资源简介

(共39张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（*）班.时间：.章末复习第一章三角形的证明及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕“第一章三角形的证明及其应用”核心知识点设计，重点整合线段垂直平分线（性质、逆定理、作图）、角平分线（性质、逆定理）、三角形三个内角的平分线（内心）等核心内容，衔接全等三角形、等腰三角形、直角三角形相关知识，分层考查基础识记、作图规范、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握三角形证明的解题规范，规避定理混淆、作图步骤遗漏、综合应用不灵活等常见问题。一、基础梳理（必记核心内容）（一）线段垂直平分线相关（1.4.1-1.4.2）1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。3.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4.尺规作图：以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径作弧，两弧交点连线即为垂直平分线；可用于找到线段两端距离相等的点、过直线外一点作已知直线的垂线。（二）角平分线相关（1.5.1-1.5.2）1.角的平分线（射线）：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。2.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。3.角平分线逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（三）三角形三个内角的平分线（1.5.2）1.三角形内角平分线（线段）：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。2.内心（核心考点）：三角形三条内角平分线的交点，到三角形三条边的距离相等，是三角形内接圆的圆心，始终在三角形内部。3.尺规作图：作三角形任意两个内角的平分线，交点即为内心；单条内角平分线作图可衔接角的平分线作图方法。（四）综合应用技巧- 1.证明线段相等：可利用垂直平分线性质、角平分线性质，或结合全等三角形简化推理；- 2.判定线的性质：垂直平分线可通过“两点到线段两端距离相等”判定，角平分线可通过“角内部一点到两边距离相等”判定；- 3.区分关键交点：内心（三条内角平分线交点，到三边距离相等）、外心（三条边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等）；- 4.作图规范：尺规作图需保留弧痕，明确作图依据（逆定理为主），区分线段与射线、垂直平分线与角平分线的作图差异。5.易错提醒：①混淆垂直平分线、角平分线的性质与逆定理（因果关系）；②误将三角形内角平分线（线段）当作角的平分线（射线）；③混淆内心与外心的性质；④作图时半径不符合要求、遗漏痕迹；⑤应用定理时忽略前提（如角平分线逆定理中“点在角内部”）。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于三角形相关平分线的说法，正确的是（）A.三角形的内角平分线是一条射线B.三角形的三条内角平分线一定相交于三角形外部C.三角形的内角平分线一定在三角形内部D.三角形的内角平分线分对边所得的两条线段相等2.三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心3.下列说法错误的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C.内心到三角形三个顶点的距离相等D.外心到三角形三个顶点的距离相等4.在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE交于点I，若IG⊥AB于G，IG=2cm，则点I到BC的距离为（）A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm5.在Rt△ABC中，∠C=90°，内心I到AB的距离为3cm，则该三角形内接圆的半径为（）A. 1.5cm B. 3cm C. 6cm D.无法确定三、填空题（每题3分，共15分）1.三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的________和________之间的线段，叫做三角形的内角平分线。2.线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上；角平分线的逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。3.在△ABC中，内心为I，若I到AB的距离为5cm，则I到AC的距离为________cm，到BC的距离为________cm。4.作三角形的内心，只需作任意________条内角平分线，它们的________即为内心；作线段的垂直平分线，需以线段两端为圆心，以________的长为半径作弧。5.直角三角形的内心到直角顶点的距离________（填“大于”“小于”或“等于”）到斜边的距离；外心在________上。四、解答题（共70分）1.（10分）基础题，考查章节核心定义与定理。（1）请完整叙述线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理及内心的核心性质（均含几何表示）；（2）简述内心与外心的区别与联系。解：2.（12分）辨析题，考查章节易错点。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：①三角形的内角平分线是一条射线，能平分三角形的内角；②到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上；③三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；④线段的垂直平分线可以作无数条。（2）为什么说三角形的内心一定在三角形内部？请结合内角平分线的特点说明。解：3.（12分）基础作图题，考查章节核心作图。（1）如图，已知△ABC，用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（要求：保留作图痕迹，标注交点）；（2）如图，已知线段AB，用尺规作线段AB的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，说明作图步骤）；（3）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，用尺规作其内心I，并过I作IG⊥AB于G，测量IG的长度（简要说明测量方法）。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出作图步骤并说明痕迹）4.（12分）综合证明题，考查定理综合应用。（1）在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，交于点I，IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，求证：IG=IH；（2）在△ABC中，AB=AC，AD是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，求证：BE平分∠ABC；（3）在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5.（12分）应用题，考查章节知识实际应用。（1）一块三角形花园ABC，现要在花园内找一点P，使点P到三条边的距离相等，说明点P的位置，一、三角形内角和与外角
1. 三角形的内角和定理与外角的性质
(1) 三角形的内角和等于______；
(2) 三角形的一个外角____和它不相邻的两个内角的和；
180°
等于
大于
(3) 三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
2.多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
(4) _____________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.
顶角平分线
(3) 两个_______相等，简称“等边对等角”；
底角
(2) 轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
二、等腰三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 两腰相等；
2. 判定
(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“____________”).
等角对等边
三、等边三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于______；
(3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
(4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高
互相重合，简称“三线合一”.
60°
2. 判定
(1) 三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3) 有一个角是 60° 的____________是等边三角形.
等腰三角形
(5) 在直角三角形中，30° 的角所对的直角边等于斜边
的一半.
直角三角形的性质定理1
直角三角形的两个锐角______.
互余
直角三角形的判定定理1
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
四、直角三角形
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
.
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a，b (且a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝________；当 a 是斜边时，第三边 c＝________.
五、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2 ＋b2 ＝ c2
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
六、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2 ＋b2 ＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
c2
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若
相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
到目前为止判定直角三角形的方法有：
(1) 说明三角形中有一个角是　 ，或者有两个角______；
(2) 说明三角形中有两边互相　 ；
(3) 用勾股定理的逆定理．
直角
垂直
[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2 ＋ b2 ＝ c2 之类的错误．
互余
1. 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　 ，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题叫做互逆命题．
2. 逆命题
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成
　 　，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题．
结论
条件
结论
条件
七、逆命题和互逆命题
3. 逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
逆
1. 线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
2. 逆定理：
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
八、线段的垂直平分线
3. 常见的基本作图
(1) 过已知点作已知直线的　 　；
(2) 作已知线段的垂直　 　线．
垂线
平分
4. 三角形的三边的垂直平分线的性质：
三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.
1. 性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2. 判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3. 三角形的三条内角平分线的性质：
三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的
距离相等.
九、角平分线的性质与判定
10°
1．
如图，在△ADE中，∠ADE＝140°，点B和点C分别在边AD和边AE上，∠BAC＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，则∠EAD的度数为________.
【点拨】
设∠EAD＝∠BCA＝x.∴∠CBD＝∠CDB＝2x.∴∠DCE＝∠DEC＝3x.∵∠ADE＝140°，∠ADE＋∠EAD＋∠AED＝180°，∴140°＋x＋3x＝180°，解得x＝10°，即∠EAD＝10°.
返回
返回
D
2．
D
返回
3．
下列定理中不存在逆定理的是(　　)
A．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
4．
返回
如果|a|＝|b|，那么a＝b
已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|.该命题的逆命题是____________________________.
5．
返回
A
6．
返回
∠B＝60°(答案不唯一)
[2025资阳]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是___________________.
7．
7
如图，已知等边三角形ABC的边长是8，点D在AC上，且CD＝2.延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为________.
【点拨】
返回
8．
【点拨】
【答案】B
返回
9．
(－4，0)
如图，在△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，点B的坐标为(0，2)，点C的坐标为(2，－2)，则点A的坐标为____________.
【点拨】
返回
10．
返回
11．
返回
71°
如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠BAC＝21°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC的延长线于点E，连接AE，则∠CAE的度数为________.
12．
【解】(答案不唯一)添加条件：∠CAB＝∠DBA.
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△ACB≌△BDA.
如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD与CB相交于点E.
(1)添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明.
(2)在第(1)问的条件下延长AC，BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？
【解】如图所示．
∵△ACB≌△BDA，∴AC＝BD，AD＝BC.
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CEA＝∠DEB，
∴△ACE≌△BDE. ∴AE＝BE.
∴点E在AB的垂直平分线上．
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴∠ADP＝∠BCP＝90°.
又∵∠P＝∠P，AD＝BC，∴△ADP≌△BCP.∴AP＝BP.
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴直线PE是线段AB的垂直平分线．
返回
13．
[2025芜湖期中]在△ABC中，∠BAC＝120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I.
(1)如图①，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；
【证明】如图①，过点I作AB，AC，BC的垂线段，
垂足分别为M，N，K.
∵BE，CF是△ABC的角平分线，∴IK＝IM，IK＝IN.
∴IN＝IM.∴点I在∠BAC的平分线上．
(2)如图②，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L.求证：FT＝FL.
返回
14．
[2025厦门湖里区期中]如图，在△ABC中，AB＝21 cm，AC＝12 cm，∠A＝60°，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时，t的值为(　　)
【点拨】
【答案】D
根据题意，先表示出AP，AQ的长度，当△APQ为直角三角形时，∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可．
返回
15．
【证明】∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠ADC＝∠ACD.∴AD＝AC.
又∵AB＝AC，∴AD＝AB.
∴△ABD是等腰三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)若∠BDC＝20°，求∠ADC的度数.
【解】设∠ADC＝x°. 由(1)可得∠ACD＝∠DCB＝∠ADC＝x°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°.
∵∠BDC＝20°，∴∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝(x＋20)°.
∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝(x＋20)°.
∵∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，
∴20°＋(x＋20)°＋2x°＋x°＝180°，解得x＝35. ∴∠ADC＝35°.
返回

展开更多......

收起↑