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高中数学
同步复习
4.3 指数函数与对数函数的关系
01
知识剖析
考点一 反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称y=f(x)的反函数．此时，称y=f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(x)中求出y得到．
壹
考点一 反函数
2．反函数的性质
若函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x)，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：y=f(x)的定义域是y=f-1(x)的值域，y=f(x)的值域是y=f-1(x)的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线y=x呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
壹
考点一 反函数
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数y=f(x)，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由y=f(x)变形得到x=f-1(x)，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到y=f-1(x)，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
壹
考点一 反函数
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称。
壹
考点二求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数y=f(x)，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由y=f(x)变形得到y=f-1(x)，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到y=f-1(x)，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
壹
考点三指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称。
壹
02
综合训练
已知a=()3.1，b=3.1，c=lg，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】A
【解答】解：∵a=()3.1∈(0，1)，b=3.1＞1，c=lg＜0，
∴c＜a＜b．
故选：A．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
已知x1＝ln，x2=，x3满足=lnx3，则下列各选项正确的是
（　　）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】B
【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x1＝ln＜ln1＝0；
因为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x2=＜e0＝1；
x3满足=lnx3，
所以x3＞0，所以＞0，
所以lnx3＞0＝ln1，
又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，
所以x3＞1，
综上：x1＜x2＜x3．
故选：B．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
当0＜x≤时，()x＜logax，那么a的取值范围是（　　）
A．(0，) B．(，1) C．（1，4） D．（2，4 ）
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】B
【解答】解：当0＜x≤时，要使()x＜logax恒成立，则需
解得：＜a＜1．
故选：B．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1
C．x1x2＞1 D．x1x2＜0
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】A
【解答】解：∵方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1和x2，由题意知，0＜x1＜1，x2＞1．
根据 y＝2﹣x 是减函数，可得 2 x1＞2 x2，即|lgx1|＞|lgx2|，
∴﹣lgx1＞lgx2，∴＞x2，∴0＜x1x2＜1，
故选：A．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
（多选）已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是
（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b
C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
已知lga+lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx的图象可能是 ．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
【答案】②
【解答】解：∵lga+lgb＝0，
∴lgab＝0，即ab＝1，
①∵g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴①错误．
②由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，满足条件．
③由图象知指数函数单调递减，∴0＜a＜1，此时g（x）单调递减，不满足条件．
④由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，不满足条件．
故答案为：②．
考点一 指数函数与对数函数的关系
01
已知函数f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），则a＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
考点二反函数
01
【答案】D
【解答】解：∵f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），
∴f（x）的图象经过点（﹣1，0），
∴f（﹣1）＝log2（﹣1+a）＝0，解得a＝2．
故选：D．
考点二反函数
01
把函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）的图像，则g（x）的图像与函数y=logx的图像关于（　　）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
考点二反函数
01
【答案】D
【解答】解：函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）g（x）＝（）x，
g（x）的图像与函数y=logx的图像关于y＝x对称．
故选：D．
考点二反函数
01
已知函数y＝f（x）与y＝3x互为反函数，则f()=（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．1
考点二反函数
01
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，以f（x）＝log3x，则f()=log3= 1．
故选：A．
考点二反函数
01
已知函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则f（lg3） f（lg4）＝（　　）
A．lg7 B．10 C．12 D．107
考点二反函数
01
【答案】C
【解答】解：因为函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，
所以函数y＝f（x）与函数y＝lgx互为反函数，
所以f（x）＝10x，所以f（lg3） f（lg4）＝10lg3×10lg4＝3×4＝12，
故选：C．
考点二反函数
01
若函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（1，3），则f（27）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
考点二反函数
01
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数是y＝ax（a＞0，a≠1），
∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（1，3），
∴a1＝3，解得a＝3，
∴原函数为f（x）＝log3x，
∴f(27)=log327=log333=3．
故选：D．
考点二反函数
01

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