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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.4.2.1公因式为单项式的因式分解第四章因式分解北师大版八年级数学下册4.1公因式为单项式的因式分解练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“公因式为单项式的因式分解”核心知识点设计，重点考查单项式公因式的寻找方法、提取单项式公因式的步骤，以及因式分解与整式乘法的基础关系，分层考查基础掌握、辨析判断与运算能力，助力熟练掌握提取单项式公因式的技巧，夯实因式分解基础。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列等式中，属于提取单项式公因式的因式分解是（）A. $$(x+2)(x-2)=x^2-4$$ B. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$C. $$x^2-2x=x(x-2)$$ D. $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$2.下列关于公因式为单项式的说法，正确的是（）A.公因式只能是数字B.公因式是单项式时，需取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂C.多项式$$x^2+xy$$的公因式是$$x^2$$D.提取单项式公因式后，括号内的多项式一定不含公因式3.多项式$$4x^3-8x^2+12x$$的公因式（单项式）是（）A. 4 B. $$4x$$ C. $$x$$ D. $$4x^2$$4.把多项式$$6a^2b-9ab^2+3ab$$提取单项式公因式后，正确的是（）A. $$ab(6a-9b+3)$$ B. $$3ab(2a-3b+1)$$C. $$3a^2b(2-3b+1)$$ D. $$6ab(a-b+1)$$5.下列提取单项式公因式的因式分解正确的是（）A. $$x^2+xy=x(x+y)$$ B. $$3x^2-6x=3x(x-6)$$C. $$2a^2b-4ab^2=2ab(a-4b)$$ D. $$5x^3-10x^2=5x(2x^2-4x)$$二、填空题（每题3分，共15分）1.公因式为单项式时，公因式的确定方法：①取各项系数的________；②取各项都含有的________的最低次幂；③把两部分相乘，就是这个多项式的单项式公因式。2.因式分解中，提取单项式公因式的依据是________（填运算律），因式分解与整式乘法是________运算。3.多项式$$5x^3y^2-10x^2y+15xy$$的单项式公因式是________。4.提取单项式公因式因式分解：$$x^2-3x=$$________；$$8ab-12a^2b=$$________。5.若多项式$$ax^2+bx$$（$$a\neq0$$）的单项式公因式是$$5x$$，则$$a$$的取值可以是________（写出一个即可）。三、解答题（共70分）1.（10分）基础应用题，考查单项式公因式的判断及因式分解定义。（1）判断下列各式是否为提取单项式公因式的因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）：①$$x^2-4x=x(x-4)$$；②$$2x^2+6x=2x(x+3)+0$$；③$$3x(x-2)=3x^2-6x$$；④$$4x^2+2x=2x(2x+1)$$。（2）找出下列各多项式的单项式公因式：①$$6x^2-12x$$；②$$4a^2b-8ab^2+12ab$$；③$$7x^3y^2-21x^2y^3$$；④$$3m^2n-6mn^2+9mn$$。解：2.（12分）计算题，运用提取单项式公因式法进行因式分解。（1）$$2x^2-4x$$；（2）$$6a^2b+12ab^2$$；（3）$$8x^3-24x^2$$；（4）$$15x^2y-10xy^2$$；（5）$$5a^3b-10a^2b^2+5ab$$；（6）$$12x^2y^3-18x^3y^2$$。解：3.（12分）辨析与纠错题，改正提取单项式公因式中的错误。（1）指出下列因式分解的错误，并改正（均为提取单项式公因式）：①$$4x^2-8x=4x(x-8)$$；②$$3a^2b-6ab^2=ab(3a-6b)$$；③$$x^2+xy=x(x+y+1)$$；④$$9x^3-6x^2=3x(3x^2-2x)$$。（2）说明提取单项式公因式时，为什么要取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。解：4.（12分）综合题，结合整式乘法与提取单项式公因式的关系求解。（1）已知$$2x(x-3)=2x^2-6x$$，写出$$2x^2-6x$$提取单项式公因式后的因式分解结果；（2）若$$ax^2+bx=3x(2x+5)$$，求$$a$$、$$b$$的值（提示：先展开右边，再对比系数）；（3）先将多项式$$3x(x-2)+4(x-2)$$提取单项式公因式因式分解，再求值（其中$$x=3$$）；（4）已知多项式$$ax^2+bx$$提取单项式公因式后结果是$$2x(3x+4)$$，求原多项式及公因式。解：5.（12分）应用题，运用提取单项式公因式解决简单实际问题。（1）一个长方形的面积为$$x^2+5x$$（$$x>0$$），其中一边长为$$x$$（单项式），求另一边长；（2）已知一个正方形的面积比一个长方形的面积大$$x^2-6x$$，且正方形的边长与长方形的长相等，长方形的宽为$$x-6$$，求正方形的边长（用因式分解求解）；（3）若一个多项式提取单项式公因式后结果为$$4x(x-3)$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。解：6.（10分）拓展题，提升提取单项式公因式的灵活运用能力。（1）因式分解：$$x(x-2)+3(2-x)$$（提示：先转化为相同公因式，再提取单项式公因式）；（2）因式分解：$$4(x-1)^2+8(1-x)$$；（3）已知$$m-n=4$$，$$mn=2$$，求多项式$$m^2n-mn^2$$的值（提示：先提取单项式公因式，再代入求值）。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.A二、填空题：1.最大公约数；相同字母2.乘法分配律；互逆3.$$5xy$$ 4.$$x(x-3)$$；$$4ab(2-3a)$$ 5.5（答案不唯一，是5的倍数即可）三、解答题：1.（1）①是，提取公因式x；②不是，结果不是整式积，改正：$$2x(x+3)$$；③不是，是整式乘法；④是，提取公因式2x；（2）①$$6x$$；②$$4ab$$；③$$7x^2y^2$$；④$$3mn$$ 2.（1）$$2x(x-2)$$；（2）$$6ab(a+2b)$$；（3）$$8x^2(x-3)$$；（4）$$5xy(3x-2y)$$；（5）$$5ab(a^2-2ab+1)$$；（6）$$6x^2y^2(2y-3x)$$ 3.（1）①错误，改正：$$4x(x-2)$$；②错误，改正：$$3ab(a-2b)$$；③错误，改正：$$x(x+y)$$；④错误，改正：$$3x^2(3x-2)$$；（2）略4.（1）$$2x(x-3)$$；（2）$$a=6$$，$$b=15$$；（3）因式分解为$$(x-2)(3x+4)$$，值为7；（4）原多项式$$6x^2+8x$$，公因式$$2x$$ 5.（1）$$x+5$$；（2）$$x$$；（3）$$k=-12$$，原多项式为$$4x^2-12x$$ 6.（1）$$(x-2)(x-3)$$；（2）$$4(x-1)(x-3)$$；（3）8
学习目标
能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题.
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.
如图，一块场地由3个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是，则这块场地的面积为 或 .
导入新知
m
a
b
c
确定公因式
1
含相同因式 p
下面的多项式有什么特点？
pa + pb + pc
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
例1 (1) 多项式 2x2 – 6x3 中各项的公因式是什么？
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 2x2.
指数：
相同字母的最低次幂
2
议一议
(2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗
2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x)
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
字母最低次幂.
要点归纳
写出下列多项式的公因式.
（1）x - x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc - b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
x
2a
b
a
练一练
提公因式为单项式的因式分解
2
( a + b + c )
pa + pb + pc
p
=
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的.
例1 把下列各式因式分解：
解：(1) 原式 = 2m·n + 2m ·2m = 2m(n + 2m).
(2) 原式 = 7p·p－7p·3 = 7p(p－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
= ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x)
=－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
B
返回
1．
[2025青岛期中]把多项式12ab2c＋3ab3分解因式，应提的公因式是(　　)
A．3ab
B．3ab2
C．12ab3c
D．12a2b5c
返回
A
2．
把－6a3＋4a2－2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是(　　)
A．3a2－2a＋1
B．6a2－4a＋2
C．3a2－2a
D．3a2＋2a－1
B
返回
3．
把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)因式分解，正确的结果是(　　)
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b＋c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
4．
返回
A
把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为(　　)
A．5
B．3
C．2
D．1
5．
多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)(x＋n)，则m－2n的值是(　　)
A．2
B．4
C．4或－5
D．±4
【点拨】
【答案】C
(x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝2(x＋2)(x－1)＝2(x＋m)(x＋n)，故m＝2，n＝－1或m＝－1，n＝2，
则m－2n＝4或m－2n＝－5.
故选C.
返回
6．
返回
x2＋x(答案不唯一)
一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：__________________．
7．
返回
2
已知mn＝2，m－n＝1，则m2n－mn2＝________.
8．
【解】4a－2ab＝2a(2－b)．
分解因式：
(1)4a－2ab;
(2)－6x2＋4xy；
－6x2＋4xy＝－2x(3x－2y)．
(3)(a－2)2－5(2－a);
(4)y2(x－2y)2－y(2y－x)2.
(a－2)2－5(2－a)＝(a－2)(a－2＋5)＝(a－2)·(a＋3)．
y2(x－2y)2－y(2y－x)2＝y2(x－2y)2－y(x－2y)2＝y(x－2y)2(y－1)．
返回
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母，定指数
课堂小结
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
提公因式法与单项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、提取“-”号要变号.

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