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高中数学
同步复习
4.1 指数与指数函数
01
知识剖析
考点一 指数运算
1.根式的概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中,且,.
（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.
（2）当n是偶数时,正数的n次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作=0.
式子叫做根式,其中n(),且叫做根指数,a叫做被开方数.
壹
考点一 指数运算
2.根式的性质
根据n次方根的意义,可以得到:（1）；
（2）当n是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当n为奇数时, ,n为偶数时,a,...,而中a.
壹
考点一 指数运算
3．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个n相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
壹
考点一 指数运算
4．有理数指数幂的运算性质
（1）;
（2）(ar)s=ars(a>0,r,s);
（3）.
壹
考点一 指数运算
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(,是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
壹
考点二 指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是x自变量，函数的定义域为R
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数a为大于0且不等于1的常数．（2）自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
（3）的系数是1.
壹
考点二 指数函数
2．指数函数的图形及性质
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
壹
考点二 指数函数
（2）指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数的大致图象．
3．图象位置关系
壹
考点二 指数函数
（2）指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数的大致图象．
3．图象位置关系
壹
考点二 指数函数
底数a的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x=1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
壹
02
综合训练
污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需要的时间为（　　）
A．14小时 B．18小时
C．20小时 D．24小时
考点一 有理数指数幂与根式的互化
01
【答案】B
【解答】解：设经过n小时，处理池中的污染物水平降到最初的10%，
则（1﹣12%）n＝10%，
则．
故选：B．
考点一 有理数指数幂与根式的互化
01
下列函数中是指数函数的为（　　）
A．y＝x3 B．y＝（﹣4）x
C．y＝5x+1 D．v＝52x
考点二 指数函数的概念
01
【答案】D
【解答】解：形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数，叫做指数函数，
y＝x3是幂函数，故排除A；
y＝（﹣4）x不是指数函数，故排除B；
y＝5x+1不是指数函数，故排除C；
v＝52x＝（52）x＝25x是指数函数，故选D．
故选：D．
考点二 指数函数的概念
01
已知函数f（x）＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则f（m+n﹣2）＝（　　）
A．2 B．0
C．﹣1 D．﹣2
考点三指数函数的特征及解析式
01
【答案】A
【解答】解：f（﹣2）＝a0+1＝2，所以f（x）过定点（﹣2，2），
∴m＝﹣2，n＝2，
∴f（m+n﹣2）＝f（﹣2）＝a﹣2+2+1＝2．
故选：A．
考点三指数函数的特征及解析式
01
若函数y＝（m2﹣m﹣1） mx是指数函数，则m等于（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1
C．2 D．
考点四由指数函数的解析式求解参数
01
【答案】C
【解答】解：根据题意可得，，得m＝2，
故选：C．
考点四由指数函数的解析式求解参数
01
已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g(x)=f(2x)+的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[，1] D．[，0]
考点五指数函数的定义域
01
【答案】B
【解答】解：∵f（x）的定义域为[﹣2，2]，
∴g（x）需满足，解得﹣1≤x≤0，
∴g（x）的定义域为[﹣1，0]．
故选：B．
考点五指数函数的定义域
01
设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3
C．a＜2 D．a＜2且a≠1
考点六 指数函数的值域
01
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，f（2）＞f（3），
则函数f（x）在R上单调递减，
故0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．
故选：A．
考点六 指数函数的值域
01
已知函数y＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则m+n＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1
C．0 D．2
考点七指数函数图象特征与底数的关系
01
【答案】C
【解答】解：已知函数y＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），
令x+2＝0，解得：x＝﹣2，即m＝﹣2；
当x＝﹣2时，y＝a﹣2+2+1＝2，所以n＝2，
综上可得：m+n＝﹣2+2＝0．
故选：C．
考点七指数函数图象特征与底数的关系
01
已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），则m+n的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0）
C．（0，+∞） D．（0，1）
考点八指数函数及指数型复合函数的图象
01
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），
则1﹣2m＝2n﹣1，即2＝2m+2n≥2=2，当且仅当m＝n时取等号，显然等号无法取得，
则m+n＜0．
故选：A．
考点八指数函数及指数型复合函数的图象
01
若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
考点九指数函数的单调性与最值
01
【答案】D
【解答】解：由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，+∞）上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．
所以b＞a＞c．
故选：D．
考点九指数函数的单调性与最值
01
设函数y＝f（x）和y＝f（﹣x），若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”，已知区间[1，2024]为函数y=|()x a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（　　）
A．[，2] B．[()2024，22024]
C．[，22024] D．[()2024，2]
考点十由指数函数的单调性求解参数
01
【答案】A
【解答】解：函数y＝f（x）和y＝f（﹣x），若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”，
函数y=(12)x在R上单调递减，函数y＝2x在R上单调递增，
若区间[1，2024]为函数y=|()x a|的“稳定区间”，
则函数y=|()x a|与函数y＝f（﹣x）＝|2x﹣a|在区间[1，2024]上同增或者同减，
考点十由指数函数的单调性求解参数
01
①若两函数在区间[1，2024]上单调递增，则在区间[1，2024]上恒成立，
可得，解得≤a≤2；
②若两函数在区间[1，2024]上单调递减，则在区间[1，2024]上恒成立，
即，无解，
综上所述；a的范围为{a|≤a≤2}．
故选：A．
考点十由指数函数的单调性求解参数
01
已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．记集合A为f（x）的定义域．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当x∈A时，求函数g(x)=()x2+2x的值域
考点十一求指数函数及指数型复合函数的最值
01
【答案】（1）函数f（x）为奇函数，由题意知，解得﹣1＜x＜1，A＝{x|﹣1＜x＜1}，
因为f(x)=ln(1 x) ln(1+x)=ln(1 x1+x)，
且f( x)=ln()=ln() 1= ln= f(x)，
所以函数f（x）为奇函数；
（2）(18， 2)．
考点十一求指数函数及指数型复合函数的最值
01
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
由题意知，解得﹣1＜x＜1，A＝{x|﹣1＜x＜1}，
因为f(x)=ln(1 x) ln(1+x)=ln(1 x1+x)，
且f( x)=ln()=ln() 1= ln= f(x)，
所以函数f（x）为奇函数；
（2）因为t＝x2+2x的图象开口向上，对称轴x＝﹣1，
可知t＝x2+2x在（﹣1，1）内单调递增，
考点十一求指数函数及指数型复合函数的最值
01
又因为y=()t在定义域上单调递减，
可知函数g(x)=()x2+2x在（﹣1，1）内单调递减，
且g（﹣1）＝2，g(1)=，即＜g(x)＜2，
所以函数g(x)=()x2+2x的值域是(， 2)．
考点十一求指数函数及指数型复合函数的最值
01
为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
考点十二指数函数的实际应用
01
【答案】A
【解答】解：因为加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），且“3”通过加密后得到密文“2”，
所以a3＝2，
若接收方接到密文“，
则ax=，
所以ax==2 6=（a3）﹣6＝a﹣18，
考点十二指数函数的实际应用
01
所以x＝﹣18，
即若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是﹣18．
故选：A．
考点十二指数函数的实际应用
01
已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），g（x）＝﹣x2+2x+2，设函数F（x）＝min{f（x），g（x）}，（min{p，q}表示p，q中的较小值），若F（x）＜2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（0，1）或（1，2）
C．（1，） D．（0，1）或（1，）
考点十三指数函数综合题
01
【答案】D
【解答】解：由题意，0＜a＜1时，F（x）＜2恒成立，
a＞1时，令﹣x2+2x+2＝2，可得x＝2，
利用指数函数，∵F（x）＜2恒成立，
∴可得a2＜2，
∴a＜，
∴1＜a＜，
综上，a的取值范围（0，1）或（1， ）．
故选：D．
考点十三指数函数综合题
01

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