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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.1.5.2三角形三个内角的平分线第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“1.5.2三角形三个内角的平分线”核心知识点设计，重点考查三角形内角平分线的定义、性质，三角形三条内角平分线的交点（内心）的特点，以及内角平分线的尺规作图、综合应用，衔接前序角平分线的性质定理、逆定理、全等三角形等相关知识，分层考查基础识记、作图规范、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握三角形内角平分线的解题规范，规避内心性质混淆、作图步骤遗漏、综合应用不灵活等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）三角形内角平分线的定义（基础，衔接前序）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的内角平分线。补充说明：①三角形的内角平分线是线段（区别于角的平分线——射线），它的两个端点分别是三角形的顶点和对边上的交点；②任意一个三角形有三条内角平分线，分别对应三个内角；③三角形的内角平分线一定在三角形的内部（无论锐角、直角、钝角三角形，内角平分线均在内部）。（二）三角形三条内角平分线的交点——内心（重点，必记）1.核心性质：三角形的三条内角平分线一定相交于一点，这个点叫做三角形的内心。2.内心的关键特征（核心考点）：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。（依据：角平分线的性质定理——内心在每条内角平分线上，故到两条对应边的距离相等，进而到三条边的距离都相等）3.几何表示：如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，且交于点I（内心），过I作IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，IJ⊥AC于J，则IG = IH = IJ。4.补充说明：①内心是三角形内接圆的圆心（内心到三边距离相等，这个距离即为内接圆半径）；②无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终在三角形内部；③内心到三角形三个顶点的距离不相等（区别于外心），仅到三条边的距离相等。（三）三角形内角平分线的尺规作图（重点）1.单条内角平分线的作图（衔接角平分线作图）：已知：△ABC，求作：∠BAC的平分线AD，交BC于点D。步骤：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于两点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于$$\frac{1}{2}MN$$的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P；③连接AP，交BC于点D，线段AD即为∠BAC的平分线。2.三角形三条内角平分线的作图（找内心）：步骤：①作三角形任意两个内角的平分线；②两条平分线的交点即为三角形的内心（第三条内角平分线必过该点，可省略作图，但保留前两条痕迹即可）。（四）三角形内角平分线的综合应用技巧- 1.利用内心性质求距离：若已知内心到三角形一条边的距离，可直接得出到另外两条边的距离（三者相等）；- 2.结合角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段，与这个角的两条邻边对应成比例（补充考点，可用于线段长度计算）；- 3.结合全等三角形：通过内角平分线构造全等三角形，推导线段相等、角相等；- 4.区分内心与外心：内心是三条内角平分线的交点，到三边距离相等；外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，避免混淆。5.易错提醒：①混淆“三角形的内角平分线（线段）”与“角的平分线（射线）”；②误认为内心到三角形三个顶点的距离相等（实际到三边距离相等）；③作图时，误将三角形内角平分线画成射线，未与对边相交；④忽略内心始终在三角形内部的特点；⑤应用内心性质时，未明确“内心到三边的距离是垂线段长度”。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于三角形内角平分线的说法，正确的是（）A.三角形的内角平分线是一条射线B.三角形的三条内角平分线一定相交于三角形外部C.三角形的内角平分线一定在三角形内部D.三角形的内角平分线分对边所得的两条线段相等2.三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心3.下列关于三角形内心的说法，错误的是（）A.内心是三角形三条内角平分线的交点B.内心到三角形三条边的距离相等C.内心一定在三角形内部D.内心到三角形三个顶点的距离相等4.在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE交于点I，若IG⊥AB于G，IG=2cm，则点I到BC的距离为（）A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm5.在Rt△ABC中，∠C=90°，内心I到AB的距离为3cm，则该三角形内接圆的半径为（）A. 1.5cm B. 3cm C. 6cm D.无法确定三、填空题（每题3分，共15分）1.三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的________和________之间的线段，叫做三角形的内角平分线。2.三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的________，它到三角形________的距离相等。3.在△ABC中，内心为I，若I到AB的距离为5cm，则I到AC的距离为________cm，到BC的距离为________cm。4.作三角形的内心，只需作任意________条内角平分线，它们的________即为内心。5.直角三角形的内心到直角顶点的距离________（填“大于”“小于”或“等于”）到斜边的距离。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查三角形内角平分线的定义、内心的性质。（1）请完整叙述三角形内角平分线的定义、三角形内心的定义及核心性质（含几何表示）；（2）简述三角形的内角平分线与角的平分线的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查三角形内角平分线及内心的易错点。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①三角形的内角平分线是一条射线，能平分三角形的内角；②三角形的三条内角平分线可能相交于三角形外部；③三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；④直角三角形的内心在斜边的中点上。（2）为什么说三角形的内心一定在三角形内部？请结合内角平分线的特点说明。解：3.（12分）基础作图题，考查三角形内角平分线的尺规作图及内心确定。（1）如图，已知△ABC，用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（要求：保留作图痕迹，标注交点）；（2）如图，已知△ABC，用尺规作△ABC的内心I（要求：保留作图痕迹，说明作图步骤）；（3）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，用尺规作其内心I，并过I作IG⊥AB于G，测量IG的长度（简要说明测量方法）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出作图步骤并说明痕迹）4.（12分）综合证明题，考查内心性质与角平分线定理、全等三角形的综合应用。（1）在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，交于点I，IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，求证：IG=IH；（2）在△ABC中，内心为I，过I作IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，IJ⊥BC于J，若IG=3cm，△ABC的周长为20cm，求△ABC的面积；（3）在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5.（12分）应用题，考查三角形内角平分线及内心在实际场景中的应用。（1）一块三角形花园ABC，现要在花园内找一点P，使点P到三条边的距离相等，说明点P的位置，并说明如何用尺规确定该点；（2）一个直角三角形零件，∠C=90°，两直角边长分别为6cm和8cm，求该零件内心到斜边的距离；（3）工人师傅要制作一个三角形木框，已知三角形的两条边分别为5cm和7cm，夹角为60°，用尺规作出该三角形的内心，并说明内心的作用（结合内接圆）。解：6.（12分）综合题，考查三角形内角平分线的灵活运用（与等腰三角形、直角三角形、垂直平分线综合）。（1）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点I，求证：I是△ABC的内心；（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，I是△ABC的内心，求证：ID=IG（IG⊥AB于G）；（3）如图，在△ABC中，内心为I，EF是AI的垂直平分线，交AI于点O，交AB于E，交AC于F，求证：IE=IF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.B二、填空题：1.顶点；交点2.内心；三条边3. 5；5 4.两；交点5.大于三、解答题：1.（1）定义、内心性质及几何表示略；（2）区别：三角形的内角平分线是线段，角的平分线是射线；联系：三角形的内角平分线是角的平分线的一部分（线段在射线上）2.（1）①错误，改正：三角形的内角平分线是一条线段；②错误，改正：三条内角平分线一定相交于三角形内部；③错误，改正：内心到三角形三条边的距离相等；④错误，改正：直角三角形的内心在三角形内部，不在斜边中点；（2）理由：三角形的内角平分线均在三角形内部，三条内部线段的交点也在内部3.（1）（2）（3）作图步骤略，保留弧痕、交点，标注清晰4.（1）证明略（I在AD、BE上，利用角平分线性质定理，IG=IJ、IH=IJ，故IG=IH）；（2）面积=30cm （面积= ×周长×内心到边的距离）；（3）证明略（AD平分∠BAC→DE=DF，AD=AD，Rt△ADE≌Rt△ADF，故AE=AF，AD垂直平分EF）5.（1）点P是△ABC的内心，作任意两条内角平分线，交点即为P；（2）距离=2cm；（3）作图略，内心是三角形内接圆的圆心，可确定内接圆的位置和半径6.（1）证明略（AB=AC，AD平分复习回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
三角形的内角平分线
1
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
例2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到
这个角的两边的距离相等 )。
∵ AC=BC，∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C = 90°，
∴∠B = ×90° = 45°.
在等腰Rt△BDE 中，
∴ BE = DE ( 等角对等边 )。
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.
在 △BDF 和 △CDE 中，
∠BFD = ∠CED，
∠BDF = ∠CDE，
BD = CD，
∴△BDF≌△CDE (AAS).
∴ DF = DE.
又 DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线.
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
试一试
例2 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P.
求证：∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
分析：要证明∠A 的平分线经过点 P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
归纳总结
A
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1．
如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线交于点O，AB＝12 cm，BC＝9 cm，若△ABO的面积为18 cm2，则△BOC的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．13.5 cm2
B．18 cm2
C．24 cm2
D．27 cm2
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6
2．
如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成
一个直角三角形，两直角边AC，BC的长分别为6 m和
8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线段)是________m.
6
3．
如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，BE与CD交于点O，若过点O的直线MN平分△ABC的面积，那么CM＋CN的值为________.
【点拨】
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4．
①②③
【点拨】
∵OM＝OR＝OS，∴三角形内部有一个点O到直线AB，AC，BC的距离相等，如图③所示，作△ABC外角的平分线BP1，AP1，交于点P1.过点P1作P1N1⊥BC，P1N2⊥AB，P1N3⊥AC，由角平分线的性质定理可得P1N1＝P1N2＝P1N3，同理可得，三角形外部共有3个点到直线AB，AC，BC的距离相等，∴共有4个点到直线AB，AC，BC的距离相等，故④错误；综上所述，正确的有①②③.
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5．
[2025北京汇文中学月考]已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC＋∠ADC＝180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
(1)如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
【证明】如图①，过点C作CF⊥AD，垂足为F.
因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.
因为∠CBE＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°，
所以∠CBE＝∠CDF.
又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，
所以△BCE≌△DCF.所以BC＝DC.
(2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段AB，AD与BE之间的数量关系；
【解】AD－AB＝2BE.
【点拨】
如图②，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.又因为AC＝AC，所以Rt△ACE≌Rt△ACF，所以AE＝AF.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，所以∠CDF＝∠CBE.又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，所以△BCE≌△DCF，所以BE＝DF，所以AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝
AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，所以AD－AB＝2BE.
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BK交AD于点K，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G，若BG＝1，DK＝2，求线段DB的长.
【解】如图③，在BD上截取BH＝BG＝1，连接OH.
因为BK平分∠ABD，所以∠OBH＝∠OBG.
又因为OB＝OB，所以△OBH≌△OBG，
所以∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG.
因为AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
所以DO是∠ADB的平分线，所以∠ODH＝∠ODK.
因为∠OHB＝∠ODH＋∠DOH，
∠OGB＝∠ODK＋∠DAB，所以∠DOH＝∠DAB＝60°，
所以∠GOH＝120°，所以∠BOG＝∠BOH＝60°，
所以∠DOK＝∠BOG＝60°，所以∠DOH＝∠DOK.
又因为OD＝OD，
所以△ODH≌△ODK，所以DH＝DK＝2，
所以DB＝DH＋BH＝2＋1＝3.
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三角形内角
平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题

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