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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.3.2直角三角形全等的判定第一章三角形的证明及其应用北师大版八年级数学下册1.3.2直角三角形全等的判定练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.3.2直角三角形全等的判定”核心知识点设计，重点考查直角三角形全等的特殊判定方法（HL定理）、一般判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）的应用，以及直角三角形全等与直角三角形性质、等腰三角形等知识的综合运用，衔接前序三角形全等判定、直角三角形的性质与判定相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握直角三角形全等的解题规范，规避HL定理应用前提遗漏、判定方法混淆等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）直角三角形全等的判定前提与核心思路1.前提：直角三角形是特殊的三角形，因此三角形全等的一般判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）均适用于直角三角形，同时直角三角形有其独特的全等判定方法（HL定理），可简化解题过程。2.核心思路：判定两个直角三角形全等，优先考虑直角三角形特有的HL定理（省时高效）；若不满足HL定理的条件，再选用一般判定方法，注意结合直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）寻找隐含条件。（二）直角三角形全等的特殊判定方法——HL定理（重点，必记）1.定理内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简记为“斜边、直角边”或“HL”）2.几何表示：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE（斜边相等），AC=DF（一条直角边相等），则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。3.应用前提（易错点）：①两个三角形必须是直角三角形（需明确标注直角或能推导得出直角）；②必须是“斜边”和“一条直角边”分别相等，缺一不可，不能用两条直角边相等替代（两条直角边相等用SAS判定）。4.补充说明：HL定理本质上是直角三角形中“SSA”的特例——在一般三角形中，SSA不能判定全等，但在直角三角形中，由于直角是固定的90°，斜边和一条直角边确定后，第三条边的长度可通过勾股定理唯一确定，因此能判定全等。（三）直角三角形全等的一般判定方法（衔接前序）1.适用说明：SSS、SAS、ASA、AAS四种方法对直角三角形完全适用，解题时可根据已知条件灵活选择：-（1）已知两条直角边对应相等：用SAS判定（直角是两条直角边的夹角）；-（2）已知一个锐角和一条直角边对应相等：用ASA（直角与锐角、直角边对应）或AAS（锐角、直角边与另一条直角边对应）；-（3）已知一个锐角和斜边对应相等：用AAS判定（直角与锐角互余，可推出另一个锐角对应相等）；-（4）已知三条边对应相等：用SSS判定（可结合勾股定理验证是否为直角三角形）。（四）直角三角形全等的性质（衔接前序）两个直角三角形全等后，对应边相等、对应角相等，同时可结合直角三角形的性质，推导得出斜边中线相等、斜边上的高相等、对应锐角互余等结论，常用于后续线段相等、角相等的证明。5.易错提醒：①应用HL定理时，忽略“直角三角形”这一前提，直接用HL判定非直角三角形全等；②混淆HL定理与SAS，误将两条直角边相等用HL判定；③判定时遗漏对应关系，如斜边与直角边对应错误；④忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，无法快速找到全等的条件；⑤证明过程不规范，未先标注直角三角形，直接使用HL定理。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列能判定两个直角三角形全等的是（）A.两个锐角对应相等B.一条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边对应相等2.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中，不能判定两三角形全等的是（）A. AC=DF，BC=EFB. ∠A=∠D，AB=DEC. AB=DE，AC=EFD. ∠B=∠E，BC=EF3.下列关于HL定理的说法，正确的是（）A. HL定理适用于所有三角形全等的判定B.用HL定理判定全等，只需斜边对应相等C.用HL定理判定全等，必须有斜边和一条直角边对应相等D.两个直角三角形中，只要有一条边对应相等，就可以用HL定理判定全等4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=BD（D为AB中点），若CD=5cm，则AB的长度为（）A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm5.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则下列结论错误的是（）A. BC=EFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠ED. AC=DE三、填空题（每题3分，共15分）1.直角三角形全等的特殊判定方法是________，简记为________，其条件是________。2.三角形全等的一般判定方法________、________、________、________，均适用于直角三角形。3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（________）（填判定方法）。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若用HL定理判定Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'，则还需添加的条件是________和________。5.两个直角三角形全等，除了对应边、对应角相等外，还可推出________、________等（至少写2个）。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查直角三角形全等的判定方法。（1）请完整叙述HL定理的内容、几何表示，以及直角三角形全等的一般判定方法；（2）简述HL定理与一般三角形全等判定方法的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查直角三角形全等判定的易错点及方法判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①HL定理可以判定任意两个三角形全等；②两个直角三角形中，两条直角边对应相等，可用HL定理判定全等；③用HL定理判定直角三角形全等，只需一条直角边对应相等即可；④两个直角三角形全等，一定可以用HL定理判定。（2）为什么说HL定理是直角三角形特有的全等判定方法？请举例说明。解：3.（12分）基础证明题，考查HL定理及一般判定方法的简单应用。（1）如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，BC为公共斜边，AB=DC，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DCB（用HL定理）；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥BC于点D，若AC=AD，求证：Rt△ACD ≌ Rt△ADC（用SAS定理）；（3）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D，AB=DE，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF（用AAS定理）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）4.（12分）综合证明题，考查直角三角形全等与直角三角形性质的综合应用。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，求证：Rt△ABD ≌ Rt△ACD；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：Rt△ADE ≌ Rt△BDF；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BE⊥AB，且BE=AB，BD⊥BC，且BD=BC，求证：Rt△ABC ≌ Rt△EBD。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5.（12分）应用题，考查直角三角形全等在实际场景中的应用。（1）一块直角三角形钢板，测得其两条直角边分别为6cm和8cm，另一块直角三角形钢板与它全等，且有一条斜边与它的斜边相等，求另一块钢板的两条直角边长度；（2）工人师傅要制作两个全等的直角三角形零件，已知其中一个零件的直角边为5cm和12cm，若用HL定理判定两个零件全等，还需测量哪个边的长度？请说明理由；（3）一个直角三角形框架，其中一个锐角为30°，斜边为10cm，另一个直角三角形框架与它全等，求这个框架的两条直角边长度。解：6.（12分）综合题，考查直角三角形全等的灵活运用（与等腰三角形、角平分线综合）。（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，求证：Rt△ACD ≌ Rt△AED；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE、CE，求证：Rt△BDE ≌ Rt△CDE；（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=BC，E、F分别在AC、BC上，且AE=CF，连接AF、BE，求证：Rt△ABE ≌ Rt△BCF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.B 5.D二、填空题：1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；HL；斜边和一条直角边分别相等2. SSS；SAS；ASA；AAS 3. SAS 4.斜边对应相等；一条直角边对应相等5.斜边中线相等；斜边上的高相等（答案不唯一）三、解答题：1.（1）HL定理内容、几何表示、一般判定方法略；（2）区别：HL定理仅适用于直角三角形，一般方法适用于所有三角形；联系：HL定理是直角三角形全等判定的特殊方法，一般方法可用于直角三角形2.（1）①错误，改正：HL定理仅适用于直角三角形全等的判定；②错误，改正：两条直角边对应相等，用SAS判定；③错误，改正：需斜边和一条直角边对应相等；④错误，改正：两个直角三角形全等，可选用HL、SAS、ASA等多种方法；（2）举例略（非直角三角形中，斜边和一条直角边相等不能判定全等）3.（1）证明略（∠A=∠D=90°，BC=CB，AB=DC，HL）；（2）证明略（AC=AD，∠C=∠ADC=90°，CD=DC，SAS）；（3）证明略（∠A=∠D，∠C=∠F=90°，AB=DE，AAS）4.（1）证明略（AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，HL）；（2）证明略（AD=BD，∠A=∠B，∠AED=∠BFD=90°，AAS）；（3）证明略（AB=BE，BC=BD，∠ABC=∠EBD=90°，SAS）5.（1）6cm和8cm；（2）斜边，理由：HL定理需要斜边和一条直角边对应相等，已知一条直角边，需测量斜边；（3）5cm和$$5\sqrt{3}$$cm（步骤略）6.（1）证明略（AD平分∠BAC，CD=DE，AD=AD，HL）；（2）证明略（BD=CD，∠BDE=∠CDE=90°，DE=DE，SAS）；（3）证明略（AB=BC，∠C=∠BAE=90°，AE=CF，SAS）（步骤略）
学习目标
1.掌握“斜边、直角边(HL)”的判定方法。
2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等。
3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题。
复习回顾
如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。
(1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据______，△ABC≌△DEF；
A
B
C
F
E
D
(2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF；
(3)若AB=DE，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF；
(4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据______，△ABC≌△DEF。
ASA
AAS
SAS
SSS
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定△ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定
1
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
α
a
c
画一画
作法：
2. 过点作射线 CN 的垂线 CM .
3. 在射线 CM 上截取 CB＝a.
A
M
C
N
4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
5. 连接 AB.
B
α
a
c
1. 作射线 CN.
△ABC 就是所要作的直角三角形.
视频观看
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
∴ BC＝B'C'.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
∵∠C＝90°
验证结论
归纳总结
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等； ( )
(2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等； ( )
(3) 一个锐角和斜边对应相等； ( )
(4) 两直角边对应相等； ( )
(5) 一条直角边和斜边对应相等． ( )
HL
ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
例 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
解：根据题意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，
B
A
D
F
C
E
A
返回
1．
如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC．要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，则需添加一个条件是(　　)
A．AB＝DC
B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C
D．AE＝DF
返回
D
2．
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE相交于点O，连接AO，图中全等三角形共有(　　)
A．2对　
B．3对　
C．4对　
D．5对
42°
3．
如图，在△ABC中，∠BAC＝24°，在△DEF中，∠F＝66°，BC，EF边上的高相等，若AC＝DF，则∠B的度数为________.
【点拨】
返回
4．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)求证：△ACD≌△ABD；
(2)过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE＝AE.求证：AF＝2CD．
【证明】∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠EAF＋∠B＝90°，∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠EAF＝∠BCE.
∵AE＝CE，∴△AEF≌△CEB.∴BC＝AF.
∵Rt△ACD≌Rt△ABD.∴CD＝BD.
∴BC＝2CD.∴AF＝2CD.
返回
5．
如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，作DH⊥BC于点H，BC＝9，AB＝5，则CH的长度为(　　)
【点拨】
【答案】B
如图，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E.∵DH⊥BC，DE⊥BA，∴∠DEB＝∠DHB＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBH.又∵BD＝BD，∴△DBE≌△DBH(AAS)．∴DE＝DH，BE＝BH.
又∵AD＝CD，∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)．
∴AE＝CH. ∵BC＝BH＋CH＝BE＋CH，∴BC＝AB＋AE＋CH＝AB＋2CH.∵BC＝9，AB＝5，∴CH＝2.
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6．
【点拨】
返回
7．
【证明】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
又∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)．
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE并延长交BD于点F.
(1)求证：△ACE≌△ABD；
(2)过点A作AH⊥BD于点H，请探究EF，DH，HF三条线段的数量关系，并给出证明.
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“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)

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