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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.4.1因式分解第四章因式分解北师大版八年级数学下册4.1因式分解练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“因式分解”核心知识点设计，涵盖因式分解的定义、因式分解与整式乘法的关系，以及提公因式法（找公因式、提取公因式）的基础应用，分层考查基础掌握、辨析判断与简单运算能力，助力理解因式分解的本质，掌握提公因式法的解题步骤，夯实基础。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列等式中，属于因式分解的是（）A. $$(x+2)(x-2)=x^2-4$$ B. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$C. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ D. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$2.下列关于因式分解的说法，正确的是（）A.因式分解是把一个整式化成几个整式相加的形式B.因式分解与整式乘法是互逆运算C.所有整式都能进行因式分解D.因式分解的结果一定是两个一次因式的乘积3.多项式$$3x^2-6x$$的公因式是（）A. 3 B. $$3x$$ C. $$x$$ D. $$3x^2$$4.把多项式$$4a^2b-6ab^2$$因式分解，正确的是（）A. $$ab(4a-6b)$$ B. $$2ab(2a-3b)$$C. $$2a^2b(2-3b)$$ D. $$4ab(a-b)$$5.下列因式分解正确的是（）A. $$x^2+xy=x(x+y)$$ B. $$x^2+3x-4=x(x+3)-4$$C. $$2x^2-2=2(x^2-1)$$ D. $$3x^2-6x=3x(x-6)$$二、填空题（每题3分，共15分）1.把一个________化成几个________的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2.因式分解与整式乘法是________运算，例如$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$是________，$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$是________。3.多项式$$5x^3+10x^2+15x$$的公因式是________。4.因式分解：$$x^2-5x=$$________；$$6ab-9a^2=$$________。5.若多项式$$ax^2+bx$$（$$a\neq0$$）的公因式是$$2x$$，则$$a$$的取值可以是________（写出一个即可）。三、解答题（共70分）1.（10分）基础应用题，考查因式分解的定义及公因式的判断。（1）判断下列各式是否为因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）：①$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$；②$$x^2+2x=x(x+2)+0$$；③$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$；④$$x^2+6x+9=x(x+6)+9$$。（2）找出下列各多项式的公因式：①$$4x^2-8x$$；②$$3a^2b-6ab^2+9ab$$；③$$5x^3y^2-10x^2y^3$$；④$$2m^2n-4mn^2+6mn$$。解：2.（12分）计算题，运用提公因式法进行因式分解。（1）$$3x^2-6x$$；（2）$$5a^2b+10ab^2$$；（3）$$7x^3-21x^2$$；（4）$$12x^2y-8xy^2$$；（5）$$4a^3b-6a^2b^2+2ab$$；（6）$$9x^2y^3-15x^3y^2$$。解：3.（12分）辨析与纠错题，改正因式分解中的错误。（1）指出下列因式分解的错误，并改正：①$$3x^2-6x=3x(x-6)$$；②$$2a^2b-4ab^2=ab(2a-4b)$$；③$$x^2+xy=x(x+y+1)$$；④$$8x^3-4x^2=4x(2x^2-x)$$。（2）说明为什么$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$是因式分解，而$$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$$不是因式分解。解：4.（12分）综合题，结合整式乘法与因式分解的关系求解。（1）已知$$(x+2)(x-1)=x^2+x-2$$，写出$$x^2+x-2$$的因式分解结果；（2）若$$x^2+ax+b=(x+3)(x-2)$$，求$$a$$、$$b$$的值；（3）先将多项式$$2x(x-3)+5(x-3)$$因式分解，再求值（其中$$x=2$$）；（4）已知多项式$$ax^2+bx$$因式分解的结果是$$x(ax+b)$$，若公因式是$$3x$$，且$$a=6$$，求$$b$$的取值范围。解：5.（12分）应用题，运用因式分解解决简单实际问题。（1）一个长方形的面积为$$x^2+4x$$（$$x>0$$），其中一边长为$$x$$，求另一边长；（2）已知一个正方形的面积比一个长方形的面积大$$x^2-4x$$，且正方形的边长与长方形的长相等，长方形的宽为$$x-4$$，求正方形的边长；（3）若一个多项式因式分解后结果为$$3x(x-2)$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。解：6.（10分）拓展题，提升因式分解的灵活运用能力。（1）因式分解：$$x(x-y)+y(y-x)$$；（2）因式分解：$$3(x-1)^2+6(1-x)$$；（3）已知$$a+b=5$$，$$ab=3$$，求多项式$$a^2b+ab^2$$的值（提示：先因式分解，再代入求值）。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.A二、填空题：1.多项式；整式2.互逆；整式乘法；因式分解3.$$5x$$ 4.$$x(x-5)$$；$$3a(2b-3a)$$ 5.2（答案不唯一，是2的倍数即可）三、解答题：1.（1）①是，符合因式分解定义；②不是，结果不是整式积，改正：$$x^2+2x=x(x+2)$$；③不是，是整式乘法；④不是，结果不是整式积，改正：$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$；（2）①$$4x$$；②$$3ab$$；③$$5x^2y^2$$；④$$2mn$$ 2.（1）$$3x(x-2)$$；（2）$$5ab(a+2b)$$；（3）$$7x^2(x-3)$$；（4）$$4xy(3x-2y)$$；（5）$$2ab(2a^2-3ab+1)$$；（6）$$3x^2y^2(3y-5x)$$ 3.（1）①错误，改正：$$3x(x-2)$$；②错误，改正：$$2ab(a-2b)$$；③错误，改正：$$x(x+y)$$；④错误，改正：$$4x^2(2x-1)$$；（2）略4.（1）$$(x+2)(x-1)$$；（2）$$a=1$$，$$b=-6$$；（3）因式分解为$$(x-3)(2x+5)$$，值为-3；（4）$$b$$是3的倍数5.（1）$$x+4$$；（2）$$x$$；（3）$$k=-6$$，原多项式为$$3x^2-6x$$ 6.（1）$$(x-y)^2$$；（2）$$3(x-1)(x-3)$$；（3）15
学习目标
1.了解多项式的因式分解的定义,知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程，会进行简单的因式分解.
1. 630可以被哪些整数整除？
导入新知
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
（1）单项式×单项式: .
（2）单项式×多项式: .
（3）多项式×多项式: .
2.整式乘法类型
导入新知
（1）平方差公式: (() = .
（2）完全平方公式: (a±b)2= .
3.特殊的整式乘法公式
a2±2ab+b2
a2－b2
因式分解的概念
1
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗
与同伴交流.
提示：类比 993 - 99 的因数分解
a3 - a = a(a2 - 1)
= a(a + 1)(a - 1)
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
(1)
a
m
b
m
c
m
a+b+c
m
________________＝________________
m(a + b + c)
ma + mb + mc
x
x
________________＝________________
(2)
1
x
x
1
1
1
x+1
x+1
x2 + 2x + 1
(x + 1)2
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
归纳总结
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)
D. ax + by + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.
辩一辩
根据左边的算式进行因式分解：
(1) 3x2-3x = ( )( )
(2) ma+mb-m = ( )( )
(3) m2-16 = ( )( )
(4) y2-6y+9 = ( )( )
计算下列各式：
(1) 3x(x - 1) = __________
(2) m(a+b-1) = _______
(3)(m+4)(m-4) = _____
(4)(y-3)2 = _____
3x2 - 3x
ma+mb-m
m2 -16
y2-6y+9
3x x-1
m a+b-1
m+4 m-4
y-3 y-3
做一做
或 (y-3)2
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系
是互为相反的变形，即
因式分解等式的特征：
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积.
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为
a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3)
= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
典例精析
下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
A
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1．
[教材P108随堂练习T2 ]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．m4－1＝(m2＋1)(m＋1)(m－1)
B．x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1
C．15ab－6a＋3＝3(5ab－2a)
D．(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2
返回
－1
2．
若多项式x2＋kx－6因式分解后有一个因式是(x－3)，则k＝________.
x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)
返回
3．
根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_________________________.
4．
返回
【解】x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
则A＝2，B＝－15.
∴3A－B＝3×2－(－15)＝21.
如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的值．
5．
返回
A
已知多项式x2＋kx＋36能分解为两个整系数的一次式的乘积，则k的值有(　　)
A．10个
B．8个
C．5个
D．4个
6．
返回
D
[2025保定一模]若552×17－452×17能被n整除，则整数n的值不可能是(　　)
A．100
B．50
C．17
D．3
7．
两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，求出原多项式．
返回
【解】设原多项式为ax2＋bx＋c
(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)．
∵2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18，
∴由题意得a＝2，c＝18.
又∵2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16，
∴由题意得b＝－12.
∴原多项式为2x2－12x＋18.
8．
(x－1)(x＋2)
对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋t)(t为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出t的值．我们把这种因式分解的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：x2＋x－2＝___________；
(2)若多项式x2＋mx－n(m，n为常数)因式分解后，有一个因式是x－2，求2m－n的值；
【解】设x2＋mx－n＝(x－2)(x＋s)＝x2＋(s－2)x－2s，
其中s为常数，
则m＝s－2，n＝2s，
∴2m－n＝2(s－2)－2s＝2s－4－2s＝－4.
(3)多项式x3＋2x2－3用“试根法”因式分解得(x＋a)(x2＋bx＋c)(a，b，c为常数)，请直接写出a，b，c的值．
a＝－1，b＝3，c＝3.
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因式分解
定 义
与整式乘法运算的关系
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
课堂小结
因式分解
整式乘法
多项式化为整式乘积
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形.
整式乘积化为多项式

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