资源简介

(共26张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.2.2等腰三角形的判定及反证法第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.2.2等腰三角形的判定及反证法”核心知识点设计，重点考查等腰三角形的判定定理（等角对等边）、判定定理的应用，以及反证法的定义、步骤和简单应用，衔接前序等腰三角形的性质，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握等腰三角形的判定方法和反证法的解题规范，规避判定与性质混淆、反证法步骤遗漏等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）等腰三角形的判定（重点）1.判定定理（核心）：在同一个三角形中，等角对等边（即如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的两条边也相等）。补充说明：①判定定理与性质定理（等边对等角）是互逆关系：性质是“边相等→角相等”，判定是“角相等→边相等”；②前提条件：“在同一个三角形中”，若两个角不在同一个三角形中，即使相等，所对的边也不一定相等。2.等腰三角形的其他判定方法：-（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形（与前序定义一致，可直接用于判定）；-（2）三线合一逆用：如果一个三角形的一条角平分线、该角对边上的中线、该角对边上的高互相重合，那么这个三角形是等腰三角形（针对顶角和底边，与性质“三线合一”互逆）；-（3）特殊判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（衔接前序等边三角形知识，可快速判定等边三角形）。3.判定定理的应用技巧：①判定等腰三角形时，可先找三角形中的相等角，再利用“等角对等边”得出相等的边；②遇到三角形的角平分线、中线、高重合的情况，优先考虑用三线合一逆用判定等腰三角形；③计算角度后，若发现两个角相等，可直接判定为等腰三角形。（二）反证法（重点）1.反证法的定义：在证明一个命题时，先假设命题的结论不成立，然后由此假设出发，经过正确的推理，得出与已知条件、公理、已证明的定理或定义相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。补充说明：反证法是一种间接证明方法，适用于直接证明难度较大的命题，如“一个三角形中不能有两个直角”“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”等命题。2.反证法的一般步骤（核心，必记）：-（1）假设：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立，注意反面要全面，不能遗漏）；-（2）归谬：从假设出发，运用已学的公理、定理、定义等进行正确推理，得出与已知条件、公理、定理或定义相矛盾的结果；-（3）结论：由矛盾的结果判定假设不成立，从而肯定原命题的结论一定成立。3.反证法的常见应用场景：①证明“不能”“不是”“不存在”“至少有一个”“至多有一个”类命题；②证明几何中的一些唯一性、存在性命题，如“三角形中最多有一个直角”“两条直线相交，有且只有一个交点”等。4.易错提醒：①混淆等腰三角形的判定与性质（性质：等边→对等角；判定：等角→对等边）；②应用“等角对等边”时，忽略“同一个三角形”的前提；③反证法中，假设结论不成立时，遗漏反面情况（如证明“一个三角形中不能有两个直角”，假设时需说明“假设三角形中有两个直角”）；④反证法步骤不完整，缺少“归谬”或“结论”环节；⑤用反证法推理时，推理过程错误，无法得出矛盾。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于等腰三角形判定的说法，正确的是（）A.有两个角相等的三角形一定是等腰三角形B.有两条边不相等的三角形不是等腰三角形C.有一个角是60°的三角形是等腰三角形D.等腰三角形的判定定理与性质定理完全相同2.用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”时，第一步应假设（）A.这个三角形中有一个直角B.这个三角形中有两个直角C.这个三角形中有三个直角D.这个三角形中没有直角3.在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.下列说法错误的是（）A.反证法的核心是得出矛盾B. “等角对等边”是等腰三角形的判定定理C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D.反证法不需要结合已学定理进行推理5.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD⊥BC，则△ABC一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形三、填空题（每题3分，共15分）1.等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，________，简称为“________”；它与性质定理“等边对等角”是________关系。2.反证法的一般步骤：________、________、________。3.在△ABC中，∠A=∠B=55°，则AC=________（用“等角对等边”判定）；这个三角形的顶角为________°。4.用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，则这两条直线平行”时，应假设________。5.若一个三角形的一条中线与该边上的高重合，则这个三角形是________三角形（用三线合一逆用判定）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查等腰三角形的判定和反证法的基础认知。（1）请完整叙述等腰三角形的判定定理（含前提）、常见判定方法，以及反证法的定义和一般步骤；（2）简述等腰三角形判定定理与性质定理的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查判定定理和反证法的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①有两个角相等的两个三角形，对应边一定相等；②反证法的第一步是得出与已知条件矛盾的结果；③等腰三角形的判定定理可直接用于判定等边三角形；④用反证法证明命题时，假设不成立，则原命题一定成立。（2）为什么说“等角对等边”的前提是“在同一个三角形中”？请举例说明。解：3.（12分）基础计算题，考查等腰三角形判定定理的简单应用。（1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，判定△ABC的形状，并说明理由；（2）在△ABC中，∠C=∠B+10°，∠A=∠B-10°，判定△ABC的形状，并求出三个内角的度数；（3）在△ABC中，AD平分∠BAC，且∠BAD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形。解：4.（12分）综合计算题，考查等腰三角形判定与性质的综合应用。（1）在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC，∠A=30°，求∠DBC的度数（先判定等腰三角形，再利用性质计算）；（2）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且∠ACD=∠B，判定△ABC的形状，并说明理由；（3）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，若AB=5cm边：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（定义）
问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？
角：等腰三角形 两底角相等
性质
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
等腰三角形的判定
1
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
实际模型
C
A
B
数学模型
回顾导入
抽象
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB = AC
你能验证你的结论吗？
方法思考：
①作高 AD 可以吗
②作角平分线 AD 呢
③作中线 AD 呢
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
证一证
还有别的方法吗？
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
应用格式：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
归纳总结
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
典例精析
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
反证法
2
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
归纳总结
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
方法总结
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
典例精析
D
返回
1．
下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3
B．BC：AC：AB＝2：2：3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B＋∠C
返回
A
2．
用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设(　　)
A．两直线不平行
B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等
D．同旁内角不相等
B
返回
3．
如图，等腰三角形共有(　　)
A．4个
B．5个
C．3个
D．2个
4．
10
[教材P17习题T7 ]如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为________.
【点拨】
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵MN⊥BC，∴∠MNC＝∠MNB＝90°.∴∠B＋∠BON＝90°，∠C＋∠M＝90°.∴∠M＝∠BON.∵∠BON＝∠MOA，∴∠M＝∠MOA.∴AM＝AO＝3.∵BO＝4，∴AC＝AB＝AO＋BO＝7.∴MC＝AM＋AC＝10.
返回
5．
返回
60
如图，一条船上午8时从A处以20 n mile/h的速度向北偏西60°方向航行，上午11时到达B处，B处在灯塔C的正南方向，从A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，则B处离灯塔C的距离为________n mile.
若船接着从B处以15 n mile/h的速度
向灯塔C航行，当船到达灯塔C时
是________时.
15
6．
【证明】∵AD＋EC＝AB＝AD＋DB，
∴DB＝EC.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵BE＝CF，∴△BED≌△CFE.
∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BE＝CF，AD＋EC＝AB．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形.
【解】假设△DEF是直角三角形，则∠DEF＝90°，
∴∠DEB＋∠FEC＝90°.由(1)知△BED≌△CFE，
∴∠BDE＝∠CEF.
∴∠DEB＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝90°.∴∠C＝90°.
∴∠A＋∠B＋∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾．
∴△DEF不可能是直角三角形．
返回
7．
返回
B
下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成
两个小等腰三角形的是(　　)
8．
【点拨】
∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB.∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB.∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC.∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形，故①正确；∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；∴△ADE的周长＝AD＋DF＋FE＋AE＝AD＋BD＋CE＋AE＝AB＋AC，故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB.∴BF与CF不一定相等，故④错误；
返回
【答案】D

展开更多......

收起↑