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(共30张PPT)
高中数学
同步复习
4.7 数学建模活动：
生长规律的描述
01
知识剖析
数学建模
1.数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解决实际问题的重要手段就是数学建模.数学建模是一个重要的核心素养.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为:发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
壹
数学建模
2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用;加深对数学内容的理解;学会交流与合作;提升应用能力，增强创新意识和科学精神.
壹
02
综合训练
根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为y=500+104 λ (λ∈R)．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（　　）
（参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609）
A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：由题意可知，当t＝0时，y＝2000，
即2000＝500+104λ，解得104λ＝1500，因此y=500+1500，
由y≤1000，得500+1500≤1000，解得≤1/3，
两边同时取对数得，ln≤ln 1/3，
即≤-ln3，
所以t≥9ln3≈9×1.099＝9.891，
所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟．
根据实际问题选择函数类型
01
2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为v=2ln(1+)．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（　　）
（参考数值为ln2≈0.69，ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t＝1000kg）
A．243.69t B．244.69t C．755.44t D．890.23t
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：由题意知，m＝3100kg，v＝11km/s，
所以11＝2ln（1+），即ln（1+）＝5.5≈ln244.69，
所以1+≈244.69，即M≈755439kg≈755.44t．
根据实际问题选择函数类型
01
自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)=N0 ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N（t）为t时刻的种群个体数量．当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若N（4）＝150，则N（10）＝（　　）
A．300 B．450 C．600 D．750
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：因为当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，
所以2N0=N0 e3r，
所以e3r＝2，
若N（4）＝150，则N0 e4r=150，
所以N（10）=N0 e10r=N0 e4r (e3r )2=150×22＝600．
根据实际问题选择函数类型
01
按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.03+λ（λ∈R）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（　　）（参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）
A．1 B．3 C．5 D．10
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：当t＝0时，则y=0.03+λ=0.03+λ＝0.18，解得λ＝0.15，所以y=0.03+0.15λ；
令y=0.03+0.15λ≤0.15，即λ≤4/5，
两边取对数，得≤ln 4/5=2ln2-ln5≈1.386-1.609=-0.223，
所以t≥2.23，故所需时间t（单位：分钟）的最小整数值为3．
根据实际问题选择函数类型
01
某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053）
A．2033年
B．2032年
C．2031年
D．2030年
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：设2022年起第n年投入的研发资金为
250×（1+0.13）n﹣1（2022年为第一年），
由250×1.13n﹣1＞800，得1.13n﹣1＞16/5，
两边取常用对数得n﹣1＞log1.13==≈≈9.43，
所以n＞10.43，即n≥11，
所以2032年第一次研发资金超过800．
根据实际问题选择函数类型
01
花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面hm，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a1m，将镜子后移am，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a2m．此时可求出楼的高度为（　　）m．
A． B．C．+h D．+h
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：设所求楼高为x，
由三角形相似可得=，
整理可得x=．
根据实际问题选择函数类型
01
乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为2cm，盘口正六边形边长为6cm，侧棱长为5cm．如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，则共需要涂料约为（　　）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：√3≈1.73，√21≈4.58）
A．241g B．602g C．702g D．718g
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：盘子侧面等腰梯形的高为h'=(2)=√(25-4)=√21(cm)，
底面面积为6×√×22=6√3(cm2)，
侧面六个等腰梯形的面积之和为6××(2+6)×√21=24√21(cm^2)，
所以每个盘子需要刷涂料的面积(6√3+24√21)×2≈（6×1.73+24×4.58）×2＝240.6（cm2），
所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料240.6×0.05×50＝602（g）．
根据实际问题选择函数类型
01
某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长20%．若第n（n∈N+）年投入的研发经费首次超过20万元，则n＝（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．4
B．5
C．7
D．8
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：依题意可得第n（n∈N+）年投入的研发经费为10（1+20%）n﹣1万元，
令10（1+20%）n﹣1＞20，即1.2n﹣1＞2，
所以n﹣1＞log1.22===≈3.810，
所以n＞4.810，又n∈N+，
所以n的最小值为5，
即第5年投入的研发经费首次超过20万元．
根据实际问题选择函数类型
01
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1（℃），空气的温度是T0（℃）以经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式T＝T0+（T1﹣T0）e﹣0.25t求得．把温度是130℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于（　　）（参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693）
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：由题意可得T1＝130，T0＝10，T＝50，
代入T＝T0+（T1﹣T0）e﹣0.25t可得：50＝10+（130﹣10）e﹣0.25t，
即e-0.25t=1/3，
所以-0.25t=ln =-ln3≈-1.099，解得t≈4.40，
根据实际问题选择函数类型
01
《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系式为P=P0 e-kt（k，P0均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（　　）
A．1/2小时 B．5/9小时 C．5小时 D．10小时
根据实际问题选择函数类型
01
某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r（r＞0）、劳累程度T（0＜T＜1）有关，并建立了数学模型E＝10﹣10T 2﹣0.14r，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的（　　）
A．2﹣2.8倍 B．21.4倍 C．22.8倍 D．25.6倍
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：设李老师现在的劳累程度是T1，工作10年时的劳累程度是T2，
依题意，10-10T1 2-0.14×20=10-10T2 2-0.14×10，所以=21.4．
根据实际问题选择函数类型
01
把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足等式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，其中k为常数．现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 ( )℃　 ．
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：易知42＝22+（62﹣22） e﹣2k，e﹣2k=，
所以22+(42-22) e﹣4k=22+20 （e﹣2k）2=22+20×=27°C，
所以再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到27℃．
根据实际问题选择函数类型
01
某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第n（n∈N+）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是（　 ）．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
根据实际问题选择函数类型
01
【解答】解：由题意可得第n个月的投入是以20为首项，1.2为公比的等比数列，
所以20×（1+20%）n﹣1≥40，
即1.2n﹣1≥2，
所以（n﹣1）lg1.2≥lg2，
所以n-1≥==≈3.810，
所以n≥4.810．
因为n∈N+，所以n的最小值为5．
根据实际问题选择函数类型
01

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