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2025-2026学年重庆市永川中学初中部九年级（下）第一学月数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，最小的数是（　　）
A. 0 B. -1 C. |-3| D. 1
2.下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童降世》情况的调查
D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=120°，∠C的度数是（　　）
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
5.反比例函数的图象位于（　　）
A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限
6.小谢同学将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“〇”的个数，则第6个图形中“〇”的个数是（　　）
A. 35 B. 46 C. 53 D. 61
7.下列四个数中，最大的是（　　）
A. 6.18×108 B. 6.28×108 C. 6.18×109 D. 6.28×109
8.永川中学开展了智慧父母研修班课程，促进家校合作.第一天报名活动的家长有100人，第三天报名的家长有120人，设该活动这两天报名人数的日平均增长率为x,则可列方程（　　）
A. 100（1+x）2=120 B. 100（1-x）2=120
C. 100（1+2x）2=120 D. 100x2=120
9.如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连接CF，将△BCF沿直线CF翻折到正方形ABCD所在平面内，得到△B′CF，B′落在正方形内部，CB′交BD于点G，延长FB′交AB于点E，连接DE，若∠DEF=90°，则为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式，其中n为正整数，an，an-1…，a0均为绝对值小于2的整数，规定M中各项系数和为P，且1≤P≤3.下列说法：
①当P=1时，满足条件的整式M共有4种；
②当n=2时，满足条件的所有整式M中，M（2）能被5整除的有5个；
③若方程M（x）=0有解，则所有满足条件的整式M共有18个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“乐和乐都”、“茶山竹海”、“松溉古镇”、“永川博物馆”、“石笋山”五个地名.从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为 .
12.若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是 .
13.若m为正整数，且满足，则m= .
14.若实数x,y同时满足2x-|y|=4，2|x|-y=8，则xy的值为 .
15.如图，AE是⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，过点B作BC∥AE交⊙O于点C，作BE∥AC交⊙O于点D，点G为AC上一点，连接DG交AB于点H，若CG=DG，，BC=3，则线段AB的长度为 ，△BDH的周长为 .
16.若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的差为偶数，则称这个四位数为“偶运数”.按照这个规定，最小的“偶运数”是 ；对于“偶运数”，记，，若A-B为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的M的和为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组，并写出所有整数解.
18.(本小题8分)
在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空：
（1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，分别交边AD，BC于点E，F，连接BE，DF.（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠ABE=30°，求证：.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=90°，______ ①，
∴∠EDO=∠FBO，
∵OE垂直平分BD，
∴OD=OB，______ ②，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴______ ③，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
∵在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴______ ④，
∴.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：x（3x-1）-（3x+1）（x-1），其中x=2cos45°+（π+1）0.
20.(本小题10分)
中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A.x≤40，B.40＜x≤45，C.45＜x＜50，D.x=50），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的体测成绩在45＜x＜50分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49.
乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50.
甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表
甲班 乙班
平均数 47.6 47.6
众数 50 b
中位数 a 48.5
方差 18.24 6.14
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，a=______，b=______，请补全条形统计图；
（2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
21.(本小题10分)
列方程解下列问题：
骐骥驰骋，智造未来!某工厂使用A，B两种型号的机器人检测零件.已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个.
（1）求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？
（2）对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的1.2倍.若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？
22.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上一点（点P不与A，C重合），连接BP.过点P作AC的垂线，分别交菱形ABCD的边于点E，F.若AB=5，AC=8，用x表示线段AP的长度，点E与点F的距离为y1，菱形ABCD的面积为S1，△ABP的面积为S2，.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
如图，小杜家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方，小杜先从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递.下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课.（参考数据：，
（1）求菜鸟驿站C与超市B的距离；（结果保留根号）
（2）若小杜的步行速度为80米/分钟，忽略小杜买素描画纸的时间，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由.（精确到0.1）
24.(本小题10分)
如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接BE，PF，当取得最大值时，求PF+EF+BE的最小值；
（3）在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线AC方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接PQ，当∠PQB=∠QBK时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为射线AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，F是BD的中点.（1）如图1，FE与FC有何关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明；
（3）将△ADE绕点A顺时针旋转75°，若CA=4，且CB⊥BD，连接CE，请直接写出△CEF的面积.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】12或13
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】1432
18302

17.【答案】-2≤x＜1，不等式组的所有整数解为-2，-1，0．
18.【答案】（1）图形如图所示：
（2）AD∥BC；DE=BE；DE=BF；AE=BE

19.【答案】；．
20.【答案】49;49 甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班（答案不唯一） 1170人
21.【答案】A型机器人每小时检测450个零件，B型机器人每小时检测400个零件 B型机器人较升级前每小时多检测50个零件
22.【答案】y1=，y2=（0＜x＜8） 函数图象如图；
y1关于直线x=4对称，y2在自变量范围内y随x增大而减小 由图象可知0＜0＜2.3或7.3＜x＜8
23.【答案】（1）菜鸟驿站C与超市B的距离为300米 （2）他上美术网课会迟到，
在Rt△ACD中，tan∠CAD==tan30°=，
∴AD=CD=300（米），
∴AB=AD-BD=300-300≈219.6（米），
∴BC+AB≈424.2+219.6≈644（米），
∵644÷80=8.05＞7，
∴他上美术网课会迟到
24.【答案】 点K的坐标为或
25.【答案】相等且垂直．
证明：如图1中，
∵∠ACB=90°，
在Rt△DBC中，
∵F是BD的中点，
∴CF=BD，
∵DE⊥AB，
∴EF=BD，
∴FE=FC；
∴点B，C，D，E在以F为圆心，FC为半径的圆上．
∵CA=CB
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵弧EC=弧EC，
∴∠EFC=2∠ABC=90°
∴FE=FC且FE⊥FC；
成立；
如图，取AB中点M，AD中点N，连接CM、FM、EN、NF，
∵DF=FB，AM=MB，∠AED=∠ACB=90°
∴FM=AD，EN=AD，CM=NF=AB，
∵∠CMF+∠FMB=90°，∠ENF+∠DNF=90°，
又∵NF∥AB，FM∥AD，
∴∠DNF=∠DAB=∠FMB，
∴∠CMF=∠ENF，
∴△CMF≌△FNE（SAS），
∴CF=FE，∠MCF=∠NFE，
∵FN∥AB，CM⊥AB，
∴FN⊥CM，
∴∠FCM+∠CFN=90°，
∴∠CFN+∠NFE=90°，
∴∠CFE=90°，
∴CF⊥EF．
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