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2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第一~三章。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列各式中变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是△ABC的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长是（ ）
A．13 B．14 C．8 D．26
6．若点关于原点的对称点是，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平分，于点E，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．将一副三角板按如图放置，，，，则
①；②；③如果，则有；
④如果，则有．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．不等式组的解集是________．
14．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
16．王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折．
解答题（本大题共9小题，满分98分．第17题~21题10分，第22题~25题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来．
18．如图，在中，，
(1)求的度数；
(2)若平分 ，求 的度数．
19．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元．
(1)求，两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少
20．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出将向右平移5个单位长度得到的；
(2)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．
22．冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
(1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论：
①平分与；②，；③四边形的面积；
④．
(1)以上结论请你任选一个进行证明；
(2)若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）．
24．阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得．
任务：
(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
25．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

【操作感知】
（1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
【探究论证】
（2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形；
【迁移探究】
（3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长．2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷
数学·解析版
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第一~三章。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键；要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、该图形是轴对称图形而不是中心对称图形；
D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形．
2．若，则下列各式中变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：已知，
A、不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，变形错误；
B、不等式两边同时减，不等号方向不变，可得 ，变形错误；
C、不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得 ，再给不等式两边同时加，不等号方向不变，可得 ，变形正确；
D、不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，变形错误．
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】边形的内角和公式：．
【详解】解：正八边形的内角和为，
∴正八边形的每一个内角的度数是．
4．如图，是△ABC的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长是（ ）
A．13 B．14 C．8 D．26
【答案】B
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
6．若点关于原点的对称点是，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴．
7．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得：．．
三角形的周长为，四边形的周长为，
，，则，
．
8．如图，平分，于点E，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作交的延长线于F，
平分，，，，
，
，
的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，根据不等式，即为直线的图象在直线图象的下方的的值，根据图象直接解答即可．
【详解】解：由图象得，直线：与直线：交点的横坐标为，
当时，直线的图象在直线图象的下方，
∴不等式的解集为，
故选：D．
10．某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键．
根据题意列出不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：，
故选B．
11．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式组得到解集，再根据只有3个整数解的条件，得到参数a的取值范围．
【详解】解：，
由①得
由②得
∴不等式组的解集为
∵不等式组只有3个整数解，
∴3个整数解为1，0，，
∴．
12．将一副三角板按如图放置，，，，则
①；②；③如果，则有；
④如果，则有．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出得到，则，进而可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
如果，则，故，故③正确；
如果，则，故，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④错误，
综上所述，正确的有①②③，共3个．
填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．不等式组的解集是________．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，即可确定该不等式组的解集.
【详解】解：，
根据“同大取大”的规则，可得该不等式组的解集为．
14．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______．
【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】根据平移的性质得出，，即可求出空白部分的面积为，进而求出阴影部分面积即可．
【详解】解：如图所示，
∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，
∴，，
∴空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为．
16．王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折．
【答案】八/
【分析】设该卫衣打折销售，根据利润率的计算公式列出不等式求解．
【详解】解：设该卫衣打折销售，
根据题意，得，
整理得，
解得，
因此该卫衣至多可以打折．
解答题（本大题共9小题，满分98分．第17题~21题10分，第22题~25题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来．
【答案】（1），数轴表示见详解；（2），数轴表示见详解
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，不等式组，在数轴表示解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）移项，系数化1即可，再在数轴表示；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴表示．
【详解】解：（1），
，
解得：
∴原不等式的解集为：，
数轴上表示为：
；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
将解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为．
18．如图，在中，，
(1)求的度数；
(2)若平分 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案；
（2）根据角平分线的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵平分，
∴．
19．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元．
(1)求，两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少
【答案】(1)A，B两种客房的单价分别是元，元
(2)有3种方案，分别为：方案1：租住客房间，则租住客房间；方案2：租住客房间，则租住客房间；方案3：租住客房间，则租住客房间，最省钱方案的费用为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的解法，根据题意列出分式方程、一元一次不等式组是解题的关键．
（1）设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设租住客房间，则租住客房间，根据题意列一元一次不等式组，再解一元一次不等式组求出取值范围，再求整数解，确定有几种方案即可．
【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意，
得：，
解得：，
检验：时，，
是原分式方程的解．
答：A，B两种客房的单价分别是元，元．
（2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意，
得：，
解得：，
为整数，即或或，
故有3种方案，分别为：
方案1：租住客房间，则租住客房间
费用是（元）；
方案2：租住客房间，则租住客房间；
费用是（元）；
方案3：租住客房间，则租住客房间．
费用是（元）；
∵
∴最省钱方案的费用为元
20．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角．
（1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到；
（2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出将向右平移5个单位长度得到的；
(2)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
22．冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
(1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个
(2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，
对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可；
对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
23．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论：
①平分与；
②，；
③四边形的面积；
④．
(1)以上结论请你任选一个进行证明；
(2)若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）选，，利用垂直平分线的判定证明即可；
（2）先过点O作，证得，同理可证的，从而得证
【详解】（1）②，；证明如下：
，
∴点A在线段的垂直平分线上，
又
∴点C线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
即，；
（2），理由如下：
，，
，，
∵点O到四边形四条边的距离相等，
如图，先过点O作，
，
∴平分线，
即
又，
，
，
，
同理可证：，
24．阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得．
任务：
(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
(2)
【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答．
（2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）．
依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
（2）解：依题意，∵，，
∴①，
又∵，，
∴②，
由①②可得：
25．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

【操作感知】
（1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
【探究论证】
（2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形；
【迁移探究】
（3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长．
【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3）4
【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股四边形”，勾股定理、直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，充分利用其特点解题．
（1）利用勾股定理计算画图即可；
（2）先利用旋转的性质得到，，，则可判断是等边三角形，所以，，再证明，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形；
（3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到 ，证明为直角三角形，得出，即，可求出答案．
【详解】解：（1）如图所示，四边形，即为所求；
连接，，，
， ，，，
，
四边形，即为所求；
（2）∵
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即四边形是勾股四边形；
（3）连接，，过点B作于点F，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在中，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷
数学·参考答案版
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C D A B D B B D B D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．
14．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
15．
16．八/
三、解答题（本大题共9小题，满分98分．第17题~21题10分，第22题~25题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
【详解】解：（1），
，
解得：
∴原不等式的解集为：，
数轴上表示为：
；（5分）
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
将解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为．（10分）
18．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；（5分）
（2）解：由（1）得，
∵平分，
∴．（10分）
19．
【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意，
得：，
解得：，
检验：时，，
是原分式方程的解．
答：A，B两种客房的单价分别是元，元．（4分）
（2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意，
得：，
解得：，
为整数，即或或，
故有3种方案，分别为：（8分）
方案1：租住客房间，则租住客房间
费用是（元）；
方案2：租住客房间，则租住客房间；
费用是（元）；
方案3：租住客房间，则租住客房间．
费用是（元）；
∵
∴最省钱方案的费用为元（10分）
20．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；（5分）
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴，
∵，
∴．（10分）
21．
【详解】（1）解：（1）如图，即为所求．（4分）
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．（10分）
22．
【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；（6分）
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．（12分）
23．
【详解】（1）②，；证明如下：
，
∴点A在线段的垂直平分线上，
又
∴点C线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
即，；（6分）
（2），理由如下：
，，
，，
∵点O到四边形四条边的距离相等，
如图，先过点O作，
，
∴平分线，
即
又，
，
，
，
同理可证：，
（12分）
24．
【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）．
依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．（6分）
（2）解：依题意，∵，，
∴①，
又∵，，
∴②，
由①②可得：（12分）
25．
【详解】解：（1）如图所示，四边形，即为所求；
连接，，，
， ，，，
，
四边形，即为所求；（4分）
（2）∵
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即四边形是勾股四边形；（8分）
（3）连接，，过点B作于点F，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在中，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．（12分）
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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第一~三章。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列各式中变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是△ABC的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长是（ ）
A．13 B．14 C．8 D．26
6．若点关于原点的对称点是，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平分，于点E，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．将一副三角板按如图放置，，，，则
①；②；③如果，则有；
④如果，则有．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．不等式组的解集是________．
14．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
16．王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折．
解答题（本大题共9小题，满分98分．第17题~21题10分，第22题~25题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来．
18．如图，在中，，
(1)求的度数；
(2)若平分 ，求 的度数．
19．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元．
(1)求，两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少
20．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出将向右平移5个单位长度得到的；
(2)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．
22．冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
(1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论：
①平分与；②，；③四边形的面积；
④．
(1)以上结论请你任选一个进行证明；
(2)若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）．
24．阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得．
任务：
(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
25．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

【操作感知】
（1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
【探究论证】
（2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形；
【迁移探究】
（3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长．
试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）

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