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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.4.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.4.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”核心知识点设计，重点考查线段垂直平分线的定义、性质定理、逆定理，以及定理的简单应用和综合运用，衔接前序三角形、全等三角形、直角三角形等相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握线段垂直平分线的解题规范，规避定理与逆定理混淆、应用条件遗漏等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）线段垂直平分线的定义（基础）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。补充说明：①线段垂直平分线的两个核心特征：一是过线段中点，二是与线段垂直，二者缺一不可；②线段的垂直平分线是一条直线，不是线段或射线；③任意一条线段有且只有一条垂直平分线。（二）线段垂直平分线的性质定理（重点，必记）1.定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2.几何表示：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA = PB。3.应用前提（易错点）：①点必须在线段的垂直平分线上；②距离是指点到线段两个端点的距离，而非到垂直平分线的距离；③线段垂直平分线的性质可用于证明两条线段相等，无需通过全等三角形证明，简化推理过程。4.证明思路：可通过构造两个直角三角形，利用HL定理证明全等，进而推出PA = PB（简要推导：设AB中点为O，l⊥AB，则∠AOP=∠BOP=90°，AO=BO，OP=OP，Rt△AOP≌Rt△BOP，故PA=PB）。（三）线段垂直平分线的逆定理（重点，必记）1.定理内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2.几何表示：若点P到线段AB的两个端点距离相等（PA = PB），则点P在线段AB的垂直平分线上。3.应用前提（易错点）：①点到线段两个端点的距离必须相等，缺一不可；②逆定理可用于判定一条直线是线段的垂直平分线（若有两个点到线段两端点距离相等，则这两个点所在的直线是线段的垂直平分线）。4.补充说明：性质定理与逆定理是互逆关系——性质定理是“垂直平分线上的点→到两端点距离相等”（由线定点的性质）；逆定理是“到两端点距离相等的点→在垂直平分线上”（由点定线的判定）。（四）线段垂直平分线的综合应用技巧- 1.证明线段相等：若已知点在某条线段的垂直平分线上，直接利用性质定理得出线段相等；- 2.判定线段垂直平分线：找到两个到线段两端点距离相等的点，连接这两个点的直线即为线段的垂直平分线；- 3.结合全等三角形：当无法直接用性质定理或逆定理时，可结合全等三角形证明线段相等或点在垂直平分线上，衔接前序知识。5.易错提醒：①混淆性质定理与逆定理的因果关系（性质是“线→点”，逆定理是“点→线”）；②应用性质定理时，忽略“点在垂直平分线上”这一前提；③应用逆定理时，只考虑一个点到两端点距离相等，就判定直线是垂直平分线（需两个点）；④误将线段的垂直平分线当作线段，忽略其“直线”属性；⑤证明逆定理时，未结合等腰三角形“三线合一”或全等三角形推导。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于线段垂直平分线的说法，正确的是（）A.经过线段中点的直线是线段的垂直平分线B.垂直于线段的直线是线段的垂直平分线C.经过线段中点且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线D.线段垂直平分线是线段的一部分2.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5cm，则PB的长度为（）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm3.下列说法错误的是（）A.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等B.到线段两端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上C.线段的垂直平分线有无数条D.线段垂直平分线是一条直线4.在△ABC中，AB=AC，若点A在线段BC的垂直平分线上，则下列结论正确的是（）A. AB=BC B. ∠A=∠B C. ∠B=∠C D. ∠A=∠C5.下列能判定直线l是线段AB的垂直平分线的是（）A.直线l经过线段AB的中点B.直线l垂直于线段ABC.直线l经过线段AB的中点，且点A到直线l的距离等于点B到直线l的距离D.点P在直线l上，且PA=PB三、填空题（每题3分，共15分）1.经过线段________并且________于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离相等。3.线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。4.在△ABC中，若AB=AC=6cm，BC=8cm，则点A在________的垂直平分线上；若点D是BC的中点，则直线AD是________的垂直平分线。5.若点P到线段AB的两个端点距离相等，点Q也到线段AB的两个端点距离相等，则直线PQ是线段AB的________。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查线段垂直平分线的定义、性质定理及逆定理。（1）请完整叙述线段垂直平分线的定义、性质定理（含几何表示）和逆定理（含几何表示）；（2）简述线段垂直平分线性质定理与逆定理的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查线段垂直平分线定理的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①经过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线；②线段垂直平分线上的点到线段中点的距离相等；③到线段两个端点距离相等的点，只有一个在这条线段的垂直平分线上；④线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。（2）为什么说线段垂直平分线的性质定理和逆定理是互逆关系？请结合定理内容说明。解：3.（12分）基础证明题，考查性质定理及逆定理的简单应用。（1）如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P、Q均在l上，求证：PA=PB，QA=QB；（2）如图，在△ABC中，PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ是线段AB的垂直平分线；（3）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD是线段BC的垂直平分线（用逆定理证明）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）4.（12分）综合证明题，考查定理与等腰三角形、全等三角形的综合应用。（1）在△ABC中，AB=AC，直线l是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点P，求证：PB=PC；（2）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点D，交AB于点E，若BE=5cm，求AE的长度；（3）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，求证：直线AD是线段BC的垂直平分线。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5.（12分）应用题，考查线段垂直平分线定理在实际场景中的应用。（1）某小区要在A、B两栋楼之间建一个健身器材区，要求健身器材区到A、B两栋楼的距离相等，且在小区主干道l上（主干道l与AB不垂直），请说明健身器材区的位置如何确定；（2）一块三角形菜地，AB=AC=10m，BC=12m，现要在菜地中找一点P，使点P到A、B、C三点的距离相等，求点P的位置及PA的长度；（3）工人师傅要制作一个等腰三角形零件，已知腰长为8cm，底边为6cm，求底边垂直平分线上任意一点到两腰的距离关系，并说明理由。解：6.（12分）综合题，考查线段垂直平分线定理的灵活运用（与角平分线、直角三角形综合）。（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，求证：AD=BD；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点O，交AC于点P，求证：PB平分∠ABC；（3）如图，在△ABC中，AD是BC的垂直平分线，E是AD上一点，连接BE、CE，若∠EBC=30°，求∠BAC的度数。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.C 5.C二、填空题：1.中点；垂直2.两个端点3.垂直平分线4. BC；BC 5.垂直平分线情境导入
A
B
P
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
点P是码头的位置
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，…
到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
线段垂直平分线的性质
1
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能证明这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，
点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
验证结论
∴ PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
线段垂直平分线的性质定理：
归纳总结
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
练一练： 1. 如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
P
A
B
C
D
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
归纳总结
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
B
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1．
如图，AD⊥BC，AB＝AC，点C在线段AE的垂直平分线上且点B，C，E三点共线，若AB＝3，BC＝4，则线段DE的长度为(　　)
A．4　
B．5
C．6　
D．7
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B
2．
[教材P29例1] 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
36°
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3．
4．
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2 700
风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝ 90 cm，BD＝60 cm，制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
5．
如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分线段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.
(1)若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；
【解】∵BD垂直平分线段AE，
∴BE＝BA＝6，DA＝DE.
∵△DEC的周长为7，即DE＋CE＋CD＝7，
∴AD＋EC＋DC＝AC＋EC＝7.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝
AB＋BE＋EC＋AC＝6＋6＋7＝19.
(2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数.
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6．
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【点拨】
由题可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠C.由题可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∴∠BAE＝∠CAE＝∠C.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAE＋∠BAE＝3∠C＝90°.∴∠C＝30°，故①正确．∵∠AFE＝90°，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，∴BE＝FE.又∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE.∴AB＝AF.∴AP垂直平分线段BF，故②正确．
【答案】D
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线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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