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高中数学
同步复习
6.2向量基本定理与向量的坐标
01
知识剖析
共线向量定理
1
共线向量定理的内容
向量共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使= .
01
共线向量定理
2
三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点 共线的充要条件是存在唯一实数 ,使得 .
结论2：如图2，设 是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数 使得 .
01
平面向量基本定理
1
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，
有且只有一对实数 ，使 .
01
平面向量基本定理
2
基底
我们把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
01
平面向量基本定理
3
对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一． 是被 唯一确定的数值．
01
平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与 轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量 ，有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对 叫做 向量的坐标.
（4）坐标表示 .
（5）特殊向量的坐标:
01
平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量 则有下表
01
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知 ,
则
平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
(1）条件: ,其中 ；
（2）结论:当且仅当 时,向量 共线.
01
02
综合训练
在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A.=(0，0)， =(1， 2)
B.=(5，7)
C.=(6，10)
D.=(， )
B
平面向量的基底
01
平面向量的基底
01
解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为﹣1×7﹣2×5≠0，所以 =(5，7)不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10﹣5×6＝0，所以 =(6，10)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为2×（ ） ( 3)×=0，所以 =(2， 3)，=(12， 34)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
设平面向量=(sin，1)，,),若{，}不是表示平面内所有向量的一个基底，则tan=( )
A. B. C. D.
B
平面向量的基底
01
解：因为{}不是表示平面内所有向量的一个基底，所以∥,
又=（sin，1），=（cos，），
所以sin=cos，解得tan=
在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A.=（1，1）
B.=（-1，2）
C.=（4,2）
D.=（1，-）
B
平面向量的基底
01
平面向量的基底
01
解：平面内两个不共线的向量可作为一组基底，
对于A，为零向量，不能作为基底，A错误；
对于B，由于=（2， 4），=（-1,2）得，= 2 ，故∥，不能作为一组基底，B错误；
对于C，由于 2×2 3×4≠0，得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确；
对于D，由=（1， ）得，=2，故∥，不能作为一组基底，D错误.
下列各组向量中：①=(-1,2),=(5,7);②=(3,5),=(6,10);
③=(2,-3),(，） 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
B
平面向量的基底
01
解：对于①,不共线，
对于②，=2，即，共线，
对于③，，不共线，
∴可作为一组基底的是①③．
在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设=,=,则 （ ）
A.+ B.+ C. D.
A
用平面向量的基底表示平面向量
01
解：由已知得==
+=+)
=+=+.
已知=（2，3），则点N位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
D
平面向量的正交分解及坐标表示
01
解： =（2，3），M点不确定，
则点N的位置不确定，
故选：D．
已知=（2，3），则点N位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
D
平面向量加减法的坐标运算
01
解： =（2，3），M点不确定，
则点N的位置不确定，
故选：D．
已知=（1，sin），=（cos，其中∈R，则| |的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
B
平面向量加减法的坐标运算
01
解：向量=（1，sin），=（cos，其中∈R， =（1 cos，sin ），
∴| |=
=
=，
则当）=-1时，|-|取最大值是3.
已知向量,满足=（0,1）,||=1, |-|=,则 <，>=( )
A.
B.
C.
D.
D
平面向量加减法的坐标运算
01
平面向量加减法的坐标运算
01
解：因为=(0,1),所以||=1，
因为| |=,||=1,所以（ )2=3,
即+ 2.=3,即1+1 2.=3，
解得.= ，
又因为<,>∈[0,π],所以<，>=.
已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则|+|=( )
A. B.2 C.5 D.3
C
平面向量加减法的坐标运算
01
解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以=(3， 4)，+=,则|+|=||==5.
已知=（5, 1），=（m，.若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A. B.-11 C.11 D.
C
平面向量数乘和线性运算的坐标运算
01
解：因为向量=（5,1），=（
所以=+=(m+5,10），
因为A、C、D三点共线，则∥,
=(8,5),
所以5（m+5）=8x10,解得m=11.
已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足=,则点P的坐标是 （　　）
A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11）
C
平面向量数乘和线性运算的坐标运算
01
解：设P（x，y），则(x+2，y 1)，=(6， 6)，
∴由=得：（x+2，y﹣1）＝（3，﹣3），
∴,解得{,
∴P（1，﹣2）．
已知平面向量=(2，x)，=(x+2，4)，则“x＝2”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
平面向量共线（平行）的坐标表示
01
平面向量共线（平行）的坐标表示
01
解：若∥,成立，则x(x+2)-2×4=0,解得x=2或-4，
因此，由“x=2”可以推出“∥”,反之，由“∥”不能推出“x=2”,故“x＝2”是“
”的充分不必要条件.
已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=(1,2).
（1）若||=2,且∥,求的坐标；
（2）若||=，且+与垂直，求与的夹角.
平面向量共线（平行）的坐标表示
01
解：（1）设=（x,y）,
∵||=2,且∥，
∴{,…（3分）
解得{或{,…（5分）
平面向量共线（平行）的坐标表示
01
故=(2,4)或=（-2，-4）．…（6分）
（2）∵（+）⊥(),
∴(+) (=0,
即+ =0,…（8分）
∴2x5+ 2×=0,
整理得 = ,…（10分）
∴cos== 1，…（12分）
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π．…（14分）

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