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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.4.2垂直平分线的有关作图第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.4.2垂直平分线的有关作图”核心知识点设计，重点考查线段垂直平分线的尺规作图步骤、作图依据，以及利用垂直平分线作图解决实际问题，衔接前序线段垂直平分线的性质定理、逆定理，分层考查基础识记、作图规范、逻辑推理与实际应用能力，助力掌握垂直平分线作图的规范流程，规避作图步骤遗漏、作图依据错误、实际应用不灵活等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）作图核心依据（重点）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。补充说明：作图的核心思路的是，找到两个到线段两端点距离相等的点，连接这两个点的直线，即为线段的垂直平分线（两点确定一条直线），本质是逆定理的实际应用。（二）线段垂直平分线的尺规作图步骤（重点，必记）已知：线段AB（如图），求作：线段AB的垂直平分线l。步骤（规范流程，缺一不可）：1. 1.以点A为圆心，以大于$$\frac{1}{2}AB$$的长为半径作弧，分别交线段AB的上方、下方于点C、点D；2. 2.以点B为圆心，以同样的半径（与步骤1中半径相等）作弧，分别交线段AB的上方、下方于点C、点D（与步骤1所作的弧交于C、D两点）；3. 3.连接点C和点D，直线CD即为线段AB的垂直平分线l。补充说明：①半径必须大于$$\frac{1}{2}AB$$，否则以A、B为圆心所作的弧无法相交，无法确定两个点；②步骤1和步骤2的半径必须相等，才能保证AC=BC、AD=BD，确保C、D两点都在AB的垂直平分线上；③所作的直线CD即为AB的垂直平分线，线上任意一点到A、B两点的距离都相等。（三）常见作图应用（重点）1.过直线外一点作已知直线的垂线（结合垂直平分线作图）：步骤：①在已知直线上取两点A、B，使点P到A、B的距离相等（或直接以P为参照）；②作线段AB的垂直平分线l，直线l即为过点P且垂直于已知直线的直线。2.利用垂直平分线作图解决“距离相等”问题：核心：若要求找一点，使该点到某两条线段的端点距离相等，可通过作对应线段的垂直平分线，交点即为所求点（如三角形的外心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等）。3.结合等腰三角形作图：作等腰三角形底边的垂直平分线，可得到等腰三角形的顶角平分线、底边上的高（三线合一）。（四）作图注意事项（易错点）- 1.尺规作图必须规范，保留作图痕迹（弧的痕迹、交点、直线），不能用直尺直接画垂直平分线，需通过弧的交点确定直线；- 2.作弧时，半径必须大于$$\frac{1}{2}AB$$，且两次作弧的半径保持一致，否则作图无效；- 3.区分“线段的垂直平分线”与“过一点作已知直线的垂线”，前者是针对线段，后者是针对直线，作图步骤略有差异；- 4.作图后，需简要说明作图结果（如“直线CD即为所求线段AB的垂直平分线”），并标注作图依据（逆定理）。5.易错提醒：①作图时，半径小于或等于$$\frac{1}{2}AB$$，导致弧无交点；②两次作弧的半径不相等，导致C、D两点不在AB的垂直平分线上；③忘记保留作图痕迹，或痕迹不清晰；④混淆作图依据，误将性质定理作为作图依据；⑤过直线外一点作垂线时，未在直线上取两点构造线段，直接作图。二、选择题（每题3分，共15分）1.作线段AB的垂直平分线时，下列说法正确的是（）A.以A、B为圆心，以任意长为半径作弧即可B.以A、B为圆心，以小于$$\frac{1}{2}AB$$的长为半径作弧C.以A、B为圆心，以大于$$\frac{1}{2}AB$$的长为半径作弧，且两次半径相等D.作弧后，只需连接一个交点即可得到垂直平分线2.作线段AB的垂直平分线，其作图依据是（）A.线段垂直平分线的性质定理B.线段垂直平分线的逆定理C.等腰三角形的三线合一D.全等三角形的判定（HL定理）3.下列关于垂直平分线作图的说法，错误的是（）A.所作的垂直平分线是一条直线B.作图时必须保留弧的痕迹C.垂直平分线上的点到线段AB两端点的距离相等D.以A、B为圆心作弧时，半径可以不相等4.过直线l外一点P，作直线l的垂线，下列作图方法正确的是（）A.直接用直尺过P作l的垂线B.在l上取两点A、B，作线段AB的垂直平分线，即为所求垂线C.在l上取两点A、B，使PA=PB，作线段AB的垂直平分线，即为所求垂线D.以P为圆心，任意长为半径作弧，交l于一点，即可作出垂线5.在△ABC中，作边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A. AE=BE B. BE=CE C. AD=CD D. ∠B=∠C三、填空题（每题3分，共15分）1.作线段AB的垂直平分线时，以A、B为圆心作弧，半径必须________的长，且两次作弧的半径________。2.线段垂直平分线的尺规作图依据是：________。3.过直线外一点作已知直线的垂线，可先在已知直线上取两点，作这两点所连线段的________，即为所求垂线。4.在△ABC中，作三边的垂直平分线，三条垂直平分线的交点叫做△ABC的________，该点到△ABC________的距离相等。5.作线段AB的垂直平分线时，需作出以A、B为圆心的弧的________个交点，连接这两个交点的________即为所求垂直平分线。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查线段垂直平分线的尺规作图步骤及依据。（1）请完整叙述已知线段AB，作其垂直平分线的尺规作图步骤（含作图痕迹要求）；（2）说明该作图的依据，并简要推导作图的合理性（结合逆定理）。解：2.（12分）辨析题，考查垂直平分线作图的易错点及作图规范。（1）判断下列作图操作是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①作线段AB的垂直平分线时，以A为圆心，以$$\frac{1}{2}AB$$的长为半径作弧，以B为圆心，以同样半径作弧；②作垂直平分线时，只需作出弧的一个交点，连接该交点与线段AB的中点即可；③过直线l外一点P作l的垂线，直接以P为圆心作弧交l于一点，连接P与该点即为垂线；④作图时，不保留弧的痕迹，仅画出垂直平分线即可。（2）为什么作线段垂直平分线时，半径必须大于$$\frac{1}{2}AB$$？请简要说明。解：3.（12分）基础作图题，考查线段垂直平分线的基本作图。（1）如图，已知线段AB，用尺规作线段AB的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，标注交点和直线l）；（2）如图，已知线段CD，过线段CD的中点O，作CD的垂直平分线（要求：保留作图痕迹，说明作图步骤）；（3）如图，已知直线l和直线外一点P，用尺规过点P作直线l的垂线（要求：保留作图痕迹，标注作图结果）。情境导入
C
N
M
B
A
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形。
a
c
那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？
尺规作图
1
尝试交流： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。
已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
l
D
C
B
a
h
A
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC
于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
则△ABC 为所求的等腰三角形.
思考交流
还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。
3. 作线段 AB 的垂直平分线 m.
2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B.
B
A
作法：
● P
C
D
l
m
1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁.
直线 m 就是所要作的直线.
Q
已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。
B
C
A
P
D
E
分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？
已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
三角形三边的垂直平分线的性质
2
证明：如图，连接 PA，PB，PC。
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
∴ PA = PB = PC。
∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。
同理，PB = PC。
∵点 P 在 AB 的垂直平分线上，
B
C
A
P
D
E
即边 AC 的垂直平分线经过点 P。
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
返回
1．
如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在(　　)
A．三边的垂直平分线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高所在直线的交点处
D．三条中线的交点处
返回
A
2．
若三角形三边垂直平分线的交点在三角形的某一边上，则该三角形是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
返回
3．
如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则下列四种不同的作图方法中正确的是(　　)
4．
返回
110°
如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点D，若∠BDC＝140°，则∠BAC的大小是________.
5．
返回
【解】等腰直角三角形ABC
如图所示．(答案不唯一)
如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，作
一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
6．
【点拨】
【答案】B
由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则∠BOC＝∠BOE＝90°.∵BP平分∠ABC，∴∠CBO＝∠ABO，又∵OB＝OB，∴△BOC≌△BOE.∴OC＝OE，BC＝BE＝12.∴BD垂直平分CE，AE＝AB－BE＝4.∴DE＝CD.∴△ADE的周长为AE＋DE＋AD＝AE＋AD＋CD＝AE＋AC＝14.
返回
7．
12
【点拨】
返回
1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
l1
l2
l3
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.

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