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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.4.3.2完全平方公式第四章因式分解北师大版八年级数学下册完全平方公式（因式分解）练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“完全平方公式因式分解”核心知识点设计，重点考查完全平方公式的特征、公式的识别与运用，以及与提公因式法的综合运用，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握完全平方公式因式分解的技巧，明确公式适用条件，规避常见易错点。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（）A. $$x^2+4x+4$$ B. $$x^2+4x-4$$C. $$x^2-2x-1$$ D. $$x^2+2x+2$$2.下列关于完全平方公式因式分解的说法，正确的是（）A.完全平方公式为$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，其中$$a$$、$$b$$只能是单项式B.能用完全平方公式因式分解的多项式，一定是二次三项式C. $$x^2+6x+9$$因式分解的结果是$$(x+3)^2$$D. $$4x^2+4x+1$$不能用完全平方公式因式分解3.多项式$$x^2-8x+16$$因式分解的结果是（）A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-8)(x+2)$$ D. $$(x-2)(x-8)$$4.把多项式$$4a^2-12ab+9b^2$$因式分解，正确的是（）A. $$(2a-3b)^2$$ B. $$(2a+3b)^2$$ C. $$(4a-3b)^2$$ D. $$(2a-9b)^2$$5.下列因式分解正确的是（）A. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ B. $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$C. $$2x^2+4x+2=2(x^2+2x)$$ D.$$x^2-6x+9=(x+3)^2$$二、填空题（每题3分，共15分）1.完全平方公式因式分解：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的________，等于这两个数的和（或差）的________。用字母表示为：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。2.能用完全平方公式因式分解的多项式，必须满足两个条件：①是________项式；②其中两项是________的平方，另一项是这两项底数乘积的________倍。3.多项式$$x^2+10x+25$$的因式分解结果是________；$$9x^2-6x+1$$的因式分解结果是________。4.因式分解：$$m^2-4mn+4n^2=$$________；$$16a^2+24ab+9b^2=$$________。5.若多项式$$x^2+kx+16$$能用完全平方公式因式分解，则$$k$$的值为________。三、解答题（共70分）1.（10分）基础应用题，考查完全平方公式的识别及因式分解定义。（1）判断下列多项式是否能用完全平方公式因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由：①$$x^2+4x+4$$；②$$x^2-2x-4$$；③$$4x^2+4x+1$$；④$$x^2+6x+9$$。（2）指出下列多项式中，哪些符合完全平方公式的特征（填序号）：①$$a^2+8a+16$$；②$$b^2-10b+25$$；③$$x^2+2x-1$$；④$$9m^2-6mn+n^2$$。解：2.（12分）计算题，运用完全平方公式进行因式分解。（1）$$x^2+6x+9$$；（2）$$x^2-10x+25$$；（3）$$4x^2+4x+1$$；（4）$$9x^2-12x+4$$；（5）$$m^2+14mn+49n^2$$；（6）$$16a^2-24ab+9b^2$$。解：3.（12分）辨析与纠错题，改正完全平方公式因式分解中的错误。（1）指出下列因式分解的错误，并改正（均运用完全平方公式）：①$$x^2+4x+4=(x+4)^2$$；②$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$（判断对错，错则改正）；③$$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$$（判断对错，错则改正）；④$$x^2+2x+4=(x+2)^2$$。（2）说明完全平方公式因式分解与整式乘法中完全平方公式的关系，并举例说明。解：4.（12分）综合题，结合提公因式法与完全平方公式因式分解。（1）因式分解：$$2x^2+4x+2$$（提示：先提公因式，再用完全平方公式）；（2）因式分解：$$3a^2-12ab+12b^2$$；（3）先将多项式$$4x^2-8x+4$$因式分解，再求值（其中$$x=3$$）；（4）已知多项式$$ax^2+bx+9$$因式分解的结果是$$(2x+3)^2$$，求$$a$$、$$b$$的值。解：5.（12分）应用题，运用完全平方公式因式分解解决简单实际问题。（1）一个正方形的面积为$$x^2+8x+16$$（$$x>0$$），求这个正方形的边长；（2）已知一个长方形的面积为$$2x^2+4x+2$$，且它的长和宽相等，求这个长方形的边长（用因式分解求解）；（3）若一个多项式因式分解后结果为$$3(x-2)^2$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。解：6.（10分）拓展题，提升完全平方公式的灵活运用能力。（1）因式分解：$$(x+y)^2-6(x+y)+9$$（提示：把$$x+y$$看作一个整体）；（2）因式分解：$$4(x-1)^2+12(x-1)+9$$；（3）已知$$a-b=5$$，$$ab=3$$，求多项式$$a^2-2ab+b^2$$的值（提示：先因式分解，再代入求值）。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.A 5.B二、填空题：1.积的2倍；平方；$$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 2.三；两个数；2 3.$$(x+5)^2$$；$$(3x-1)^2$$ 4.$$(m-2n)^2$$；$$(4a+3b)^2$$ 5.$$\pm8$$三、解答题：1.（1）①是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；②不是，常数项为负，不符合特征；③是，符合$$(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2$$；④是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；（2）①②④2.（1）$$(x+3)^2$$；（2）$$(x-5)^2$$；（3）$$(2x+1)^2$$；（4）$$(3x-2)^2$$；（5）$$(m+7n)^2$$；（6）$$(4a-3b)^2$$ 3.（1）①错误，改正：$$(x+2)^2$$；②正确；③正确；④错误，改正：无法用完全平方公式，无实数因式；（2）略4.（1）$$2(x+1)^2$$；（2）$$3(a-2b)^2$$；（3）因式分解为$$4(x-1)^2$$，值为16；（4）$$a=4$$，$$b=12$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$\sqrt{2}(x+1)$$（或$$x+1$$，结合题意取正值）；（3）$$k=-12$$，原多项式为$$3x^2-12x+12$$ 6.（1）$$(x+y-3)^2$$；（2）$$(2x+1)^2$$；（3）25
学习目标
理解并掌握用完全平方公式分解因式.
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算.
导入新知
做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
思考：这个大正方形的面积可以怎么求？
a
b
a
b
a
ab
ab
b
将上面的等式倒过来看，能得到：
完全平方公式
导入新知
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
用完全平方公式分解因式
1
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
=
将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 a + 2ab + b 和 a - 2ab + b 这样的式子叫做完全平方式.
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
完全平方式：
定义总结
运算法则：
运用完全平方公式因式分解
文字说明：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方.
a2±2ab + b2
= (a±b)2
和
差
方法总结
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式(或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与 -1 的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
( )2 + 2×( )×( ) + ( )2
分析：
例1 把下列完全平方式因式分解：
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
x
x
7
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
7
分析：
( )2 + 2×( )×( )+ ( )2
(1) x2 + 14x + 492；
m + n
m + n
3
3
典例精析
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2 －4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
1. 因式分解：
(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；
(2) (a2＋4)2 - 16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)
＝-3a2(x - 4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2
＝(a＋2)2(a - 2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
练一练
2.(阳山县期中)用简便方法计算：
(1) 1252 - 50×125 + 25 ；
(2) 652×11 - 352×11.
解：(1) 原式 = (125 - 25)
(2) 原式 = (65 + 35)(65 - 35)×11
= 10000.
= 33000.
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算
B
返回
1．
返回
B
2．
已知x，y为任意有理数，记M＝x2＋y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为(　　)
A．M ＞N
B．M ≥N
C．M≤N
D．不能确定
D
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3．
一个大正方形被分割成四部分，面积分别为mn，n2，m2，mn，则大正方形的边长为(　　)
A．2m＋n
B．m－n
C．2m－n
D．m＋n
4．
返回
D
如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．0　
B．1　
C．4
D．9
5．
返回
4x
(答案不唯一)
多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是______________(填一个即可)．
6．
返回
16
计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________．
7．
【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
因式分解：
(1)x4－8x2y2＋16y4；

(2)(x＋2)(x＋6)＋4；
(x＋2)(x＋6)＋4＝x2＋8x＋12＋4＝x2＋8x＋16＝(x＋4)2.
(3)(a2－12)2＋6(a2－12)＋9.
(a2－12)2＋6(a2－12)＋9＝(a2－12＋3)2
＝(a2－9)2＝(a＋3)2(a－3)2.
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8．
[2025泰安期中]无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是(　　)
A．正数
B．负数
C．零
D．非负数
【点拨】
【答案】A
x2＋y2－2x＋12y＋40＝(x2－2x＋1)＋(y2＋12y＋36)＋3＝(x－1)2＋(y＋6)2＋3，∵(x－1)2≥0，(y＋6)2≥0，∴(x－1)2＋(y＋6)2＋3>0，即x2＋y2－2x＋12y＋40>0.∴无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是正数．
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9．
[2025重庆万州区期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋80，a＋b－c＝4，则c的长是(　　)
A．20　
B．16
C．8　
D．4
【点拨】
【答案】C
∵a2＋2ab＋b2＝c2＋80，∴(a＋b)2－c2＝80.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝80.∵a＋b－c＝4①，∴4(a＋b＋c)＝80.∴a＋b＋c＝20②.②－①得2c＝16，解得c＝8.
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