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高中数学
同步复习
4.5增长速度的比较
01
知识剖析
考点一 平均变化率的概念
对于函数，若取定义域内两个不相等的点x1和x2，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间[x1,x2]（或[x2,x1]）上的平均变化率为
壹
考点二平均变化率的几何意义
函数在区间[x1,x2]上的平均变化率
表示函数图象上过点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))的直线的斜率．
壹
考点三增长速度的比较
1．四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（y=ax,a>1）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。
（3）对数函数模型（y=logax,a>1）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（y=xn,x>0,n>1）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。
壹
考点三增长速度的比较
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间(0,+)上，尽管函数y=ax,a>1，y=logax,a>1和y=xn,x>0,n>1都是增函数，但增长速度不在同一“档次”．
随着x的增大，y=ax,a>1的增长速度越来越快，最终会远超y=xn,x>0,n>1,y=logax,a>1的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个x0，当时，就有．
壹
02
综合训练
下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y= B．y＝x3 C．y＝x2 D．y＝2x
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x，是幂函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于C，y＝x2，是二次函数，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，y＝2x，是指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：C．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
已知函数y＝f（x）在[﹣1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为（　　）
A．[﹣1，0] B．[0，1]
C．[﹣1，2] D．[1，2]
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】B
【解答】解：根据题意，若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，
由图可知：y＝f（x）的单调递增区间为[0，1]．
故选：B．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（　　）
A．(1，) B．（1，2） C．[2，) D．（1，2]
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】D
【解答】解：根据题意，函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，
所以，解得1＜a≤2，
所以a的取值范围是（1，2]．
故选：D．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
已知函数（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（4，+∞）
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】A
【解答】解：因为（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，
所以，解得a≥3．
故选：A．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
如图是函数y＝f（x）的图象，其定义域为[﹣2，+∞），则函数f（x）的单调递减区间是（　　）
A．[﹣1，0）
B．[1，+∞）
C．[﹣1，0），[1，+∞）
D．[﹣1，0）∪[1，+∞）
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】C
【解答】解：由函数单调递减的定义可知对应图象呈下降趋势，根据函数图象可知，f（x）的单调递减区间为[﹣1，0）和[1，+∞）．
故选：C．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x3 C．y= D．y＝x4
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】B
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x+1，是一次函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x3，是幂函数，在定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意；
对于C，y=，是反比例函数，不是增函数，不符合题意；
对于D，y＝x4，是幂函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意．
故选：B．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
如图所示，函数y＝f（x）在下列哪个区间上单调递增（　　）
A．[﹣4，4]
B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]
C．[﹣3，1]
D．[﹣3，4]
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
【答案】C
【解答】解：观察函数图象，在[﹣4，﹣3]、[1，4]上随x的增大，函数y＝f（x）的图象是下降的，
在[﹣3，1]上随x的增大，函数y＝f（x）的图象是上升的，
因此函数y＝f（x）在[﹣4，﹣3]、[1，4]上单调递减，在[﹣3，1]上单调递增，
所以函数y＝f（x）在[﹣3，1]上是增函数．
故选：C．
考点一函数的单调性与函数图象的特征
01
已知a=()3.1，b=，c=lg，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．a＜b＜c
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】A
【解答】解：∵a=()3.1∈(0，1)，b=＞1，c=lg＜0，
∴c＜a＜b．
故选：A．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣e B． C．e D．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，
∴函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，
则f（x）＝lnx，
又∵f（m）＝﹣1
∴lnm＝﹣1，
m=，
故选：D．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
已知x1＝ln，x2=，x3满足=lnx3，则下列各选项正确的是（　　）
A．x1＜x3＜x2
B．x1＜x2＜x3
C．x2＜x1＜x3
D．x3＜x1＜x2
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】B
【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x1＝ln＜ln1＝0；
因为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x2=＜e0＝1；
x3满足=lnx3，
所以x3＞0，所以＞0，
所以lnx3＞0＝ln1，
又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，
所以x3＞1，
综上：x1＜x2＜x3．
故选：B．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1
B．x1x2＝1
C．x1x2＞1
D．x1x2＜0
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】A
【解答】解：∵方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1和x2，由题意知，0＜x1＜1，x2＞1．
根据 y＝2﹣x 是减函数，可得 2 x1＞2 x2，即|lgx1|＞|lgx2|，
∴﹣lgx1＞lgx2，∴1x1＞x2，∴0＜x1x2＜1，
故选：A．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】C
【解答】解：当x＝1时，对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，
故M（1，1），N（1，2），一定不是好点，
当y＝1时，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，
故P（2，1）也一定不是好点，
而Q（2，2）是函数y=与y=的交点；
G（2，0.5）是函数y=与y＝log4x的交点；
故好点有2个，
故选：C．
考点二指数函数与对数函数的关系
01
已知a＝2﹣0.3，b=() 0.2，c=ln，则（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a
考点二指数函数与对数函数的关系
01
【答案】B
【解答】解：因为a＝2﹣0.3∈（0，1），b=() 0.2=30.2＞1，c=ln，＜0，
故c＜a＜b．
故选：B．
考点二指数函数与对数函数的关系
01

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