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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.5.3.1分式方程的概念第五章　分式与分式方程北师大版八年级数学下册5.3.1分式方程的概念练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“分式方程的概念”核心知识点设计，涵盖分式方程的判断、分式方程的解的概念、检验分式方程的解、根据条件列分式方程，分层考查基础应用与能力提升，助力巩固分式方程的定义，掌握分式方程解的检验方法，培养方程思维。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列方程中，属于分式方程的是（）A. $$\frac{2}{3}x + 1 = 5$$ B. $$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1$$C. $$\frac{1}{x} + 2 = 3$$ D. $$3x - 2y = 4$$2.关于分式方程的定义，下列说法正确的是（）A.分母中含有字母的方程叫做分式方程B.分母中含有未知数的方程叫做分式方程C.分子中含有未知数的方程叫做分式方程D.含有分式的方程叫做分式方程3.下列方程中，不是分式方程的是（）A. $$\frac{x}{x+1} = 2$$ B. $$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x}$$C. $$\frac{x+1}{3} = \frac{x-2}{4}$$ D. $$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+3} = 1$$4.已知x=2是分式方程$$\frac{2}{x} + \frac{a}{2} = 3$$的解，则a的值为（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.下列说法正确的是（）A.分式方程的解一定是整数B.分式方程的解可能使原方程的分母为0（此时为增根）C.所有分式方程都有解D.分式方程的解与整式方程的解的意义完全相同二、填空题（每题3分，共15分）1.分母中含有________的方程叫做分式方程。2.整式方程与分式方程的区别在于：整式方程的分母中________未知数，分式方程的分母中________未知数（填“含有”或“不含有”）。3.检验一个数是否为分式方程的解，只需将这个数代入________，若分母不为0且左右两边相等，则这个数是分式方程的解；若分母为0，则这个数是________。4.已知x=3是分式方程$$\frac{k}{x-1} = 2$$的解，则k的值为________。5.写出一个以x=1为解的分式方程：________（答案不唯一）。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列方程是否为分式方程，若是，请在括号内打“√”；若不是，请打“×”，并说明理由。（1）$$\frac{3}{x} = 5$$（）（2）$$\frac{x+1}{2} = 3$$（）（3）$$\frac{2}{x-3} + \frac{x}{4} = 1$$（）（4）$$2x + \frac{1}{3} = \frac{x}{5}$$（）（5）$$\frac{x}{x^2 + 1} = 2$$（）解：2.（12分）检验下列各数是否为对应分式方程的解。（1）x=4，方程$$\frac{3}{x-1} = 1$$；（2）x=2，方程$$\frac{2x}{x+2} = \frac{3}{2}$$；（3）x=-1，方程$$\frac{x+1}{x-2} = 0$$；（4）x=5，方程$$\frac{1}{x-3} - \frac{2}{x} = \frac{1}{10}$$。解：3.（12分）根据下列条件，求分式方程中字母参数的值。（1）已知x=2是分式方程$$\frac{a}{x} + \frac{1}{2} = 2$$的解，求a的值；（2）已知x=3是分式方程$$\frac{2x - k}{x-1} = 3$$的解，求k的值；（3）若x=1是分式方程$$\frac{3}{x} + \frac{m}{x+1} = 5$$的解，求m的值。解：4.（12分）根据题意，列出分式方程（不要求求解）。（1）一个数x的倒数与2的和等于5，求这个数x，列出方程；（2）甲、乙两人分别从相距10千米的两地相向而行，甲每小时走x千米，乙每小时走3千米，两人经过2小时相遇，列出关于x的方程；（3）某工厂要生产一批零件，若每天生产x个，10天可以完成；若每天多生产2个，8天可以完成，列出关于x的方程；（4）一个分数的分子比分母小2，若分子加上1，分母不变，这个分数的值为$$\frac{1}{2}$$，设分母为x，列出方程。解：5.（12分）解答下列问题。（1）已知分式方程$$\frac{2}{x-1} = \frac{k}{x+1}$$，当k=3时，检验x=5是否为该方程的解；（2）若x=2是分式方程$$\frac{ax + 1}{x-2} = 3$$的增根，说明理由，并求a的取值范围；（3）写出两个不同的分式方程，使它们的解都是x=4（不要求检验）。解：6.（10分）应用题（列出分式方程即可，不要求求解）（1）某车间加工一批零件，原计划每天加工x个，15天可以完成，实际每天加工的零件数比原计划多5个，结果12天就完成了任务，求原计划每天加工的零件数x，列出分式方程；（2）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工的零件数是甲的1.5倍，甲加工60个零件比乙加工60个零件多用1小时，列出关于x的分式方程；（3）A、B两地相距48千米，一辆汽车从A地开往B地，原计划每小时行驶x千米，实际每小时行驶的速度比原计划快4千米，结果提前1小时到达B地，列出关于x的分式方程。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.C 4.A 5.B二、填空题：1.未知数2.不含有；含有3.原分式方程；增根4.4 5.答案不唯一，如$$\frac{1}{x} = 1$$三、解答题：1.（1）√；（2）×，分母不含未知数；（3）√；（4）×，分母不含未知数；（5）√ 2.（1）是；（2）不是；（3）不是（分母为0）；（4）是3.（1）a=3；（2）k=3；（3）m=7 4.（1）$$\frac{1}{x} + 2 = 5$$；（2）$$2(x + 3) = 10$$（整式方程，可补充分式情境，如$$\frac{10}{x+3} = 2$$）；（3）$$\frac{10x}{x+2} = 8$$；（4）$$\frac{x-2 + 1}{x} = \frac{1}{2}$$ 5.（1）是；（2）x=2使分母为0，是增根，a为任意实数；（3）答案不唯一，如$$\frac{4}{x} = 1$$、$$\frac{1}{x-3} = 1$$ 6.（1）$$\frac{15x}{x+5} = 12$$；（2）$$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 1$$；（3）$$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+4} = 1$$
学习目标
理解分式方程的概念和意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.
2. 能根据实际问题中的等量关系列分式方程，体会分式方程的模型作用.
京张高速铁路正线全长 174 km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少 h。
（1）你能找出这一情境中的所有等量关系吗？
1
分式方程的概念及列分式方程
①甲列车的平均行驶速度 = 乙列车的平均行驶速度×2
②乙列车的行驶时间－甲列车的行驶时间 = h
（2）如果设乙列车的平均行驶速度是 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 y h，那么 y 满足怎样的方程？
做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果设第一次捐款人数为 x 人，
那么 x 应满足怎样的方程？
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
分母中都含有未知数.
分式方程的概念
分式方程的特征
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分式；
（3）分母中含有未知数.
知识要点
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程.
注意： π 是一确定的常数，不是未知数.
典例精析
例2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？
步骤一样
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，适当设出未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
归纳总结
B
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1．
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a≠2
2．
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3．
4．
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A
秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图①和图②，欣欣通过对比两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把直尺有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程为(　　)
5．
课堂练习：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为40元，春节期间对该种瓶装饮料进行促销活动，买一箱送四瓶，这相当于每瓶按原价的八折销售，则这家超市销售该种瓶装饮料的原价是每瓶多少元，装箱数量是每箱多少瓶？”以下为四名同学列出的方程，正确的是(　　)
【点拨】
【答案】B
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6．
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为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位：元)与行驶路程s(单位：km)的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为______________．
7．
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分式方程的概念及列分式方程
概念
列分式方程步骤
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
1.审清题意，明确题目中的未知数；
2.根据题意找等量关系，列出分式方程.
课堂小结

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