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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.2.1等腰三角形的性质和等边三角形的性质第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.2.1等腰三角形的性质和等边三角形的性质”核心知识点设计，重点考查等腰三角形的定义、轴对称性及核心性质（等边对等角、三线合一），等边三角形的定义、性质及与等腰三角形的区别与联系，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握两种三角形的性质与解题规范，规避性质混淆、“三线合一”应用条件失误等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）等腰三角形的核心知识点1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。补充说明：等腰三角形的两底角相等（前提是两条腰相等），反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形（后续判定知识点铺垫，此处重点掌握性质）。2.等腰三角形的性质（重点）：-（1）轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，对称轴是顶角平分线所在的直线（也是底边中线所在直线、底边高线所在直线，三线重合）；-（2）等边对等角：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”，前提：在同一个等腰三角形中，两条边相等）；-（3）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”，前提：针对等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线，腰上的线不满足此性质）。（二）等边三角形的核心知识点1.等边三角形的定义：有三条边都相等的三角形，叫做等边三角形（也叫正三角形）。补充说明：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边相等，满足“两条边相等”的等腰三角形定义），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有两条边相等时，不是等边三角形）。2.等边三角形的性质（重点）：-（1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每条对称轴都是一条边上的中线、高线和该边所对内角的平分线所在的直线（三线合一，且有三条）；-（2）边的性质：三条边都相等；-（3）角的性质：三个内角都相等，且每个内角都等于60°；-（4）特殊性质：等边三角形的任意一条边上的中线、高线，都能平分该边所对的内角（延伸“三线合一”性质）。3.等腰三角形与等边三角形的区别与联系：-联系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质；-区别：①边的数量：等腰三角形有两条边相等，等边三角形三条边都相等；②角的度数：等腰三角形两底角相等、顶角不确定（0°<顶角<180°），等边三角形三个角都为60°；③对称轴数量：等腰三角形1条对称轴，等边三角形3条对称轴。4.易错提醒：①混淆等腰三角形“三线合一”的前提（仅针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的线不重合）；②误将等腰三角形当作等边三角形，认为所有等腰三角形的内角都是60°；③忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，否定二者的包含关系；④应用“等边对等角”时，未确认“在同一个三角形中”这一前提；⑤计算等腰三角形角度时，漏算顶角或底角的可能情况（如等腰三角形一个内角为30°，需分顶角和底角两种情况）。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于等腰三角形的说法，正确的是（）A.等腰三角形的两条腰相等，两个顶角相等B.等腰三角形的对称轴是底边上的中线C.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合D.有一个角是60°的三角形是等腰三角形2.等边三角形的每个内角的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3.下列说法错误的是（）A.等边三角形是特殊的等腰三角形B.等腰三角形的两底角相等C.等边三角形有三条对称轴D.等腰三角形的三条边都相等4.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B的度数为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 50°或65°5.在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列说法错误的是（）A. AD⊥BC B. ∠BAD=30°C. AD平分∠BAC D. BD=AD三、填空题（每题3分，共15分）1.有两条边相等的三角形叫做________；三条边都相等的三角形叫做________，它是特殊的________。2.等腰三角形的性质：①两底角________；②顶角平分线、底边上的中线、底边上的高________。3.等边三角形的三个内角都相等，每个内角为________°；它有________条对称轴。4.在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=________°；若∠A=100°，则∠B=________°。5.若等腰三角形的一个外角为100°，则它的一个底角为________°（分情况考虑）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查等腰三角形和等边三角形的定义与性质。（1）请完整叙述等腰三角形的定义、核心性质，以及等边三角形的定义、核心性质；（2）简述等腰三角形与等边三角形的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查两种三角形性质的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①等腰三角形的所有高、中线、角平分线都互相重合；②等边三角形的每条边上的中线都平分该边所对的角，且垂直于该边；③有两个角相等的三角形是等边三角形；④等腰三角形是轴对称图形，有三条对称轴。（2）为什么说等边三角形是特殊的等腰三角形？请结合定义说明。解：3.（12分）基础计算题，考查等腰三角形的角度计算。（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状；（2）在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=3∠A，求△ABC三个内角的度数；（3）在等腰△ABC中，一个内角为40°，求另外两个内角的度数（分情况求解）。解：4.（12分）综合计算题，考查等腰三角形“三线合一”性质的应用。（1）在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若BC=8cm，AD=3cm，求AB的长度；（2）在等腰△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线，∠B=70°，求∠BAD和∠ADC的度数；（3）在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，若∠BAD=35°，求△ABC三个内角的度数。解：5.（12分）应用题，考查两种三角形性质在实际场景中的应用。（1）一个等腰三角形零件，顶角为80°，求这个零件两个底角的度数；若它的腰长为10cm，底边长为12cm，求底边上的高的长度；（2）一块等边三角形木板，边长为6cm，求这块木板的周长和每个内角的度数，以及一条边上的高的长度（简要说明计算过程）；（3）一个等腰三角形旗帜，其中一个角为50°，腰长为15cm，求旗帜另外两个角的度数和底边的取值范围。解：6.（12分）综合题，考查两种三角形性质的灵活运用（与三角形内角和、三线合一综合）。（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC上，且AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC；（2）如图，在等边△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；（3）在等腰△ABC中，AB=AC，延长BA至点D，使AD=AB，连接CD，若∠B=30°，求∠ACD的度数。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空题：1.等腰三角形；等边三角形；等腰三角形2.相等；互相重合3. 60；3 4. 40；40 5. 50或80三、解答题：1.（1）定义、性质略；（2）联系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质；区别：略2.（1）①错误，改正：仅顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；②正确；③错误，改正：有两个角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等才是等边三角形；④错误，改正：等腰三角形有1条对称轴；（2）理由：等边三角形满足“两条边相等”的等腰三角形定义，且三条边都相等，因此是特殊的等腰三角形3.（1）三个角均为60°，等边三角形；（2）∠A=36°，∠B=∠C=108°；（3）40°和100°，或70°和70°（步骤略）4.（1）5cm；（2）∠BAD=20°，∠ADC=90°；（3）∠BAC=70°，∠B=∠C=55°（步骤略）5.（1
学习目标
1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。
2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。
3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
复习回顾
等腰三角形的相关概念你还记得吗？
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？
进行新课
还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
等腰三角形的性质及其推论
1
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
证一证
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
几何语言：如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
等边三角形的性质
2
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
证一证
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
同理∠A =∠B.
∴∠B =∠C (等边对等角).
∵ AB = AC (已知)，
B
C
D
A
E
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
C
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1．
[2025广安期中]已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．40°　　　　
B．100°　
C．40°或100°　
D．以上都不正确
返回
B
2．
[2025扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A．∠ADB＝∠ADC
B．∠B＝∠C
C．BD＝CD
D．AD平分∠BAC
B
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3．
如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)
A．45°
B．39°
C．29°　
D．21°
4．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝B
C＝AD，则∠DBC的度数是(　　)
A．30°
B．36°
C．45°
D．54°
【点拨】
【答案】B
设∠A＝x°.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝x°.∴∠BDC＝2x°.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°.∴∠DBC＝x°.∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.∴∠DBC＝36°.
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5．
2 cm2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4 cm2，则△BPC的面积为________.
【点拨】
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6．
返回
84°
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝________.
7．
【证明】∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，
即∠BAC＝∠FAD. 又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADF，
∴△ABC≌△AFD.
[2025河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∠BAF＝∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
【证明】 ∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.
∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD.
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等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.

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