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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.6.1.4用对角线的关系判定平行四边形第六章　平行四边形北师大版八年级数学下册6.1.4用对角线的关系判定平行四边形练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“用对角线的关系判定平行四边形”核心知识点设计，涵盖“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一核心判定方法，结合平行四边形的边、角性质及之前所学的判定方法，分层考查基础应用、推理证明与综合计算，助力掌握对角线判定平行四边形的方法，提升几何推理与综合解题能力。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.对角线AC平分BD，且AC≠BD B.对角线AC、BD互相垂直C.对角线AC=BD，且互相平分D.对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB2.在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD（）A.一定是平行四边形B.一定是矩形C.一定是菱形D.一定是正方形3.下列关于用对角线判定平行四边形的说法，正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相平分且垂直的四边形是平行四边形4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3cm，OC=3cm，OB=4cm，OD=5cm，则四边形ABCD（）A.是平行四边形B.不是平行四边形C.可能是平行四边形D.无法判断5.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=ODB.对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，AB∥CDC.对角线AC、BD相交于点O，OA=OD，OB=OCD.对角线AC、BD相交于点O，AC平分BD，BD平分AC二、填空题（每题3分，共15分）1.平行四边形的判定方法（对角线关系）：________的四边形是平行四边形，即若四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且________，则四边形ABCD是平行四边形。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=4cm，OC=________cm，则当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形。3.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OC，OB=5cm，则OD=________cm时，四边形ABCD是平行四边形。4.若四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，则四边形ABCD是________，依据是________。5.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，则四边形BEDF是________，依据是________。三、解答题（共70分）1.（10分）根据对角线的关系，判断下列四边形是否为平行四边形，若是，说明依据；若不是，说明理由。（1）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC=2cm，OB=OD=3cm；（2）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=2cm，OC=3cm，OB=OD=2cm；（3）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，OA=4cm，OB=3cm；（4）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，BD=10cm，OB=4cm。解：2.（12分）利用对角线的关系判定平行四边形，完成简单推理与计算。（1）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形（简要写出推理过程）；（2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=2x+1，OC=3x-2，OB=OD，求x的值及OA、OC的长度；（3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若AB=5cm，AD=3cm，求四边形ABCD的周长；（4）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件（用对角线关系表示），使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由。解：3.（12分）结合平行四边形的性质与判定，解决基础几何问题。（1）在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，∠AOB=60°，OA=4cm，求AB的长度；（3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若AC=10cm，BD=8cm，求△AOB的周长（提示：结合平行四边形对边相等）；（4）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若∠A=70°，求∠B、∠C、∠D的度数。解：4.（12分）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，举出反例。（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相垂直且平分的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形。解：5.（12分）综合应用题，利用对角线的关系判定平行四边形并求解。（1）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形OEDF是平行四边形；（2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，周长为40cm，AB比AD长4cm，求四边形各边的长度；（3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，AC=12cm，BD=16cm，求四边形ABCD的面积（提示：可结合对角线互相平分的性质）。解：6.（10分）拓展应用题，结合对角线的关系判定平行四边形解决实际问题。（1）一块四边形的场地，测得其对角线相交于点O，OA=3米，OC=3米，OB=4米，OD=4米，判断这块场地的形状，并说明理由；（2）一个四边形框架，对角线相交于点O，若要使它成为平行四边形，已知OA=5cm，OB=6cm，求OC和OD的长度及对角线AC、BD的总长度。解：参考答案（简要提示）一、选择题：1.A 2.A 3.C 4.B 5.C二、填空题：1.对角线互相平分；OA=OC，OB=OD 2.4 3.5 4.平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形5.平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形三、解答题：1.（1）是，对角线互相平分；（2）不是，OA≠OC；（3）是，对角线互相平分；（4）不是，OB≠OD 2.（1）略；（2）x=3，OA=OC=7cm；（3）16cm；（4）答案不唯一，如OA=OC，OB=OD，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形3.（1）提示：证明OE=OF，OA=OC；（2）4cm；（3）12cm；（4）∠B=110°，∠C=70°，∠D=110°4.（1）正确，平行四边形的判定方法；（2）错误，反例：等腰梯形；（3）正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形5.（1）提示：证明OE=OF，OD=OB；（2）AB=CD=12cm，AD=BC=8cm；（3）96cm 6.（1）平行四边形，理由：对角线互相平分；（2）OC=5cm，OD=6cm，对角线总长度为22cm
学习目标
利用对角线互相平分判定平行四边形.
掌握平行四边形判定的方法.
判定
定理1
定理2
定义拓展法
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
复习回顾：平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵AB=CD, AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,∴四边形ABCD是 ABCD
导入新知
将两根木条 AC,BD, 的中点重叠,并用钉子固定,再用一根橡皮筋绕端点 A,B,C,D 围成一个四边形 ABCD.
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1
平行四边形的判定定理 3
A
B
C
D
O
想一想:△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
已知：四边形 ABCD 的两条对角线，AC 与 BD
相交于点 O ，并且 OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵ OA = OC，OB = OD ，
∠AOB =∠COD ，
∴△AOD≌△COB.
∴AD = CB，∠ADO =∠CBO.
∴ AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ AO = CO，
BO = DO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
A
B
C
D
O
总结归纳
平行四边形判定定理3
例1 已知：E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
O
B
A
C
E
F
D
证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO
(平行四边形对角线互相平分).
典例精析
∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = FO.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵ AE = CF，
O
B
A
C
E
F
D
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
练一练
2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证： 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
∴ CO＝DO.
∵ E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形．
C
返回
1．
如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．OA＝OC
D．AD＝AB
返回
平行四边形
2．
BE＝DF(答案不唯一)
返回
3．
如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_____________________，使四边形AECF是平行四边形．
4．
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长，交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC．连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形．
返回
【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO.
∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
5．
【证明】∵OA＝OD，OE＝OF，
∠AOE＝∠DOF，
∴△AOE≌△DOF.∴∠A＝∠D.
又∵∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOB≌△DOC.∴AB＝CD.
如图，AD，BC交于点O，EF过点O分别交AB，CD于点E，F，OA＝OD，OE＝OF.
(1)求证：AB＝CD；
(2)在图中，连接某些线段可以构成一个平行四边形，请你将可以构成的平行四边形一一列举出来．(不需要证明)
【解】连接AC，BD，可构成平行四边形ACDB；
连接AF，ED，可构成平行四边形AFDE；
连接EC，BF，可构成平行四边形ECFB.
返回
6．
返回
A
如图，在 ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，
则正确的方案是(　　)
A．甲、乙、丙
B．甲、乙
C．甲、丙　
D．乙、丙
7．
①②④
如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形．其中正确的结论是________．
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结

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