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高中数学
同步复习
4.4 幂函数
01
知识剖析
考点一 幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．
幂函数的特征
①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“x”；③中是常数
壹
考点二常见幂函数的图象与性质
壹
考点二常见幂函数的图象与性质
壹
考点二常见幂函数的图象与性质
壹
02
综合训练
下列函数是幂函数的是（　　）
A．y= B．y＝2x C．y＝2x2 D．y＝﹣x﹣1
考点一 幂函数的特征及辨识
01
【答案】A
【解答】解：由幂函数的定义，形如y＝xα，α∈R叫幂函数，
对A，y==x 3，故A正确；B，C，D均不符合．
故选：A．
考点一 幂函数的特征及辨识
01
“幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1在（0，+∞）单调递减”是“m＝2”的（　　）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件
考点二求幂函数的解析式
01
【答案】A
【解答】解：若幂函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
则，解得m＝﹣1，
显然m＝﹣1与m＝2无法相互推出，
所以“幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1在（0，+∞）单调递减”是“m＝2”的既不充分也不必要条件．
故选：A．
考点二求幂函数的解析式
01
已知函数f（x）＝（3m﹣2）xm为幂函数，若函数g（x）＝ex﹣1+f（x）﹣7，则g（x）的零点所在区间为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
考点三由幂函数的解析式求解参数
01
【答案】B
【解答】解：因为函数f（x）＝（3m﹣2）xm为幂函数，
所以3m﹣2＝1，即m＝1，f（x）＝x，
若函数g（x）＝ex﹣1+f（x）﹣7＝ex﹣1+x﹣7在R上单调递增，
因为g（2）＝e﹣5＜0，g（3）＝e2﹣4＞0，
则g（x）的零点所在区间为（2，3）．
故选：B．
考点三由幂函数的解析式求解参数
01
已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1的定义域为R，则m＝
（　　）
A．0 B．2 C．3 D．1
考点四求幂函数的定义域
01
【答案】C
【解答】解：函数f（x）为幂函数，则m2﹣3m+1＝1，解得m＝3或m＝0，
当m＝0时，f（x）＝x﹣1的定义域不为R，不符合题意，
当m＝3时，f（x）＝x2的定义域为R，符合题意，
综上，m＝3．
故选：C．
考点四求幂函数的定义域
01
设m∈R，若幂函数y=xm2 2m+1定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
考点五幂函数型复合函数的定义域
01
【答案】C
【解答】解：由题意知m2﹣2m+1＞0，
故m≠1，
因为其图像关于y轴成轴对称，
所以函数为偶函数，
当m＝4时，m2﹣2m+1＝9，不符合题意；
m＝7时，m2﹣2m+1＝36，符合题意；
m＝10时，m2﹣2m+1＝81，不符合题意．
故选：C．
考点五幂函数型复合函数的定义域
01
下列函数值域是（0，+∞）的是（　　）
A．y= B．y＝2x﹣1
C．y= D．y＝x2﹣2x+1
考点六求幂函数的值域
01
【答案】C
【解答】解：对于A，y=值域是[0，+∞），故错；
对于B，y＝2x﹣1值域是R，故错；
对于C，y=值域是（0，+∞），故对；
对于D，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，值域是[0，+∞），故错；
故选：C．
考点六求幂函数的值域
01
幂函数y＝f（x）的图象过点（2，)，则函数y＝x﹣f（x）的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）
C．[，+∞） D．（，+∞）
考点七幂函数型复合函数的值域
01
【答案】C
【解答】解：设f（x）＝xα，
由题意得，f（2）＝2α=，
所以α=，f（x）=，
则y＝x﹣f（x）＝x =（ ）2 ≥．
故选：C．
考点七幂函数型复合函数的值域
01
已知幂函数y=（p∈Z）的图象关于y轴对称，如图所示，则（　　）
A．p为奇数，且p＞0 B．p为奇数，且p＜0
C．p为偶数，且p＞0 D．p为偶数，且p＜0
考点八幂函数图象特征与幂指数的关系
01
【答案】D
【解答】解：因为函数为偶函数，所以为偶数，
且由图象形状判定＜0．
则p为偶数，且p＜0，
故选：D．
考点八幂函数图象特征与幂指数的关系
01
已知命题p：函数f（x）过定点（1，1），命题q：函数f（x）是幂函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点九幂函数及幂函数型复合函数图象过定点
01
【答案】B
【解答】解：若函数f（x）是幂函数，则函数f（x）一定过点（1，1），
当过定点（1，1）时不一定为幂函数，例如直线y﹣1＝k（x﹣1），
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
考点九幂函数及幂函数型复合函数图象过定点
01
若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则它的单调递增区间是
（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0）
C．[0，+∞） D．（0，+∞）
考点十求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
01
【答案】B
【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xa的图象过点（2，），
∴2a=，解得a＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，
∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故选：B．
考点十求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
01
幂函数f（x）＝（m2+3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（　　）
A．4或﹣1 B．﹣1
C．﹣4或1 D．﹣4
考点十一由幂函数的单调性求解参数
01
【答案】C
【解答】解：因为函数f（x）＝（m2+3m﹣3）xm﹣2是幂函数，所以m2+3m﹣3＝1，
解得m＝1或m＝﹣4，
当m＝1时，y＝x﹣1，在区间（0，+∞）是减函数，
当m＝﹣4时，y＝x﹣6，在区间（0，+∞）是减函数．
故选：C．
考点十一由幂函数的单调性求解参数
01
已知幂函数f（x）＝xα的图象过点(5，)，则函数g（x）＝（x﹣3）f（x）在区间[，1]上的最小值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8
考点十二求幂函数及幂函数型复合函数的最值
01
【答案】D
【解答】解：因为幂函数f（x）＝xα的图像过点(5，)，
所以5α=，得α＝﹣1，
所以f(x)=，
则g(x)=(x 3)f(x)=1 显然在区间[，1]上单调递增，
所以所求最小值为g()=1 9= 8．
故选：D．
考点十二求幂函数及幂函数型复合函数的最值
01
已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 ．
考点十三由幂函数的最值求解参数
01
【答案】6．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，
∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函数f（x）为奇函数，且在R上单调递增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6，
实数k的最大值为6，
故答案为：6．
考点十三由幂函数的最值求解参数
01
函数y＝（m﹣1）xm2 m为幂函数，则函数为（　　）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
考点十四求解幂函数的奇偶性
01
【答案】B
【解答】解析：由题意：函数y＝（m﹣1）xm2 m为幂函数．
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
则该函数为y＝x2，是偶函数．
故选：B．
考点十四求解幂函数的奇偶性
01
已知幂函数f（x）＝（m2+3m﹣3）xm+2是偶函数，则实数m＝
（　　）
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣4
考点十五幂函数的奇偶性与函数图象的对称性
01
【答案】D
【解答】解：由f（x）＝（m2+3m﹣3）xm+2是幂函数，得m++3m﹣3＝1，解得m＝﹣4或m＝1，
m＝﹣4时，f（x）＝x﹣2是偶函数，满足题意；
m＝1时，f（x）＝x3不是偶函数，不满足题意；
所以实数m＝﹣4．
故选：D．
考点十五幂函数的奇偶性与函数图象的对称性
01
【答案】D
【解答】解：由f（x）＝（m2+3m﹣3）xm+2是幂函数，得m++3m﹣3＝1，解得m＝﹣4或m＝1，
m＝﹣4时，f（x）＝x﹣2是偶函数，满足题意；
m＝1时，f（x）＝x3不是偶函数，不满足题意；
所以实数m＝﹣4．
故选：D．
考点十五幂函数的奇偶性与函数图象的对称性
01

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