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广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．{1} C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ）
A．存在，使得相交 B．存在，使得
C．存在，使得的夹角为 D．存在，使得
7．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
8．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．为偶函数
D．的图象关于直线对称
10．某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ）
A．变量与正相关
B．
C．样本数据的下四分位数为1.8
D．当时，的预测值为4.1万元
11．已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ）
A．
B．平面平面
C．截面的面积为
D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
三、填空题
12．若直线是曲线的一条切线，则___________．
13．已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可）
14．已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为1，求的周长．
16．已知函数．
(1)若在时取极值，求的值和的极小值；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
17．已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，．
(1)求的方程；
(2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①三点共线；
②轴；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18．如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为．
(1)求长度的最小值；
(2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立；
(3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围．
19．一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
参考公式：
1．若，对于，则；
2．若是离散型随机变量，则．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．C
5．A
6．D
7．A
8．B
9．AD
10．ABD
11．BCD
12．
13．260（均可）
14．
15．（1）由余弦定理，可得，
且，则，
解法1：，
由正弦定理：，，
所以，即，
又因为，解得，
因为，所以；
解法：因为，，
所以由，即，
不妨设，
由余弦定理，即，
解得，
由正弦定理，，
所以.
（2）解法1：
由（1）知，，，，
由正弦定理，，
于是，
，
所以，
解得，所以，
所以；
解法2：由（1），，，
则，所以，
如图，延长，过点作，
由，则，
设，
所以，
所以，
则解得，
于是.
16．（1）由题意可知：，，
因为，解得，
则，，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，且，
当趋近于或时，趋近于，
可知在定义域内有2个零点和1，
当时，，当时，，
可知在，内单调递增，在内单调递减，
所以在处取极小值，极小值为．
（2）解法1：由于不等式对任意恒成立，
则，解得，
下证：当时，，
若，则，
令，由（1）可知，在上单调递增，
则，则，
所以的取值范围为；
解法2：令，则，
设，，则，
设，，则,
可知在上单调递增，则，
即，可知在上单调递增，则，
可得，所以的取值范围为；
解法3：因为，，则，
设，，则，
可知在上单调递增，即在上单调递增，
则，且当趋近于时，趋近于，
当，即时，则在内存在零点，
若，则，可知在内单调递减，
可得，不合题意；
当，即时，则，可知在上单调递增，
则，符合题意；
综上所述：的取值范围为；
解法4：因为，则，
设，
则，
当，即时，则，可知在单调递减，
则，解得；
当，即时，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，下证：，
设,，则，
可知在上单调递增，则，
即，可得，可知不等式恒成立；
综上所述：的取值范围为.
17．（1）由题，关于轴对称，令，则，于是直线过焦点，
在中，有，可得：，
则，于是的方程为：；
（2）选①② ③
解法1：由题意知，与轴不垂直，不妨设点，
则，
于是直线，即，
若三点共线，，则，
取中点，连接，由，则，
而，
则，则；
解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，
点，，联立直线与：
则
所以
取中点，连接，由，则，
而，
则，则；
解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为，
过点作，
设直线的倾斜角为，于是，则，
即，同理，，
在与中，，
取中点，连接，
于是，则，
于是，
且，
且，则，于是，即；
①③②
解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点，
则，
于是直线，即，
若三点共线，则，
取中点，连接，
由于，
由，且，则，
，且，
则，即，
则，则轴，轴；
解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，
点，，联立直线与：
取中点，连接，
由于，
由，且，则，
，且，
则，即，
则，则轴，轴：
解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为，
设直线的倾斜角为，于是，则，
即，同理，，
在中，，
取中点，连接，
于是，则，
则，
在与中，，
且，则，于是，即轴，轴；
选②③①
解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点，
则，
于是直线，即，
取中点，连接，由，则，
而
由，则，
，于是，
则直线恒过定点，即三点共线．
解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，
点，联立直线与：
取中点，连接，由，则，
而，
由，则，
，于是，此时，
则直线恒过定点，即三点共线．
18．（1）如图，
沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形，
其中为的中点，与在圆锥中是同一点．
因为轨迹在圆锥的侧面上，
所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线．
又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，
所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段．
由于，所以的长度为，又，所以．
所以，在等腰三角形中，，即的长度为．
（2）如图，在底面圆中，过点作交圆于点，
由于平面，平面，故，，
则，两两垂直，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
于是，设，
则，
于是，则，
于是，
于是令，则；
（3）解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
由于，
则，即
令，
于是平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
于是，
即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为；
解法2 ： 由（2）可知，平面的法向量，
由于在底面圆周上运动，
则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量，
如图，在平面内，设，过点作，则，
设平面与平面所成的角为，则，
易知，则，
综上，，
即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．
19．（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域，
微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域．
（2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：，
若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，
且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是
，则
不妨设，
于是
则
化简可得，，
由题意可知， ，所以；
解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域，
有的概率经过区域回到区域，
于是，
解得， ；
（3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，
设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，
初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达），
当时，于是：，
即，
化简有，又由，有
即，
又由，于是．
解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，，
微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：，
若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，
且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是
，则，
由（2）知
于是
又由，于是．
解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为：
，
当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中，
在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为，
且最后2步移动以的概率回到．
于是，则
不妨记
于是
则，
又由，于是，
则．
又由时也符合上式，于是对于均有．
说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次．

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