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高中数学
同步复习
6.1 平面向量及其线性运算
01
知识剖析
向量的概念及表示
1
定义
既有大小又有方向的量叫做向量.
01
向量的概念及表示
2
表示
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段 表示,记作向量 .有向线段的长度 表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量 的大小称为向量的长度(或称模),记作 .
②字母表示:书写时用 表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以 为起点,以 为终点的向量记作 .
01
向量的概念及表示
3
两个特殊向量
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为 ,长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
01
向量间的关系
1
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量 平行，记作 .规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量 ，都有 .
01
向量间的关系
2
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量 与 相等，记作 .
01
向量的线性运算
1
向量的加法
三角形法则：已知非零向量 ，在平面内任取一点 ，作 ，再作向量 ，则向量 叫做 与 的和，记作
01
向量的线性运算
1
向量的加法
平行四边形法则：已知不共线的两个向量 ，在平面内任取一点 ，以同一点 为起点的两个已知向量 ，以 为邻边作 ，则 就是 与 的和，
规定：零向量与任意向量 的和，都有
运算律：①交换律： ；②结合律：
01
相反向量
1
定义
与向量 长度相等、方向相反的向量,叫做 的相反向量，记作 ， 与 互为相反向量，
01
相反向量
2
性质
① ；②若 互为相反向量，则 ；
③ 的相反向量是
01
向量的减法
1
向量的减法的定义
向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 ，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
01
向量的减法
2
运算法则
在平面内取一点O,作 ，则 .
01
向量的减法
3
几何意义
表示从向量 的终点指向 的终点的向量.
01
向量的减法
4
向量减法的两个重要结论
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量 等于它的终点相对于点 的位置向量 减去它的始点相对于点 的位置向量 或简记“终点向量减去始点向量”.
01
向量的数乘运算
1
定义
规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ，它的长度和方向规定如下:
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
01
向量的数乘运算
2
运算律
设 为任意实数，则有① ；② ；③
特别地，有 .
01
向量的数乘运算
3
向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 以及任意实数 恒有 .
01
02
综合训练
以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
D
平面向量的概念与几何表示
01
解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
在下列判断中，正确的是（　　）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
D
平面向量中的零向量与单位向量
01
解：对于①，长度为0的向量都是零向量，①正确；
对于②，零向量的方向是任意的，②错误；
对于③，单位向量的长度都为1，相等，③正确；
对于④，单位向量的方向不一定相同，④错误；
对于⑤，零向量的方向是任意的，
∴任意向量与零向量都共线，⑤正确．
综上，正确的命题是①③⑤．
如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量 相等的向量有 　3　 个．
平面向量的相等向量
01
解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与 向量相等的向量有 ,,共3个．
故答案为：3．
在四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
B
平面向量的平行向量
01
解：因为，=且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且AB==CD，
所以四边形ABCD是梯形．
在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足=,则= （　　）
A．+ B. C．+ D．
平面向量的加法
01
解：由题意，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足, 则==== 故选D.
D
在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则+=（　　）A． B. C． D．
平面向量的减法
解：如图：D为BC的中点，∴+
∴+=
故选D.
D
如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、IⅢ、Ⅳ（不包含边界）．设,且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＜0 D．m＜0，n＞0
平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
解：∵ ,且点P落在第III部分，由两个向量的加法法则和几何意义知，
与 方向相同， 的方向与 的方向相反∴m＞0，n＜0，
故选：B．
D
化简 所得的结果是（ ）
A. B.
C. D.
平面向量的加减混合运算
01
解=.
A
如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则 的最大值是（ ）
A．5
B．8
C．10
D．12
两个平面向量的和或差的模的最值
01
C
两个平面向量的和或差的模的最值
01
解：连接AB，如图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一直径，故O为AB的中点，所以,所以， ＝4×2+2×1＝10，当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，因此 的最大值是10.
△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且,则x2+y2的最小值是（ ）
A.
B.
C.1
D.2
平面向量的数乘与线性运算
01
A
平面向量的数乘与线性运算
01
解：根据题意可知，D是AC的中点，则=2,
∴=x+y=x+2y,
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴x2+y2=(1 2y)2+y2=5y2 4y+1=5(y )2 + ≥，故x2+y2的最小值为15．

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