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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.4.2.2公因式为多项式的因式分解第四章因式分解北师大版八年级数学下册4.2.2公因式为多项式的因式分解练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“公因式为多项式的因式分解”核心知识点设计，重点考查多项式公因式的识别、转化（如符号转化）、提取方法，以及与单项式公因式因式分解的区别与联系，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握提取多项式公因式的技巧，提升因式分解综合能力。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列等式中，属于提取多项式公因式的因式分解是（）A. $$x(x-2)+3(x-2)=(x+3)(x-2)$$ B. $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$C. $$x^2-4x=x(x-4)$$ D. $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$2.下列关于公因式为多项式的说法，正确的是（）A.多项式公因式只能是一次多项式B.寻找多项式公因式时，需先观察各项是否有相同的多项式因式，再考虑符号转化C.多项式$$(x-2)^2+3(x-2)$$的公因式是$$(x-2)^2$$D.提取多项式公因式后，括号内的式子一定不含多项式公因式3.多项式$$3(x-1)^2-6(x-1)$$的公因式（多项式）是（）A. 3 B. $$x-1$$ C. $$3(x-1)$$ D. $$3(x-1)^2$$4.把多项式$$2(x-y)^2+4(y-x)$$提取多项式公因式后，正确的是（）A. $$(x-y)[2(x-y)+4]$$ B. $$2(x-y)(x-y-2)$$C. $$2(x-y)(x-y+2)$$ D. $$(y-x)[2(y-x)+4]$$5.下列提取多项式公因式的因式分解正确的是（）A. $$x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2)$$ B. $$3(x-2)-x(2-x)=(x-2)(3-x)$$C. $$(a+b)^2-2(a+b)=(a+b)(a+b)$$ D. $$4(x-1)^2+8(1-x)=4(x-1)(x-1-8)$$二、填空题（每题3分，共15分）1.公因式为多项式时，公因式的确定方法：①观察各项是否有相同的________；②若各项含有的多项式因式符号相反，可通过提取________，转化为相同的多项式因式；③确定公因式的次数（取各项中相同多项式因式的________次幂）。2.提取多项式公因式的关键是________，常用的符号转化技巧：$$(y-x)=$$________$$(x-y)$$，$$(y-x)^2=$$________$$(x-y)^2$$。3.多项式$$5(x-2)^3+10(x-2)^2$$的多项式公因式是________。4.提取多项式公因式因式分解：$$x(x-1)-3(x-1)=$$________；$$2(a+b)-4(a+b)^2=$$________。5.若多项式$$(x-3)a+(3-x)b$$的公因式是多项式$$(x-3)$$，则因式分解的结果为________。三、解答题（共70分）1.（10分）基础应用题，考查多项式公因式的判断及因式分解定义。（1）判断下列各式是否为提取多项式公因式的因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）：①$$x(x-5)+2(5-x)=(x-2)(x-5)$$；②$$3(x+2)-x(x+2)=3-x(x+2)$$；③$$(x+1)(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x+1-2)$$；④$$2(x-y)^2+(y-x)=2(x-y)^2-(x-y)$$。（2）找出下列各多项式的多项式公因式：①$$4(x-3)^2-8(x-3)$$；②$$3(a+b)-6(a+b)^2+9(a+b)^3$$；③$$x(y-2)-y(2-y)$$；④$$7(x+1)^2+14(x+1)$$。解：2.（12分）计算题，运用提取多项式公因式法进行因式分解。（1）$$x(x-2)+5(x-2)$$；（2）$$3(a-b)-6(b-a)$$；（3）$$4(x+1)^2-8(x+1)$$；（4）$$x(y+3)-2(y+3)$$；（5）$$6(x-3)^2+3(3-x)$$；（6）$$2(a+b)^2-4a(a+b)$$。解：3.（12分）辨析与纠错题，改正提取多项式公因式中的错误。（1）指出下列因式分解的错误，并改正（均为提取多项式公因式）：①$$2(x-1)+x(1-x)=2(x-1)-x(x-1)=(2-x)(x-1)$$（判断对错，错则改正）；②$$5(x+2)^2-10(x+2)=5(x+2)(x+2)$$；③$$(x-y)^2+2(y-x)=(x-y)(x-y+2)$$；④$$3(x-2)^3-6(x-2)^2=3(x-2)^2(x-2-6)$$。（2）说明提取多项式公因式时，为什么要进行符号转化，举例说明常见的符号转化技巧。解：4.（12分）综合题，结合单项式、多项式公因式的因式分解求解。（1）已知$$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$$，补充一个含多项式公因式的因式分解：$$x(x+3)-2(x+3)=$$________；（2）若$$ax(x-4)+b(4-x)=(x-4)(ax-b)$$，验证等式是否成立，并说明理由；（3）先将多项式$$2x(x-5)+3(5-x)$$提取多项式公因式因式分解，再求值（其中$$x=4$$）；（4）已知多项式$$(x-2)m+(2-x)n$$提取多项式公因式后结果是$$(x-2)(m-n)$$，验证该结果的正确性，并写出原多项式的公因式。解：5.（12分）应用题，运用提取多项式公因式解决简单实际问题。（1）一个长方形的面积为$$x(x-3)+4(x-3)$$（$$x>3$$），其中一边长为$$x-3$$（多项式），求另一边长；（2）已知一个多项式与$$(x+2)$$的积为$$3(x+2)^2+6(x+2)$$，求这个多项式（用因式分解求解）；（3）若一个多项式提取多项式公因式后结果为$$2(x+1)(x-3)$$，且这个多项式的二次项系数为$$2$$，求原多项式，并写出它的公因式。解：6.（10分）拓展题，提升提取多项式公因式的灵活运用能力。（1）因式分解：$$x(x-y)^2-y(y-x)^2$$；（2）因式分解：$$3(x-1)^3+6(1-x)^2$$；（3）已知$$a+b=3$$，求多项式$$a(a+b)-b(a+b)$$的值（提示：先提取多项式公因式，再代入求值）。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.A二、填空题：1.多项式因式；负号；最低2.转化符号，确定相同的多项式公因式；$$-$$；$$+$$ 3.$$5(x-2)^2$$ 4.$$(x-1)(x-3)$$；$$2(a+b)(1-2a-2b)$$ 5.$$(x-3)(a-b)$$三、解答题：1.（1）①是，提取公因式$$(x-5)$$；②不是，结果不是整式积，改正：$$(x+2)(3-x)$$；③是，提取公因式$$(x-3)$$；④不是，未完成因式分解，改正：$$(x-y)(2x-2y-1)$$；（2）①$$4(x-3)$$；②$$3(a+b)$$；③$$(y-2)$$（或$$(2-y)$$）；④$$7(x+1)$$ 2.（1）$$(x-2)(x+5)$$；（2）$$3(a-b)(1+2)$$；（3）$$4(x+1)(x+1-2)$$；（4）$$(y+3)(x-2)$$；（5）$$3(x-3)(2x-6-1)$$；（6）$$2(a+b)(a+b-2a)$$ 3.（1）①正确；②错误，改正：$$5(x+2)(x+2-2)$$；③错误，改正：$$(x-y)(x-y-2)$$；④错误，改正：$$3(x-2)^2(x-2-2)$$；（2）略4.（1）$$(x+3)(x-2)$$；（2）成立，理由略；（3）因式分解为$$(x-5)(2x-3)$$，值为-3；（4）正确，公因式为$$(x-2)$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$3(x+2)+6$$；（3）原多项式$$2x^2-4x-6$$，公因式$$2(x+1)$$ 6.（1）$$(x-y)^2(x-y)$$；（2）$$3(x-1)^2(x-1+2)$$；（3）9
学习目标
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
2. 能运用整体思想进行因式分解.
1.分解因式：.
导入新知
解：
)
注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号.
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
导入新知
例如，多项式的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
最大公约数
相同的字母
最低次幂
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)
= (x - 3)(a + 2b).
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
= y(x + 1)(1 + xy + y).
提公因式为多项式的因式分解
1
典例精析
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2
P
P
P(a + 2b)
P
P
yP(1 + P)
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
归纳总结
1. x(a + b) + y(a + b)
2. 3a(x - y) - (x - y)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p)
= (a + b)(x + y)
= (x - y)(3a - 1)
= 6(p + q)(p + q - 2)
练一练
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]
＝6(m－n)2(m－n－2)
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
归纳总结
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.
如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a).
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.
如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a.
由此可知规律：
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数)
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2；
(3) (a-b)3 =___(b-a)3；
(4) (a-b)4 =___(b-a)4；
(5) (a+b) =___(b+a)；
(6) (a+b)2 =___(b+a)2；
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3；
-
(8) (a+b)4 = __(-a-b)4.
+
【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4)．
返回
1．
把下列各式因式分解：
(1)－3ma3＋6ma2－12ma；
(2)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)．
原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)
＝(x－y)·(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b)．
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【解】(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2＝(x－2y)[(x＋3y)＋(x－2y)]＝(x－2y)(2x＋y)＝2x2－4xy＋xy－2y2
＝2(x2－y2)－3xy.
∵x2－y2＝8，xy＝3，∴原式＝2×8－3×3＝7.
2．
[2025上海闵行区期中]已知x2－y2＝8，xy＝3，将
(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2先化简，再求值．
【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(2b＋a)2.
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3．
把下列各式因式分解：
(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；
(2)(x2＋1)2－4x2；

(3)(m＋n)2－4(m＋n－1)．
原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2.
4．
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【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.
利用因式分解计算：662－6 600＋2 500.
5．
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们的解法的启发下，把下列各式因式分解：
(1)x2＋xy－xz－yz；　
(2)xy2－2xy＋2y－4；
【解】原式＝x(x＋y)－z(x＋y)＝(x＋y)(x－z)．
原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(y－2)(xy＋2)．
(3)m3－2m2－4m＋8；　
(4)x2－2xy＋y2－9.
原式＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.
原式＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)．
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6．
【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3.
(1)二次项系数2＝1×2，常数项－3＝－1×3＝1×(－3)；
(2)验算：“交叉相乘之和”；
①1×3＋2×(－1)＝1；②1×(－1)＋2×3＝5；
③1×(－3)＋2×1＝－1；
④1×1＋2×(－3)＝－5.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数－1，
即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，∴2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法．
仿照此方法，分解因式：3x2＋5x－12＝_________________________.
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(x＋3)(3x－4)
7．
下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果：____________．
不彻底
(x－2)4
(2)请你仿照以上方法尝试对多项式(m2－2m)·(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
提公因式法
（多项式）
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母（或多项式），定指数
课堂小结
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、底数相反时，提取“-”号要变号.

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