资源简介

(共19张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.5.1角平分线的性质定理及其逆定理第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.5.1角平分线的性质定理及其逆定理”核心知识点设计，重点考查角平分线的定义、性质定理、逆定理，以及定理的简单应用和综合运用，衔接前序三角形、全等三角形、垂直平分线等相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握角平分线的解题规范，规避定理与逆定理混淆、应用条件遗漏、距离判断错误等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）角平分线的定义（基础）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。补充说明：①角平分线是一条射线，不是直线或线段，它的端点是角的顶点；②一个角有且只有一条平分线；③角平分线将角分成两个度数相等的小角，且两个小角的和等于原角的度数。（二）角平分线的性质定理（重点，必记）1.定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2.几何表示：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD = PE。3.应用前提（易错点）：①点必须在角的平分线上；②距离是指点到角两边的垂线段长度，而非点到角顶点的距离，且两条垂线段必须垂直于角的两边（PD⊥OA、PE⊥OB缺一不可）；③性质定理可直接用于证明两条垂线段相等，无需通过全等三角形证明，简化推理过程。4.证明思路：可通过构造两个直角三角形，利用AAS定理证明全等，进而推出PD = PE（简要推导：OC平分∠AOB→∠AOC=∠BOC，PD⊥OA、PE⊥OB→∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，Rt△PDO≌Rt△PEO，故PD=PE）。（三）角平分线的逆定理（重点，必记）1.定理内容：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。2.几何表示：如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE，则点P在∠AOB的平分线上（即射线OP平分∠AOB）。3.应用前提（易错点）：①点必须在角的内部（若点在角的外部，到角两边距离相等，不一定在角的平分线上）；②点到角两边的距离必须是垂线段长度，且两条垂线段分别垂直于角的两边；③逆定理可用于判定一条射线是角的平分线（若一个点在角内部，且到角两边距离相等，则连接角顶点与该点的射线是角的平分线）。4.补充说明：性质定理与逆定理是互逆关系——性质定理是“平分线上的点→到两边距离相等”（由线定点的性质）；逆定理是“到两边距离相等的点→在平分线上”（由点定线的判定）。（四）角平分线的综合应用技巧- 1.证明线段相等：若已知点在某角的平分线上，且该点到角两边的垂线段已作出，直接利用性质定理得出垂线段相等；- 2.判定角平分线：找到角内部一个到角两边距离相等的点，连接该点与角顶点的射线，即为角的平分线；- 3.结合全等三角形：当无法直接用性质定理或逆定理时，可结合全等三角形证明垂线段相等或点在角平分线上，衔接前序知识；- 4.结合垂直平分线：角平分线与垂直平分线常综合应用，可通过两者的性质推导线段相等、角相等。5.易错提醒：①混淆性质定理与逆定理的因果关系（性质是“线→点”，逆定理是“点→线”）；②应用性质定理时，忽略“点在角平分线上”或“垂线段垂直于角的两边”这两个前提；③应用逆定理时，忽略“点在角的内部”这一前提；④误将“点到角顶点的距离”当作“点到角两边的距离”；⑤证明逆定理时，未结合直角三角形全等推导。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于角平分线的说法，正确的是（）A.角平分线是一条直线B.角平分线把一个角分成两个互补的角C.从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线是角的平分线D.角平分线上的点到角顶点的距离相等2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3cm，则PE的长度为（）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm3.下列说法错误的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B.在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上C.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合D.任意一点到角两边的距离相等，都在这个角的平分线上4.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，CD⊥AD于点D，则下列结论正确的是（）A. BD=CD B. AB=AC C. AD=BD D. ∠ABD=∠ACD5.下列能判定射线OP是∠AOB的平分线的是（）A.点P在∠AOB内部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB）B.点P在∠AOB外部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB）C.点P在OP上，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB）D.点P在∠AOB内部，且PA=PB三、填空题（每题3分，共15分）1.从一个角的________出发，把这个角分成两个________的角的射线，叫做这个角的平分线。2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的________的距离相等。3.角平分线的逆定理：在一个角的________，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。4.在△ABC中，AD平分∠BAC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=4cm，则DF=________cm。5.若点P在∠AOB的内部，且到OA、OB的距离相等，则射线OP是∠AOB的________，其依据是________。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查角平分线的定义、性质定理及逆定理。（1）请完整叙述角平分线的定义、性质定理（含几何表示）和逆定理（含几何表示）；（2）简述角平分线性质定理与逆定理的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查角平分线定理的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点都在角的平分线上；②角平分线是一条线段，能把一个角分成两个相等的角；③点P到∠AOB两边的距离相等，则点P一定在∠AOB的平分线上；④角平分线上的点到角两边的线段相等。（2）为什么说角平分线的逆定理中，“点在角的内部”这一前提必不可少？请举例说明。解：3.（12分）基础证明题，考查性质定理及逆定理的简单应用。（1）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE；（2）如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB；（3）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE=AF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）4.（12分）综合证明题，考查定理与等腰三角形、全等三角形的综合应用。（1）在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，求证：BD=CD，AD⊥BC；（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，若CD=3cm，求DE的长度，并证明AC=AE；（3）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：AD平分∠BAC。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5.（12分）应用题，考查角平分线定理在实际场景中的应用。（1）一块三角形草坪ABC，∠BAC的平分线AD交BC于D，现要在AD上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，说明点P的位置，并求若PD=2m，点P到AB的距离；（2）某工厂有两个车间A、B，位于一条公路的同侧，现要在公路旁建一个仓库P，要求仓库P到两个车间A、B的距离相等，且到公路的距离等于到车间A的距离，用文字说明仓库P的位置确定方法；（3）工人师傅要制作一个角平分线工具，已知一个角为60°，用尺规作出这个角的平分线，并说明依据（结合性质定理或逆定理）。解：6.（12分）综合题，考查角平分线定理的灵活运用（与垂直平分线、直角三角形综合）。（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，求证：AD=BD；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF，且AE=AF；（3）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，交AD于点O，交AB于E，交AC于F，求证：∠EAD=∠EDA。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.A二、填空题：1.顶点；相等2.两边3.内部；平分线4. 4 5.平分线；角平分线的逆定理三、解答题：1.（1）定义、性质定理、逆定理及几何表示略；（2）区别：性质定理是“线→点”（角平分线上的点到两边距离相等），逆定理是“点→线”（到两边距离相等的点在角平分线上）；联系：二者互逆，可相互推导2.（1）①错误，改正：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，在角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②错误，改正：角平分线是一条射线；③错误，改正：点P在∠AOB内部，且到OA、OB的距离相等，则点P在∠AOB的平分线上；④错误，改正：角平分线上的点到角两边的垂线段相等；（2）举例略（角外部到角两边距离相等的点，不在角的平分线上）3.（1）证明略（利用角平分线性质定理）；（2）证明略（利用角平分线逆定理）；（3）证明略（AD平分∠BAC→DE=DF，AD=AD，Rt进行新课
知识点1
角平分线的性质
O
E
C
B
A
D
通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）。
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
知识要点
角平分线的判定
2
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。
尝试思考
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
结论证明
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识要点
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
C
返回
1．
已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　)
2．
[2025江门月考]如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【点拨】
【答案】C
返回
6
返回
3．
4．
返回
3 cm
小明将两把完全相同的直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，则OC的长度是____________.
5．
返回
6．
如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
【证明】如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°.
∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF.
又∵CD＝CB，
∴△CDE≌△CBF(AAS)．
∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB.
(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长.
返回
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

展开更多......

收起↑