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高中数学
同步复习
6.1 平面向量线性运算的应用
01
知识剖析
向量线性运算的应用
1
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
01
向量线性运算的应用
1
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
01
02
综合训练
河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．m/s C．m/s D．12 m/s
B
平面向量在物理中的应用
01
根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|===
马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为50N，此时两只胳膊的夹角为60°，试估算小猴子的体重约为（　　）
参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2，≈1.732．
A．9.2kg B．7.5kg C．8.7kg D．6.5kg
C
平面向量在物理中的应用
01
平面向量在物理中的应用
01
作出小猴的受力示意图如图所示，
由题意， ，∠AOB＝60°，
作平行四边形OACB，则OACB是菱形，
则 ，
所以 ，
因此小猴的体重约为 ．
图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为10kg，降落伞自身的重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（　　）（重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N）．
A．1.41N B．1.56N C．16.97N D．17.04N
C
平面向量在物理中的应用
01
平面向量在物理中的应用
01
解：设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件可得，8T cos30°＝mg，
解得 ．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为16.97N．
体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为300N，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为g≈10m/s2，3≈1.732）（　　）
A．52kg B．60kg C．70kg D．102kg
A
平面向量在物理中的应用
01
平面向量在物理中的应用
01
设两只胳膊的拉力分别为 ，且 ，
则 ，
所以学生体重m≈52kg．
已知力 =(5，2)作用于一物体，使物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，则力F对物体所做的功为（　　）
A．9 B．﹣9 C．21 D．﹣21
C
平面向量在物理中的应用
01
由题意，物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，可得 =(3，3)，
因为力 =(5，2)，所以力F对物体所做的功为 ．
一物体在力 =(2，4)和 =( 5，3)的作用下，由点A（1，0）移动到点B（2，4），在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于（　　）
A．25 B．5 C．﹣5 D．﹣25
A
平面向量在物理中的应用
01
∵ ，
，
即两个力的合力对物体所做的功等于25． ．
如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是 ，且 与水平夹角均为45°， ，则物体的重力大小为（　　）
A．20N B．10N C．10N D．5N
A
平面向量在物理中的应用
01
平面向量在物理中的应用
01
解：如图，∵ ，
∴
∵物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，
∴物体的重力大小为20N ．
一物体在力F的作用下，由点A（4，﹣2）移动到点B（5，4）．已知F＝（3，2），则F对该物体所做的功为（　　）
A．﹣15 B．15 C．28 D．﹣28
B
平面向量在物理中的应用
01
解：由A（4，﹣2），B（5，4），
得 =(1，6)，又 =(3，2)，
∴ 对物体做的功 ．
一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（　　）
A．10N B．0N C．5N D．N
C
平面向量在物理中的应用
01
根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
．
弹簧所受的压缩力F与缩短的距离1按胡克定律F＝kl计算，如果10N的力能使得弹簧压缩10cm，那么把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）要做功（　　）
A．0.5J B．5J C．10J D．50J
A
平面向量在物理中的应用
01
∵10N的力能使得弹簧压缩10cm，
∴0.1k＝10，∴k＝100，
因此，把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）要做功为
．
某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　）
A．v B．|v| C．v D．|v|
B
平面向量在物理中的应用
01
解：设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t=，
所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小s＝|v|t＝|v| ．
某物体做斜抛运动，初速度v0的大小为|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度的大小是（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
C
平面向量在物理中的应用
01
解：如图，
该物体在水平方向上的速度大小是|v0| cos60°=10×=5．
两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为（　　）
A．40N B．10N C．20N D．10N
B
平面向量在物理中的应用
01
解：对于两个大小相等的共点力F1，F2，
当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，
由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N，
当它们的夹角为120°时，
由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，
因此合力的大小为10 N．
有一只鹰正沿与水平方向夹角为30°的方向向下飞行，太阳光从鹰的头上直射下来，鹰在地面上影子的速度是12m/s，求鹰飞行速度的大小．
平面向量在物理中的应用
01
解：如图所示， ＝12m/s，且∠CAB＝30°，
则 ．
平面内作用在同一质点O的三个力 处于平衡状态，已知
的夹角是45°，求 的夹角．
平面向量在物理中的应用
01
画出图形：
在三角形OAB中，OA＝1，AB=，∠OAB＝135°
由余弦定理得，OB2＝OA2+AB2﹣2OA*ABcos135°＝4+2
∴由余弦定理得，∠AOB＝30°
∴F1与F3的夹角150°．同理，F2与F3的夹角165°．
重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端挂在半圆形支架上．如图所示，若A端位置固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中．OA绳和OB绳的拉力如何变化？
平面向量在物理中的应用
01
平面向量在物理中的应用
01
解：对结点O受力分析如图：
结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．
故答案为：OA绳受力大小变化情况：变小；OB绳受力大小变化情况是：先变小后变大
一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
平面向量在物理中的应用
01
解：根据题意画出图形，汽车行驶的路程A→C→B．
在三角形ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝120°
∴∠BAC＝30°，AB＝3
故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为3km．
如图中的两个方向，用方位角应表示为60°（图①）与210°　 （图②）．
平面向量在物理中的应用
01
解：由方位角的定义，得①为60°，②为210°，
故答案为：60°，210°．
如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为﹣1.5cm．
平面向量在物理中的应用
01
解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，则
∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，
∴当t＝0时，y达到最大值3．因此，设y＝3cosωt，
∵函数的周期为3s，∴=3，解之得ω=，得函数解析式为y＝3cost，
由此可得，该物体5s时刻的位移为3cos（ 5）＝3cos= 1.5cm
一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是15海里/小时．
平面向量在物理中的应用
01
解：根据题意得：AB＝5海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，
∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝5海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝5×=，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为÷=15海里/小时

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