资源简介

(共23张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.2.3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.2.3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质”核心知识点设计，重点考查等边三角形的三种判定方法、含30°角的直角三角形的核心性质，以及两个知识点的综合应用，衔接前序等腰三角形、等边三角形的性质，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握两个知识点的解题规范，规避判定方法混淆、30°角所对直角边性质应用失误等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）等边三角形的判定（重点）1.定义法（最基础判定）：三条边都相等的三角形是等边三角形（与前序等边三角形定义一致，直接用于判定）。2.角判定法（核心）：三个角都相等的三角形是等边三角形（推导：三个角相等，每个角为60°，结合等腰三角形判定“等角对等边”，可得出三条边相等）。3.特殊判定法（常用）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（前提：三角形是等腰三角形，即有两条边相等或两个角相等，再加上一个60°角，可推出三条边、三个角都相等）。补充说明：①三种判定方法可灵活选用，优先用特殊判定法（节省计算步骤）；②等边三角形是特殊的等腰三角形，所有判定等腰三角形的方法，都可作为等边三角形判定的基础；③判定时注意：有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，必须结合“等腰”这一前提。4.判定技巧：①若已知三角形三边关系，优先用定义法；②若已知三角形角度关系，优先用角判定法；③若已知三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，直接用特殊判定法。（二）含30°角的直角三角形的性质（重点）1.核心性质（必记）：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则BC = $$\frac{1}{2}$$AB（BC是30°角所对的直角边，AB是斜边）。2.性质的逆用（补充，常用）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC = $$\frac{1}{2}$$AB，则∠A=30°。3.性质的应用前提（易错点）：①必须是“直角三角形”（非直角三角形不适用）；②30°角必须是“锐角”，所对的边必须是“直角边”，而非斜边或另一条直角边。4.补充说明：含30°角的直角三角形是特殊的直角三角形，除具备直角三角形的所有性质（两锐角互余、勾股定理等）外，还具备上述特殊性质，常与等边三角形、等腰三角形综合应用。5.易错提醒：①混淆等边三角形的三种判定方法，尤其是忽略“有一个角是60°的等腰三角形”中的“等腰”前提；②应用含30°角的直角三角形性质时，忽略“直角三角形”这一前提；③误将“30°角所对的直角边等于斜边的一半”记反（如认为斜边等于30°角所对直角边的一半）；④综合应用时，无法快速关联等边三角形与含30°角的直角三角形（如等边三角形的高将其分成两个含30°角的直角三角形）；⑤逆用性质时，未确认“直角三角形”前提。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于等边三角形判定的说法，正确的是（）A.有一个角是60°的三角形是等边三角形B.有两条边相等且有一个角是60°的三角形是等边三角形C.三个角都相等的三角形是等腰三角形，不是等边三角形D.三条边都相等的三角形不是等边三角形2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=8cm，则30°角所对的直角边BC的长度为（）A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm3.下列说法错误的是（）A.等边三角形的三个角都为60°B.含30°角的直角三角形中，斜边是30°角所对直角边的2倍C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D.含30°角的直角三角形中，另一个锐角为45°4.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若直角边BC=3cm，斜边AB=6cm，则∠A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°三、填空题（每题3分，共15分）1.等边三角形的判定方法有：①定义法：________；②角判定法：________；③特殊判定法：________。2.含30°角的直角三角形的核心性质：在直角三角形中，30°角所对的________等于________的一半。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=10cm，则AC=________cm，BC=________cm（结果保留根号）。4.若△ABC的三个角都相等，则△ABC是________三角形，每个内角为________°。5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为________°。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质。（1）请完整叙述等边三角形的三种判定方法，以及含30°角的直角三角形的核心性质（含几何表示）；（2）简述“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的推导过程。解：2.（12分）辨析题，考查两个知识点的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①有一个角是60°的三角形一定是等边三角形；②含30°角的直角三角形中，任意一条直角边都等于斜边的一半；③三个角都相等的三角形是等边三角形，也是等腰三角形；④在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这个直角三角形一定含30°角。（2）为什么说含30°角的直角三角形的性质，必须以“直角三角形”为前提？请举例说明。解：3.（12分）基础计算题，考查两个知识点的简单应用。（1）在△ABC中，AB=BC=AC，求△ABC三个内角的度数，并说明△ABC的形状；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12cm，求30°角所对的直角边的长度；（3）在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若AB=6cm，求BC的长度。解：4.（12分）综合计算题，考查两个知识点的综合应用。（1）在等边△ABC中，AD是BC边上的高，若BC=8cm，求AD的长度（提示：等边三角形的高将其分成两个含30°角的直角三角形）；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求斜边AB和另一条直角边BC的长度；（3）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，若CD=2cm，求AB的长度。解：5.（12分）应用题，考查两个知识点在实际场景中的应用。（1）一个等边三角形零件，边长为10cm，求这个零件的周长和一条边上的高的长度；（2）一块含30°角的直角三角形木板，斜边长度为16cm，求30°角所对的直角边的长度，以及另一个锐角的度数；（3）一个三角形旗帜，其中一个角为60°，两条边相等，边长为12cm，求旗帜的周长和每个内角的度数。解：6.（12分）综合题，考查两个知识点的灵活运用（与等腰三角形、直角三角形性质综合）。（1）如图，在等边△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AB的中点，求证：CD = $$\frac{1}{2}$$AB（提示：利用含30°角的直角三角形性质）；（3）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，若AD=3cm，求BC的长度。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.B 2.B 3.D 4.B 5.A二、填空题：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2.直角边；斜边3. 5；$$5\sqrt{3}$$ 4.等边；60 5. 30三、解答题：1.（1）判定方法、性质略；几何表示：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=$$\frac{1}{2}$$AB；（2）推导略（AB=AC→∠B=∠C，∠A=60°→∠B=∠C=60°→AB=BC=AC）2.（1）①错误，改正：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②错误，改正：30°角所对的直角边等于斜边的一半；③正确；④正确；（2）举例略（非直角三角形中，30°角所对的边不一定是最长边的一半）3.（1）三个角均为60°，等边三角形；（2）6cm；（3）6cm（步骤略）4.（1）$$4\sqrt{3}$$cm；（2）AB=10cm，BC=$$5\sqrt{3}$$cm；（3）8cm（步骤略）5.（1）周长30cm，高$$5\sqrt{3}$$cm；（2）8cm，60°；（3）周长36cm，每个内角60°（步骤略）6.（1）证明略（E、F为中点，AE=AF，∠A=60°，判定为等边三角形）；（2）证明略（∠A=30°，BC=$$\frac{1}{2}$$AB，D为中点，CD=BD=AD）；（3）$$6\sqrt{3}$$cm（步骤略）
学习目标
1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。
2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
1
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些结论吗？
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，
证一证
∴ AB = AC = BC.
∴ AB = AC.
∵∠B =∠C，
∴ AC = BC.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴ △ABC 是等边三角形.
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
∴ AB = AC = BC.
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
操作：用两个含有 30° 角的三角板，
你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
合作探究
30°
30°
结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
含 30° 角的直角三角形的性质
2
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
猜想验证
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
30°
A
B
C
D
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD ＝ AB.
∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∵ AC＝AC，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
还有别的方法吗？
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
定义总结
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
C
B
A
D
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等
于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
C
返回
1．
若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是(　　)
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形　
D．钝角三角形
返回
B
2．
如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60 m到达B处，测得∠CBD＝30°，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔CD的高度为(　　)
3．
如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是(　　)
A．2　
B．3
C．4
D．5
【点拨】
【答案】B
返回
4．
返回
6
如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________.
5．
2
将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm.
【点拨】
∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.易知∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．
返回
6．
【证明】∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD.
∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.
[2025绵阳期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形.
返回
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

展开更多......

收起↑