边数为8，则这个多边形的每个外角为________°，每个内角为________°。5.已知一个多边形的内角和为1080°，则它的外角和为________°，每个外角的平均度数为________°（结果保留整数）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查多边形外角的定义、外角和定理及推导思路。（1）请完整叙述多边形外角的定义、多边形外角和定理，并简要说明外角和定理的推导思路；（2）计算：①正五边形的每个外角的度数；②边数为9的多边形的外角和。解：2.（12分）辨析题，考查多边形外角和的易错点及相关关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①多边形的外角和为$$(n - 2) \times 180^\circ$$（n为边数）；②正多边形的边数越多，每个外角的度数越大；③多边形的外角和与内角和一样，都随边数的增加而增大；④一个多边形的每个外角为60°，则它的内角和为720°。（2）简述多边形外角和定理与内角和公式的关系。解：3.（12分）基础计算题，考查外角和定理的简单应用。（1）已知一个正多边形的每个外角为40°，求这个正多边形的边数；（2）求正六边形、正八边形、正十边形的每个外角的度数，比较它们的大小；（3）一个正多边形的每个外角比每个内角小120°，求这个正多边形的每个外角的度数。解：4.（12分）综合计算题，考查外角和与内角和的综合应用。（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数和每个外角的平均度数；（2）已知一个正多边形的内角和为1440°，求它的每个外角的度数和边数；（3）一个多边形的每个外角都相等，且内角和比外角和大180°，求这个多边形的边数和每个外角的度数。解：5.（12分）应用题，考查外角和定理在实际场景中的应用。（1）一个正多边形零件，每个外角为36°，求这个零件的边数，若它的边长为5cm，求这个正多边形的周长；（2）一块正多边形木板，每个内角为144°，求这块木板的边数，并通过外角和验证结果；（3）一个多边形桌面，每个外角都相等，且外角和为360°，若它的边数比正六边形多2，求这个桌面每个外角的度数。解：6.（12分）综合题，考查外角和定理的灵活运用（与三角形、内角和综合）。（1）如图，在五边形ABCDE中，每个顶点取一个外角，已知其中四个外角的度数分别为50°、60°、70°、80°，求第五个外角的度数；（2）已知一个正多边形，它的每个内角是每个外角的3倍，求这个正多边形的边数和外角和；（3）如图，在正五边形ABCDE中，延长AB至点F，求∠CBF的度数（结合正多边形外角性质与邻补角关系）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.B 2.C 3.C 4.C 5.A二、填空题：1.邻补角；360°2. $$\frac{360^\circ}{n}$$；120；90 3. 12 4. 45；135 5. 360；40三、解答题：1.（1）定义、定理略；推导思路：利用邻补角性质，n边形内角和与外角和总和为$$n \times 180^\circ$$，减去内角和得出外角和为360°；（2）①72°；②360°2.（1）①错误，改正：多边形外角和恒为360°；②错误，改正：边数越多，每个外角度数越小；③错误，改正：外角和与边数无关，恒为360°；④正确；（2）关系略（外角和可通过内角和与邻补角性质推导得出，二者可结合求解边数和角度）3.（1）9；（2）正六边形60°、正八边形45°、正十边形36°，大小关系：正六边形>正八边形>正十边形；（3）30°（步骤略）4.（1）边数6，每个外角60°；（2）边数10，每个外角36°；（3）边数3，每个外角120°（步骤略）5.（1）边数10，周长50cm；（2）边数10，验证：每个外角36°，10×36°=360°；（3）45°（步骤略）6.（1）100°；（2）边数8，外角和360°；（3）72°（步骤略）
学习目标
1. 掌握多边形外角和定理。
2. 能灵活运用多边形的内角和与外角和解决相关问题。
进行新课
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。
（1）小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。
1.1.4 多边形的外角和 教学课件分页内容
第1页：情境导入，复习旧知
1. 回顾：什么是多边形的内角？三角形内角和是多少？n边形内角和公式是什么？（引导学生回答：180°；(n-2)×180°）
2. 情境提问：清晨散步时，从多边形广场的一个顶点出发，沿边走到另一个顶点，再转向下一条边，这个转向的角是什么角？这些角的和有什么规律？引出课题——多边形的外角和。
第2页：探究新知，定义辨析
1. 多边形外角的定义：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。强调：每个顶点处有2个外角，且互为对顶角，通常取1个研究。
2. 多边形外角和的定义：在每个顶点处取1个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
第3页：实验探究，推导公式
1. 特殊多边形探究：分别计算三角形、四边形、五边形的外角和。
- 三角形：通过测量或内角与外角互补推导，每个顶点内角+外角=180°，3个顶点总和540°，减去内角和180°，得外角和360°。
- 四边形：同理，4×180° - (4-2)×180° = 360°。
2. 一般推导：n边形每个顶点内角+外角=180°，n个顶点总和n×180°，减去内角和(n-2)×180°，化简得外角和=360°。结论：任意多边形的外角和都是360°。
第4页：巩固应用，深化理解
例题1：一个多边形的每个外角都等于36°，求这个多边形的边数。（引导学生用360°÷36°=10，得出边数为10）
例题2：正五边形的每个外角是多少度？每个内角呢？（外角：360°÷5=72°；内角：180°-72°=108°）
思考：为什么多边形外角和恒为360°，与边数无关？
第5页：课堂小结，梳理脉络
1. 核心知识点：多边形外角定义、外角和定义；任意多边形外角和为360°。
2. 解题方法：已知外角求边数：边数=360°÷单个外角度数；已知边数求单个外角（正多边形）：单个外角度数=360°÷边数。
3. 思想方法：转化思想（将外角和转化为内角和与总互补角的差）、从特殊到一般的探究思想。
A
B
C
D
E
2
3
4
5
1
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，
∠5+∠DEA=180°，
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°。
∵五边形的内角和为(5－2)×180°=540°，
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+
∠DEA=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=900°－540°=360°。
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
归纳总结
多边形的外角与外角和
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
6×180°－ (6－2)×180° = 360°
8×180°－(8－2)×180° = 360°
定理 多边形的外角和都等于 360° .
问题：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个
内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
典例精析
例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和等于 (n - 2) · 180° ，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n - 2)·180 = 3× 360°，
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形.
随堂练习
1.如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为______度。
∠F=180°－∠1－∠2=36°
1
2
∠1=∠2= =72°
36
2.一个多边形的内角和等于外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
【教材P9 随堂练习 第1题】
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°。根据题意，得
(n-2)·180°=2×360°
解得 n=6。
所以，这个多边形是六边形。
六边形的内角和为720°，如果每个内角都相等，那么每个内角的度数为 。
3.如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后左转40°，再沿直线前进8m，又左转40°……照这样走下去，直到他第一次回到出发点A时，他所走的路径构成了一个多边形。（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少？
解：(1)由题意可得，小明所走的路径正好构成一个外角是40°的正多边形，
∴这个正多边形的边数为360°÷40°=9，周长为9×8=72 (m)。
∴小明一共走了72 米。
(2)由(1)得，(9－2)×180°=1260°。
∴这个多边形的内角和是1260°。

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