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(共30张PPT)
高中数学
同步复习
4.6 函数的应用（二）
01
知识剖析
指数型函数模型
函数y=abx+c(b>0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸.
壹
对数型函数模型
y=mlogax+m(a>0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0).
壹
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
壹
02
综合训练
某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则 =（　　）
A．2
B．1
C．ln2
D．e
指数函数的实际应用
01
【答案】B
【解答】解：由N随t的变化规律是N＝ae﹣bt，
当t＝0时N＝a，若N=，则e﹣bt=，所以﹣bt＝ln=-ln2，解得t=；
若N=，则e﹣bt=，所以﹣bt＝ln=-2ln2，解得t=2；
所以t1=，t2=2-=，
所以 =1．
故选：B．
指数函数的实际应用
01
奶茶温度衰减满足函数关系T＝k bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟
指数函数的实际应用
01
【解答】解：因为T＝k bt+M，其中T为t时的温度，M，k，b为常数，b＞0；
且M＝20，t＝0时，T＝100，t＝10时，T＝80，
所以
解得k＝80，b10=，
所以T＝80 +20，
指数函数的实际应用
01
令T＝80 +20＝50，得=3/8，
所以lg=lg，即（lg3﹣2lg2）＝lg3﹣3lg2，
所以t===35,
所以该奶茶适宜饮用温度为50℃，制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟．
指数函数的实际应用
01
我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍
指数函数的实际应用
01
【解答】解：因为音量η＝10lg ，
所以I＝I0 ，
所以===100，
即40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的100倍．
指数函数的实际应用
01
为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
指数函数的实际应用
01
【解答】解：因为加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），且“3”通过加密后得到密文“2”，
所以a3＝2，
若接收方接到密文“，则ax=，
所以ax==2(-6)=（a3）﹣6＝a﹣18，
所以x＝﹣18，
即若接收方接到密文“1/64，则解密后得到的明文是﹣18．
指数函数的实际应用
01
在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
指数函数的实际应用
01
【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog2()=20，
所以klog21024＝20，解得k===2，
所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log2()=2log24＝2×2＝4．
指数函数的实际应用
01
某种药物在人体内的浓度C（t）（单位：mg/L）随时间t（小时）的衰减规律为：C(t)=C0 e-0.05t，其中C0为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知ln2≈0.693）（　　）
A．12 B．24 C．28 D．36
指数函数的实际应用
01
【解答】解：由题意，令C(t)=，即=C0 e﹣0.05t，则e﹣0.05t=1/4，
化为对数式，可得﹣0.05t＝ln=-2ln2≈﹣1.386，所以t≈27.72≈28．
指数函数的实际应用
01
牛顿冷却定律（Newton’slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为80℃，那么大约再经过（　　）分钟，温度降为35℃．
A．10 B．20 C．30 D．40
指数函数的实际应用
01
【解答】解：由题意知，80＝20+（140﹣20）e﹣10k，解得e﹣10k=1/2；
所以令35＝20+（80﹣20）e﹣kt，解得e﹣kt=1/4，
又因为e﹣20k=，所以t＝20，
即大约再经过20分钟温度降为35℃．
指数函数的实际应用
01
流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标．在疫情初期，感染人数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律近似满足公式I(t)=I0 ert，其中I0为初始感染人数，r为传播率．若某种病毒在疫情初期r＝0.2，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（　　）（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．5天 B．7天 C．9天 D．11天
指数函数的实际应用
01
【解答】解：因为I(t)=I0 ert，r＝0.2，感染人数翻两番（变为原来的4倍），
所以4I0=I0 e0.2t，因为I0＞0，所以4＝e0.2t，所以ln4＝lne0.2t，所以2ln2＝0.2t，
所以t=2=10ln2≈10×0.69=6.9，所以t约为7．
指数函数的实际应用
01
目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为Q（t）＝100（1﹣e﹣0.05t）．现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据ln5≈1.6）（　　）
A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟
指数函数的实际应用
01
【解答】解：由题意知，Q（t）＝100（1﹣e﹣0.05t），
令100（1﹣e﹣0.05t）＝80，得e﹣0.05t=，
所以﹣0.05t＝ln，解得t=≈=32，
所以要使电量达到80%以上，最少的充电时间约为32分钟．
指数函数的实际应用
01
如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象．以下说法中正确的是（　　）
A．a=
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．剩留量为， ，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
指数函数的实际应用
01
【解答】解：因为函数y＝at的图象过点（2，），所以a2=，又因为a＞0，所以a=，选项A正确；
由y=，t＝4时，y==＜，选项B正确；
第一月减少量为1-=，第二月减少量为-=，显然每月减少量不等，选项C错误；
指数函数的实际应用
01
令=， ，
得t1=，t2=，t3=，
所以t1+t2=+===t3，选项D正确．
指数函数的实际应用
01
碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率．考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年．假设某生物死亡时其体内碳14的含量为M0，则此生物的死亡时间t（t≥0，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是
指数函数的实际应用
01
【解答】解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，
那么死亡1年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p），
死亡2年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p）2，
死亡5730年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p）5730，
所以1﹣p=，则M＝M0（1﹣p）t＝M0=
M0．
指数函数的实际应用
01

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