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高中数学
同步复习
5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
01
思维导图
02
知识剖析
考点01 知识对标
壹
用样本估计总体
用样本的频率分布估计总体的分布.
考点02 规律方法
壹
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律,我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.并由此估计总体的分布情况.
03
综合训练
某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h．这里的总体是（　　）
A．该校的所有大学生
B．该校所有大学生的平均每天自习时间
C．所调查的100名大学生
D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间
B
考点01 用样本估计总体
01
【答案】B
【解答】解：由题意可得这里的总体为该校大学生平均每天的自习时间．
故选：B．
考点01 用样本估计总体
01
从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是1000名学生
D．个体指的是1000名学生中的每一名学生
B
考点01 用样本估计总体
01
【答案】B
【解答】解：某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，
对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B，样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C，样本容量指的是1000，故C错误；
对于D，个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D错误．
故选：B．
考点01 用样本估计总体
01
某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　 分．
85
考点02 用样本估计总体的集中趋势参数
01
【答案】85
【解答】解：甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，
算得甲班的平均成绩是90分，
乙班的平均成绩是81分，
该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．
故答案为：85
01
考点02 用样本估计总体的集中趋势参数
平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
A
考点03 平均数
01
【答案】A
【解答】解：根据题意，由数据分布图知，
数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，
数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，
数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，
所以a＜b＜c．
故选：A．
考点03 平均数
01
甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（　　）
A．甲：平均数为3，中位数为2
B．乙：极差为3，众数为3
C．丙：平均数为2，方差为2.4
D．丁：众数为2，方差为2.4
C
考点03 平均数
01
【答案】C
【解答】解：甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．
对于A，甲的5个点数分别是1，1，2，5，6，
平均数为3，中位数为2，故A可出现；
对于B，乙的5个点数分别是3，3，3，3，6，极差为3，众数为3，故B可出现；
对于D，丁的5个点数分别是2，2，2，3，6，众数为2，平均数为3，
其方差为，故D可出现；
对于C，丙的平均数为2，又有点数6，
则方差，
不可能满足C，丙不会出现点数6，故C中一定没有出现点数6．
故选：C．
考点03 平均数
01
小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替．已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则|x﹣y|的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
D
考点04 中位数
01
【答案】D
【解答】解：不妨设x≤y，
当x＝3，y＝4时，1，2，3，3，3，4，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝5时，1，2，3，3，3，4，5，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝3，y＝6时，1，2，3，3，3，4，5，6，6，|x﹣y|＝3；
当x＝1，y＝3时，1，1，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝2，y＝3时，1，2，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝3时，1，2，3，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝0．
故选：D．
考点04 中位数
01
一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
B
考点04 中位数
01
【答案】B
【解答】解：一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，
则众数为2，则中位数为，
所以将数据按照从小到大排列得1，2，2，x，5，7，则，解得x＝4，
则平均数为．
故选：B．
考点04 中位数
01
若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（　　）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
A
考点05 用样本估计总体的离散程度参数
考点05 用样本估计总体的离散程度参数
经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）都为0
B．若，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为6
C．若s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为12
D．若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
C
考点06 方差
【答案】C
【解答】解：方差s2＝0时，说明所有的数据x1，x2，…，xn都相等，但不一定为0，故A错误；
数据x1，x2，…，xn的平均数，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为2×3+1＝7，故B错误；
数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝3，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为22×3＝12，故C正确；
数据x1，x2，…，xn的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故D错误．
故选：C．
考点06 方差
已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
A
考点07 极差
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
考点07 极差
制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标．现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为（　　）
A．50.2 B．50.3 C．50.4 D．50.5
B
考点08 百分位数
【答案】B
【解答】解：由题意可知，数据从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，
因为13×90%＝11.7，
所以该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3．
故选：B．
考点08 百分位数
近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势，某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中b＝3a，则满意度计分的第一四分位数约为（　　）
A．87.5 B．85 C．70 D．62.5
C
考点08 百分位数
【答案】C
【解答】解：因为b＝3a，
所以（5a+0.015+0.035）10＝1，
a＝0.01，b＝0.03；
第一四分位数，即25%分位数，
由频率直方图估计第一四分位数约为70．
故选：C．
考点08 百分位数
已知2017﹣2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的70%分位数是（　　）
A．445 B．479 C．551 D．623
D
考点08 百分位数
【答案】D
【解答】解：2017﹣2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，
这8个数是按照从小到大的顺序排列的，
70%×8＝5.6，
∴这8个数据的70%分位数是第6个数，即623．
故选：D．
考点08 百分位数

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