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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.2.3.2一元一次不等式与一次函数的综合应用第二章不等式与不等式组班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“2.3.2一元一次不等式与一次函数的综合应用”核心知识点设计，重点考查利用一次函数图像对比两个函数的大小关系、结合一次函数与一元一次不等式解决实际方案选择、最值分析等问题，熟练运用“数形结合”思想，将一次函数的性质与不等式的解集结合，分层考查综合分析、建模应用、逻辑推理与计算能力，助力掌握综合应用的解题思路与规范，规避图像分析、方案取舍中的常见失误。一、基础梳理（必记内容）1.核心思路：一元一次不等式与一次函数综合应用的本质，是利用一次函数的图像与性质，分析两个（或多个）函数的函数值大小关系，转化为一元一次不等式求解，进而解决实际问题（如方案选择、最值、范围确定等）。2.两个一次函数的大小关系与不等式的对应（核心重点）：设两个一次函数分别为：$$y_1 = k_1x + b_1$$（$$k_1 \neq 0$$），$$y_2 = k_2x + b_2$$（$$k_2 \neq 0$$），两函数图像的交点横坐标为$$x_0$$（即$$k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$$的解），则：-（1）当$$y_1 > y_2$$时，对应不等式$$k_1x + b_1 > k_2x + b_2$$，解集是两函数图像交点左侧或右侧的横坐标范围（由$$k_1$$、$$k_2$$的符号决定）；-（2）当$$y_1 < y_2$$时，对应不等式$$k_1x + b_1 &lt; k_2x + b_2$$，解集与$$y_1 > y_2$$的解集相反；-（3）当$$y_1 = y_2$$时，对应方程$$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$$，解为两函数图像的交点横坐标$$x_0$$（分界点）。3.综合应用的常见场景（结合实际）：-（1）方案选择问题：两个（或多个）一次函数表示不同方案的费用、产量等，通过不等式确定自变量取值范围，选择最优方案（如最省钱、最高效）；-（2）最值分析问题：结合一次函数的增减性（由k的符号决定）和不等式确定的自变量范围，求函数的最大值或最小值；-（3）图像综合分析：根据两个一次函数的图像，直接判断对应不等式的解集，或根据解集判断图像的位置关系。4.解题基本步骤：-（1）审：审题，明确题目中的已知量、未知量，确定两个（或多个）一次函数的表达式（或已知函数解析式）；-（2）设：设自变量（如时间、数量、单价等），写出每个一次函数的解析式（若未给出，需根据题意推导）；-（3）找：找到函数之间的大小关系（或实际问题中的不等关系），转化为一元一次不等式；-（4）解：解不等式，求出自变量的取值范围；-（5）验：结合一次函数的增减性和实际意义，检验解集的合理性，分析最优方案或最值；-（6）答：根据检验结果，写出实际问题的答案（方案、最值、范围等）。5.易错提醒：①混淆两个函数大小关系对应的不等式方向；②忽略一次函数k的符号对增减性的影响，导致最值判断错误；③未结合实际意义检验自变量的取值范围（如人数、数量为非负整数）；④无法根据图像准确提取两个函数的交点坐标，影响不等式解集的判断；⑤方案选择时，遗漏自变量的分界点对应的方案。二、选择题（每题3分，共15分）1.已知两个一次函数$$y_1 = 2x + 3$$和$$y_2 = -x + 6$$，则不等式$$2x + 3 > -x + 6$$的解集是（）A. $$x > 1$$ B.$$x < 1$$ C. $$x > 3$$ D. $$x < 3$$2.关于两个一次函数的综合应用，下列说法正确的是（）A.两一次函数图像的交点横坐标，就是对应不等式的解集B.若$$y_1 = k_1x + b_1$$（$$k_1 &gt; 0$$），$$y_2 = k_2x + b_2$$（$$k_2 < 0$$），则$$y_1 > y_2$$的解集一定是全体实数C.方案选择问题中，最优方案一定对应不等式解集的分界点D.利用两个一次函数的大小关系解不等式，本质是数形结合思想的应用3.已知一次函数$$y_1 = kx + 2$$（$$k < 0$$）和$$y_2 = 3x - 1$$，若$$y_1 > y_2$$的解集是$$x < 1$$，则k的值为（）A. 2 B. -2 C. 3 D. -34.某商店推出两种购物方案：方案一：不办理会员，每件商品售价10元；方案二：办理会员，会员费20元，每件商品售价8元。设购买x件商品，两种方案的费用分别为$$y_1$$、$$y_2$$，则当x满足什么条件时，方案二更划算？（）A. $$x > 10$$ B. $$x < 10$$ C. $$x > 20$$ D. $$x < 20$$5.已知一次函数$$y = ax + b$$（$$a \neq 0$$）和$$y = cx + d$$（$$c \neq 0$$）的图像交于点（-2，3），且$$y = ax + b$$的图像从左到右上升，$$y = cx + d$$的图像从左到右下降，则不等式$$ax + b < cx + d$$的解集是（）A.$$x > -2$$ B. $$x < -2$$ C. $$x > 3$$ D. $$x < 3$$三、填空题（每题3分，共15分）1.设两个一次函数$$y_1 = k_1x + b_1$$、$$y_2 = k_2x + b_2$$（$$k_1、k_2 \neq 0$$），两函数图像交点的横坐标为$$x_0$$，则当$$y_1 < y_2$$时，对应不等式的解集由________和________的符号共同决定。2.已知$$y_1 = 4x - 1$$，$$y_2 = 2x + 3$$，当$$x$$________时，$$y_1 &lt; y_2$$；当$$x$$________时，$$y_1 = y_2$$。3.某工厂有两种生产方案，方案一的成本$$y_1$$（元）与产量x（件）的函数关系为$$y_1 = 5x + 100$$，方案二的成本$$y_2$$（元）与产量x（件）的函数关系为$$y_2 = 3x + 200$$，当产量________时，方案一的成本低于方案二。4.利用两个一次函数解决实际方案选择问题，核心是通过比较两个函数的________，转化为________求解，进而确定最优方案。5.已知一次函数$$y = mx + 4$$（$$m \neq 0$$）与$$y = 2x - 1$$的图像无交点，且不等式$$mx + 4 > 2x - 1$$无解，则m = ________。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查两个一次函数的大小关系与不等式的对应。（1）请完整叙述两个一次函数$$y_1 = k_1x + b_1$$（$$k_1 \neq 0$$）与$$y_2 = k_2x + b_2$$（$$k_2 \neq 0$$）的大小关系与对应不等式的联系；（2）已知$$y_1 = 3x - 6$$，$$y_2 = -x + 2$$，求：①两函数图像的交点坐标；②不等式$$3x - 6 > -x + 2$$的解集；③当x取何值时，$$y_1 \leq y_2$$。解：2.（12分）辨析题，考查综合应用的易错点及图像分析。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①若两个一次函数$$y_1 = k_1x + b_1$$、$$y_2 = k_2x + b_2$$，且$$k_1 > k_2 > 0$$，则$$y_1 > y_2$$的解集一定是$$x > 0$$；②方案选择问题中，只要解出不等式的解集，就可以直接确定最优方案，无需结合函数增减性；③若两一次函数图像交于点（x ，y ），则x 既是方程$$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$$的解，也是不等式$$k_1x + b_1 > k_2x + b_2$$与$$k_1x + b_1 < k_2x + b_2$$的分界点；④当$$k_1 < 0$$、$$k_2 > 0$$时，$$y_1 > y_2$$的解集一定是某个具体的范围，不可能是全体实数。（2）简述在解决一次函数与不等式综合应用问题时，如何规避“最值判断错误”的失误。解：3.（12分）基础应用题，考查方案选择与函数大小关系。（1）某移动公司推出两种话费套餐：套餐一：月租费15元，每分钟通话费0.2元；套餐二：无月租费，每分钟通话费0.3元。设每月通话时间为x分钟，两种套餐的话费分别为$$y_1$$元、$$y_2$$元。①分别写出$$y_1$$、$$y_2$$与x的函数关系式；②求当每月通话时间满足什么条件时，选择套餐一更划算；③若每月通话300分钟，选择哪种套餐更省钱？省多少钱？解：4.（12分）综合应用题，考查图像分析与实际建模。（1）已知一次函数$$y_1 = ax + 3$$（$$a \neq 0$$）与$$y_2 = bx - 1$$（$$b \neq 0$$）的图像交于点（2，5），且$$y_1$$的图像从左到右下降，求：①a、b的值；②不等式$$ax + 3 > bx - 1$$的解集；（2）某水果店销售一批苹果，进价为每千克8元，售价为每千克x元（$$x > 8$$），销售量y（千克）与售价x（元）的函数关系为$$y = -10x + 200$$，设销售利润为w元（利润=（售价-进价）×销售量）。①写出w与x的函数关系式（化为最简形式）；②若销售利润不低于300元，求售价x的取值范围；解：5.（12分）综合应用题，考查最值分析与实际应用。（1）某工程队承接一项工程，甲队单独做，完工时间x（天）与每天完成工作量y（份）的函数关系为$$y = \frac{120}{x}$$（x为正整数），乙队单独做，每天完成8份工作量，若乙队的每天工作量不低于甲队的每天工作量，求甲队单独完工的最长时间；（2）已知一次函数$$y = -2x + 12$$（x为非负整数），且x满足不等式$$3x - 4 \leq 8$$，求该一次函数的最大值和最小值；（3）结合两个一次函数$$y_1 = 2x + 1$$和$$y_2 = -x + 4$$的图像，说明不等式$$2x + 1 \leq -x + 4$$的解集，以及当x在该解集内时，$$y_1$$的取值范围。解：（图像可在答题纸上绘制，此处写出分析过程）6.（10分）拓展题，考查综合应用的灵活运用。（1）已知一次函数$$y_1 = kx + 5$$（$$k \neq 0$$）与$$y_2 = 3x - 2$$，若$$y_1 > y_2$$的解集是$$x < 1$$，求k的值，并判断当x = 0时，$$y_1$$与$$y_2$$的大小关系；（2）某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件进价10元，售价15元；B商品每件进价15元，售价22元。计划购进两种商品共20件，总进价不超过280元，设购进A商品x件，总利润为w元。①写出w与x的函数关系式；②求总利润w的最大值，并说明此时购进A、B商品的数量。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B二、填空题：1. $$k_1$$；$$k_2$$ 2. < 2；= 2 3. > 50件4.函数值大小；一元一次不等式5. 2三、解答题：1.（1）联系略；（2）①（2，0）；②$$x > 2$$；③$$x \leq 2$$ 2.（1）①错误，改正：解集由$$k_1、k_2$$和$$b_1、b_2$$共同决定；②错误，改正：需结合函数增减性和实际意义判断；③正确；④错误，改正：可能是全体实数复习回顾
若 y1=-2x-2，y2=3х+3，试确定当 x 取何值时，y1＜y2？你是怎样做的？
画图象
y1=-2x-2
y2=3x+3
当x＞-1时，y1＜y2
列不等式
-2x-2＜ 3х+3
解不等式得x＞-1
探究新知
一元一次不等式与一次函数的应用
1
某学校为打造“书香校园”，准备用 2000 元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花 20 元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花 200 元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。
你认为学校选哪个书店购书更合算
解：设购买的总价为 x 元，选择在甲书店购书时，所需的费用为 y甲，选择在乙书店购书时，所需的费用为 y乙，根据题意可知
y甲＝20＋0.8x，y乙＝200＋0.7x。
1800
y=200+0.7x
O
y
x
1460
y=20+0.8x
当在甲、乙书店购书时所需的费用一样时，
即 y甲＝y乙，
得 20＋0.8x＝200＋0.7x，
解得 x＝1800；
当在甲、乙书店购书时所需的费用不一样时，
① 由 y甲＞y乙，得 20＋0.8x＞200＋0.7x，
解得 x＞1800；此时选择乙书店比较合算
② 由 y甲＜y乙，得 20＋0.8x＜200＋0.7x，
解得 x＜1800。此时选择甲书店比较合算。
因为 2000＞1800，所以学校准备用 2000 元购书时，选乙书店更合算。
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参
加旅游的人数估计为 10~25 人，甲、乙两家旅行社的服
务质量相同，且报价都是每人 200 元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少呢？
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y2 元。根据题意，得
典例精析
由 y1＝y2，得 150x＝160x－160，解得 x＝16；
由 y1＞y2，得 150x＞160x－160，解得 x＜16；
由 y1＜y2，得 150x＜160x－160，解得 x＞16。
因为参加旅游的人数为 10~25 人，所以，
当 x＝16 时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当 17≤x≤25 时，选择甲旅行社费用较少；
当 10≤x＜15 时，选择乙旅行社费用较少。
y1 ＝ 200×0.75x， 即 y1 ＝ 150x。
y2 ＝ 200×0.8(x -1)，即 y2 ＝ 160x -160。
C
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1．
某区准备举办“低碳生活，绿色出行”宣传活动，准备印制宣传单，现有甲、乙两家快印店可供选择．快印店的费用y(单位：元)与数量x(单位：份)
之间的函数关系如图，
则下列说法错误的是(　　)
A．若打印800份宣传单，选择甲快印店比较合算
B．若打印1 000份宣传单，甲、乙两家费用相同
C．若打印的宣传单超过1 000份，选择甲快印店比较合算
D．若总预算不超过3 000元，则宣传单打印的数量不能超过1 000份
. .
【解】方案A：函数表达式为y＝5.8x.
方案B：函数表达式为y＝5x＋2 000.
2．
某苹果基地销售优质苹果，对需要送货且购买量在 2 000 kg～5 000 kg(含2 000 kg和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：
方案A：每千克5.8元，由基地免费送货；
方案B：每千克5元，客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案A、方案B购买这种苹果的应付款y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数表达式；
(2)求购买量x在什么范围时，客户选用方案A比方案B付款少.
由题意，得5.8x<5x＋2 000.解不等式，得x<2 500.
∵x≥2 000，∴当购买量x的取值范围为2 000≤x<2 500时，选用方案A比方案B付款少．
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3．
如图是小明探究拉力F与斜面高度h关系的实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着重为6 N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC向上做匀速直线运动，经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F(单位：N)是高度h(单位：m)的一次函数．实验结果如图①②所示.
(1)求出F与h之间的函数表达式；
(2)如图③，若该装置的高度h为0.22 m，求拉力F；
【解】由(1)知当h＝0.22 m时，
F＝10×0.22＋1＝3.2(N)．
(3)若弹簧测力计的最大量程是5 N，求装置高度h的取值范围.
∵F≤5，∴10h＋1≤5，解得h≤0.4.
∴装置高度h的取值范围为0 m＜h≤0.4 m.
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4．
甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y(单位：米)与乙出发的时间x(单位：秒)之间的函数关系如图所示，
则下列说法中正确的个数为(　　)
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44④乙到达终点时，甲距离终点还有68米.
A．4　 B．3　
C．2　 D．1
【点拨】
【答案】B
③当乙到达终点前，且甲、乙两人之间的距离超过32米时，可得5(x－12)－4(x－12)>32，解得x>44，当乙到达终点后，甲、乙两人之间的距离超过32米时，可得4x＋12<400－32，解得x<89.综上，甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44返回

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