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高中数学
同步复习
5.1 统计
01
知识剖析
考点01 简单随机抽样
可用简单随机抽样抽取样本的依据:
①总体中的个体之间无明显差异；
②总体中个体数N有限；
③抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；
④每个个体被抽到的可能性均为????????
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壹
考点02分层随机抽样中有关
计算的方法
（1）抽样比=该层样本量????总样本量????=该层抽取的个体数该层的个体数；
（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
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壹
考点03柱形图、折线图、扇形图的应用
1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率；
（2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数；
（3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势.
壹
考点04频率直方图的应用
（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为 ,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解；
（2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；
（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解.
（4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法:
①众数:最高小长方形底边中点的横坐标；
②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
壹
考点05平均数、标准差、方差性质
（1）若一组数据x1,x2,...xn的平均数为????,方差为s2,那么mx1+a,mx2+a,...mxn+a的平均数是m????+a ,方差为m2s2
（2）分层方差计算总体方差
若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,????,????12;n,????,????22;记总的样本平均数为????,样本方差为s2,则
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壹
考点06百分位数
（1）几个数的百分位数计算方式：
第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数据；
如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。
（2）频率分布直方图的百分位数计算方式
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解.
壹
02
综合训练
下列情况适合用抽样调查的是（　　）
A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查某班学生的身高情况
D．学校招聘，对应聘人员进行面试
考点01简单随机抽样及其适用条件
01
【解答】解：ACD，样本容量较少，适合用普查，
B，该调查具有损坏性，适合用抽样调查．
考点01简单随机抽样及其适用条件
01
下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
考点02抽签法简单随机抽样及其步骤
01
【解答】解：对于A，D，选项中的总体的个体数较大，不适合抽签法，故AD错误；
对于C，甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合抽签法，故C错误；
对于B，总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了，故B正确．
考点02抽签法简单随机抽样及其步骤
01
下列说法错误的是（　　）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
考点03随机数法简单随机抽样及其步骤
01
【解答】解：对于A，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，故A正确，
对于B，抽签法和随机数法是两种常见的简单随机抽样方法，故B正确，
对于C，简单随机抽样种每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样，故C正确，
对于D，被抽取的200名学生是样本，不是样本量，故D错误．
考点03随机数法简单随机抽样及其步骤
01
总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
考点04求随机数法抽样的样本
01
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
考点04求随机数法抽样的样本
01
某校有在校高中生共1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查该校学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较少，问应采用怎样的抽样方法？高三学生应抽查多少人？
考点05分层随机抽样及其适用条件
01
【解答】解：因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样．
由于520：500：580＝26：25：29，于是将80分成26：25：29的三部分，设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x．
由26x+25x+29x＝80，得x＝1，
故高三年级中应抽查29×1＝29人．
考点05分层随机抽样及其适用条件
01
非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（　　）
A．16人 B．12人 C．8人 D．4人
考点06分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
01
【解答】解：该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4：3：2，利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，
应从高一年级抽取36×44+3+2=16人，
从高三年级抽取36×24+3+2=8人，
则抽取到的高一年级学生人数比高三多16﹣8＝8人．
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考点06分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
01
高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为100．通过分层随机抽样的方法得到男生、女生的平均身高为170.2cm和160.8cm，则估计高一年级全体学生的平均身高为 （ ） cm．（结果保留一位小数）
考点07由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
01
【解答】解：高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为100，
设在男生、女生中分别抽取m名和n名，
则m490=????510=100490+510，解得m＝49，n＝51．
据此可以估计高二年级全体学生的平均身高为
4901000×170.2+5101000×160.8≈165.4(cm)．
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考点07由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
01
在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
考点08普查与抽样
01
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
考点08普查与抽样
01
某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在[50，60）内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．
考点09频率分布直方图
01
【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.035+0.030+x）×10＝1，解得x＝0.02．
（2）这组数据的平均数为
55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝77．
中位数设为m，则0.05+0.2+（m﹣70）×0.035＝0.5，解得m=5407．
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考点09频率分布直方图
01
（3）满意度评分值在[50，60）内有100×0.005×10＝5人，其中男生3人，女生2人．记为A1，A2，A3，B1，B2，
记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A，
从5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2
所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，
所以 P(A)=310．
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考点09频率分布直方图
01
某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A．a＝0.05
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
考点10频率分布直方图的应用
01
【解答】解：根据题意可得（2a+4a+6a+5a+3a）×10＝1，解得a＝0.005，所以A选项错误；
评分的众数估值为70+802=75，所以B选项错误；
因为前2组的频率依次为0.1，0.2，
所以评分的第25百分位数估值为60+0.25-0.10.02=67.5，所以C选项正确；
所以评分的平均数估值为
55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.15＝76.5，所以D选项错误．
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考点10频率分布直方图的应用
01
如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是（　　）
A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5
C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55
D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
考点11频率分布折线图、密度曲线
01
【解答】解：由表中数据可得，x=114×(122+102+?+55+52)≈87，
则该市14天空气质量指数的平均值小于100，故A错误，
将14天的空气质量指数由小到大排列为：
33，38，52，53，55，65，76，81，102，102，116，122，158，163，则该市14天空气质量指数的中位数为：(76+81)/2=78.5，故B正确，
14×30%＝4.2，则该市14天空气质量指数的30百分位数为55，故C正确，
对于D，由图象可知，连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的波动最大，即方差最大，故D正确．
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考点11频率分布折线图、密度曲线
01
在全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：
甲：9.4 8.7 7.5 8.4 10.1 10.5 10.7 7.2 7.8 10.8
乙：9.1 8.7 7.1 9.8 9.7 8.5 10.1 9.2 10.1 9.1；
（1）用茎叶图表示甲、乙两个成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；
（2）分别计算两个样本的平均数x和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定，并简述茎叶图的优点．
考点12茎叶图
01
(1)
考点12茎叶图
01
（2）????甲=110×（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）＝9.11，
S甲=√(110[(9.4-9.11)2+(8.7-9.11)2+??+(10.8-9.11)2])=1.3，
????乙=110×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）＝9.14，
S乙=√(110[(9.1-9.14)2+(8.7-9.14)2+??+(9.1-9.14)2])=0.9，
∵S甲＞S乙，∴甲运动员的波动大于乙运动员的波动，
∴我们估计乙运动员的成绩比较稳定，
茎叶图的优点：能表示所有的原始数据，可随时记录，动态的表示数据，记录和表示比较方便，还可以从图中得出中位数．
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考点12茎叶图
01
如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成不规则形态，图（3）形成“右拖尾”形态，根据所给图形作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）中平均数＞中位数＝众数
B．图（2）中众数＞平均数
C．图（3）中众数＜中位数＜平均数
D．图（3）中众数＜平均数＜中位数
考点13统计图表获取信息
01
【解答】解：对于A，因为图（1）的频率分布直方图是对称的，
所以平均数＝中位数＝众数，故A错误；
对于B，图（2）中众数＜平均数，故B错误；
对于C，D，图（3）中众数最小，由“右拖尾”可知平均数大于中位数，
所以众数＜中位数＜平均数，故C正确，D错误．
考点13统计图表获取信息
01
已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和②所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（　　）

A．160；12 B．120，12 C．160，9 D．120，9
考点14扇形统计图
01
【解答】解：样本容量＝（250+150+400）×20%＝160，
抽取的户主对四居室满意的人数为150×20%×40%＝12．
考点14扇形统计图
01
下列说法正确的是（　　）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若x1，x2，?，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8
考点15平均数
01
【解答】解：对于A，数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，5×0.6＝3，∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是12（5+6）＝5.5，故A错误；
对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，
∴16（4+6+7+8+9+a）＝7，解得a＝8，故B错误；
对于C，用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；
对于D，若x1，x2，?，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是(?2)2×42=8，故D正确。
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考点15平均数
01
小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替．已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则|x﹣y|的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点16中位数
01
【解答】解：不妨设x≤y，
当x＝3，y＝4时，1，2，3，3，3，4，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝5时，1，2，3，3，3，4，5，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝3，y＝6时，1，2，3，3，3，4，5，6，6，|x﹣y|＝3；
当x＝1，y＝3时，1，1，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝2，y＝3时，1，2，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝3时，1，2，3，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝0．
考点16中位数
01
一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，上四分位数为b，则a+b＝（ ） ．
考点17众数
01
【解答】解：因为这组数据的众数为5，故a＝5，
因为数据个数为14，且14×34=10.5，
所以这组数据的上四分位数是第11个数，故b＝8．
所以a+b＝13．
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考点17众数
01
已知在R软件的控制台中，输入“sample（1：20，4，replace＝F）”，按回车键，得到的4个1～20范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为（　　）
A．2√10
B．√10
C．40
D．10
考点18标准差
01
【解答】解：数据的平均数为12+6+10+44=8，
这4个数据的方差为14[(12-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(4-8)2]=10，其标准差为√10．
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考点18标准差
01
经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）都为0
B．若????=3，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为6
C．若s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为12
D．若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
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考点19方差
01
【解答】解：方差s2＝0时，说明所有的数据x1，x2，…，xn都相等，但不一定为0，故A错误；
数据x1，x2，…，xn的平均数????=3，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为2×3+1＝7，故B错误；
数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝3，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为22×3＝12，故C正确；
数据x1，x2，…，xn的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故D错误．
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考点19方差
01
为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 　（ ）℃．
考点20极差
01
【解答】解：某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），
其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，
∴该地区这10天日平均气温的极差是38﹣29＝9℃．
考点20极差
01
制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标．现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为（　　）
A．50.2
B．50.3
C．50.4
D．50.5
考点21百分位数
01
【解答】解：由题意可知，数据从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，
因为13×90%＝11.7，
所以该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3．
考点21百分位数
01

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