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高中数学
同步复习
4.2 对数与对数函数
01
知识剖析
考点一 对数运算
1．对数的概念
一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为e底的对数称为自然对数，并记为lnN.
壹
考点一 对数运算
2．指数与对数的互化
当时，.
壹
考点一 对数运算
3．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
4．对数恒等式
（1）；（2）
壹
考点一 对数运算
壹
考点一 对数运算
壹
考点二对数函数
1．对数函数的概念
函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将x,y互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数
壹
考点二对数函数
2．对数函数的图象及性质
壹
考点二对数函数
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.
壹
02
综合训练
在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5）
C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）
考点一 对数的概念
01
【答案】D
【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足，
解得3＜a＜4或4＜a＜5，
所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）．
故选：D．
考点一 对数的概念
01
若log2x＝3，则x＝ ．
考点二指数式与对数式的互化
01
【答案】8
【解答】解：∵log2x＝3，则x＝23＝8．
故答案为：8．
考点二指数式与对数式的互化
01
“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.那么大约经过（　　）天后“进步”的是“退步”的2倍．请选出最接近的一项．（lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635）（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
考点三对数运算求值
01
【答案】C
【解答】解：假设经过n天，“进步者”是“退步者”的2倍，
由题意可得()n=()n=2，
lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635，
则
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：C．
考点三对数运算求值
01
已知函数f(x)=，则f（x）＝2是x＝﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点四对数方程求解
01
【答案】B
【解答】解：当f（x）＝2时，
若x≤0，则有2﹣x＝2，解得x＝﹣1；
若x＞0，则有lnx＝2，解得x＝e2．
可得：x＝﹣1或x＝e2，不一定能推出x＝﹣1，故f（x）＝2不是x＝﹣1成立的充分条件；
反之，当x＝﹣1时，f（﹣1）＝2，即f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要条件，
综上，f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要不充分条件．
故选：B．
考点四对数方程求解
01
已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则= ．
考点五换底公式的应用
01
【答案】2
【解答】解：∵2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，
∴，解得=4．
∴=log24=2．
故答案为2．
考点五换底公式的应用
01
若log（x﹣1）（3﹣x）有意义，则x的取值范围是 ．
考点六对数函数的定义
01
【答案】（1，2）∪（2，3）
【解答】解：要使对数有意义，则，
即，
解得1＜x＜2或2＜x＜3，
即x的取值范围是（1，2）∪（2，3），
故答案为：（1，2）∪（2，3）
考点六对数函数的定义
01
函数的定义域为（　　）
A．（1，2] B．（1，3]
C．（0，1）∪（1，3] D．（0，1）∪（1，2]
考点七对数函数的定义域
01
【答案】C
【解答】解：因为函数，
所以，即，
解得0＜x≤3且x≠1，
所以f（x）的定义域为（0，1）∪（1，3]．
故选：C．
考点七对数函数的定义域
01
函数f(x)=+ln(3 x)的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．（3，+∞） C．[0，3） D．[0，3]
考点八求对数函数的定义域
01
【答案】C
【解答】解：由题意得，解得0≤x＜3，
故其定义域为x∈[0，3）．
故选：C．
考点八求对数函数的定义域
01
函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（3，4）
C．（3，4] D．（4，+∞）
考点九求对数型复合函数的定义域
01
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
解得x≤3．
故选：A．
考点九求对数型复合函数的定义域
01
已知集合A={x|y=}，集合B＝{y|y＝lg（x2+1）}，则A∩B＝（　　）
A．（0，3） B．（﹣1，3] C．[0，3] D．[0，+∞）
考点十对数函数的值域
01
【答案】C
【解答】解：令﹣x2+2x+3≥0解得﹣1≤x≤3，∴A＝[﹣1，3]，
∵x2+1≥1，∴lg（x2+1）≥0即B＝[0，+∞），
∴A∩B＝[0，3]．
故选：C．
考点十对数函数的值域
01
下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝elnx的定义域和值域相同的是（　　）
A．y＝x B．y＝lnx
C．y＝ex D．y=
考点十一求对数函数的值域
01
【答案】D
【解答】解：函数y＝elnΧ的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y＝x的定义域为R，值域为R，不满足要求，
函数y＝lnx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求，
函数y＝e的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求，
函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求，
故选：D．
考点十一求对数函数的值域
01
已知函数f（x）＝ln（ax2+2x+1），若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞）
考点十二求对数型复合函数的值域
01
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）的值域为R，则u＝ax2+2x+1要取遍所有的正数．
所以，解得0≤a≤1，
即实数a的取值范围是[0，1]．
故选：A．
考点十二求对数型复合函数的值域
01
已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且f(9)=，则a＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．27
考点十三对数函数的图象
01
【答案】C
【解答】解：已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且f(9)=，
又函数f（x）＝logax在（0，+∞）上单调递增，所以a＞1，
因为f(9)=，所以loga9=，即2loga3=，
解得loga3=或loga3＝﹣1（舍），所以a＝9．
故选：C．
考点十三对数函数的图象
01
已知函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，则a＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
考点十四对数函数图象特征与底数的关系
01
【答案】D
【解答】解：因为函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，
令x﹣3＝0，得x＝3，所以y＝f（3）＝1+2＝3，即A＝（3，3），
又因为点A在g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，
所以3＝log2（a﹣3），即a﹣3＝8，解得a＝11．
故选：D．
考点十四对数函数图象特征与底数的关系
01
已知函数f（x）＝|lgx﹣1|，若f（a）＝f（b），且a＜b，则[f（a）]2﹣f（10b）的最小值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．
考点十五对数函数及对数型复合函数的图象
01
【答案】B
【解答】解：由题可得：f(x)=|lgx 1|=，作出f（x）的图像如下：
考点十五对数函数及对数型复合函数的图象
01
由a＜b，且f（a）＝f（b），则f（a）＝1﹣lga，f（b）＝lgb﹣1，即1﹣lga＝lgb﹣1，解得：ab＝100，
所以[f（a）]2﹣f（10b）＝（1﹣lga）2﹣（lg10b﹣1）＝1﹣2lga+lg2a﹣lgb＝lg2a﹣（lga2b）+1
由ab＝100，则lg2a﹣（lga2b）+1＝lg2a﹣lg100a+1＝lg2a﹣lga﹣1，
所以[f(a)]2 f(10b)=lg2a lga 1=(lga )2 ，故当lga=，
即a=10时，[f（a）]2﹣f（10b）取最小值为．
故选：B．
考点十五对数函数及对数型复合函数的图象
01
函数f（x）＝lnx+ln（4﹣x）的单调递增区间是 ．
考点十六求对数函数及对数型复合函数的单调性
01
【答案】（0，2）．
【解答】解：令，解得0＜x＜4，
因为f（x）＝lnx+ln（4﹣x）＝ln（4x﹣x2），
且u＝4x﹣x2在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，y＝lnu在定义域内单调递增，
可知函数f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
考点十六求对数函数及对数型复合函数的单调性
01
若函数f(x)=loga(ax )（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．(，1) B．(，1) C．(0，) D．（1，+∞）
考点十七由对数函数的单调性求解参数
01
【答案】A
【解答】解：若函数f(x)=loga(ax )（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，
则，解得＜a＜1．
故选：A．
考点十七由对数函数的单调性求解参数
01
已知f（x）＝|lnx|，若a=f()，b=f(3)，c=f()，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
考点十八求对数函数及对数型复合函数的最值
01
【答案】B
【解答】解：对于函数f（x）＝|lnx|，
f（）＝ln2，f（3）＝ln3，f（）＝ln4．
又y＝lnx在定义域上单调递增，且2＜3＜4，
所以ln2＜ln3＜ln4，所以f()＜f(3)＜f()，即a＜b＜c．
故选：B．
考点十八求对数函数及对数型复合函数的最值
01
（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）若a＞0，解关于x的不等式log( ax 1)＞log(a x2)．
考点十九由对数函数的最值求解参数
01
【答案】（1）a＝2或．
（2）当0＜a＜1时，不等式解集为 ；当a＞1时，不等式解集为( 1，)．
【解答】解：（1）因为y＝logax在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2或．
考点十九由对数函数的最值求解参数
01
（2）因为函数y=logx是（0，+∞）上的减函数，
所以，即，
当0＜a＜1时，＜ 1＜，原不等式解集为 ；
当a＞1时，＞ 1＞，原不等式解集为( 1，)．
考点十九由对数函数的最值求解参数
01
已知a＝20.3，b＝log20.3，c＝0.30.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．a＞b＞c
考点二十对数值大小的比较
01
【答案】B
【解答】解：∵指数函数y＝2x在R上单调递增，∴a＝20.3＞20＝1，即a＞1，
∵对数函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，∴b＝log20.3＜log21＝0，即b＜0，
∵指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且值域为（0，+∞），∴c＝0.30.5＜0.30＝1，即0＜c＜1．
综上，a＞c＞b．
故选：B．
考点二十对数值大小的比较
01
（多选）已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b
C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
考点二十一指数函数与对数函数的关系
01
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
考点二十一指数函数与对数函数的关系
01
为了得到函数y＝log4x的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有点的（　　）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
D．纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
考点二十二对数函数图象与性质的综合应用
01
【答案】C
【解答】解：∵y=log4x=log2x，
∴为了得到函数y＝log4x的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），
故选：C．
考点二十二对数函数图象与性质的综合应用
01

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