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6.3 平面向量线性运算的应用
▉一、向量线性运算的应用
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
2.用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
一．平面向量在物理中的应用（共60小题）
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（　　）
A．8m/s B． C． D．10m/s
【答案】B
【解答】解：设水流速度为，船在静水中的速度为，实际行驶速度，
根据题意，可得，，且⊥，
所以，
即小船实际航行的速度大小为．
故选：B．
2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且||＝||，与的夹角为θ，下列结论中正确的是（　　）
A．θ越小越费力，θ越大越省力
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ时，||＝||
D．当θ时，||＝||
【答案】C
【解答】解：根据题意，如图：依次分析选项：
对于A，由于，且||＝||，则有||cos||，又由||为定值，故θ越小越省力，θ越大越费力，A错误；
对于B，θ的取值范围是[0，π），B错误；
对于C，当θ时，有||cos||，变形可得||＝||，C正确；
对于D，当θ时，有||cos||，变形可得||＝||，D错误；
故选：C．
3．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
【答案】C
【解答】解：设A′是河对岸一点，且AA′与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA′方向行驶时船的航程最短，
由，得||4（km/h），选项C正确；
设船头方向与AA′的夹角为θ，则sinθ，即船头方向与水流方向不垂直，选项A错误；
cos，cos（θ）＝﹣sinθ，选项B错误；
该船到达对岸的时间为t60＝34.4（分钟），选项D错误．
故选：C．
4．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
【答案】B
【解答】解：根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|2，
故选：B．
5．已知力作用于一物体，使物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，则力F对物体所做的功为（　　）
A．9 B．﹣9 C．21 D．﹣21
【答案】C
【解答】解：由题意，物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，可得，
因为力，所以力F对物体所做的功为．
故选：C．
6．马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为50N，此时两只胳膊的夹角为60°，试估算小猴子的体重约为（　　）
参考数据：取重力加速度大小为．
A．9.2kg B．7.5kg C．8.7kg D．6.5kg
【答案】C
【解答】解：作出小猴的受力示意图如图所示，
由题意，，∠AOB＝60°，
作平行四边形OACB，则OACB是菱形，
则，，
所以，
因此小猴的体重约为．
故选：C．
7．两个力作用于同一个质点，使该点从点A（20，15）移到点B（7，0），则这两个力的合力对质点所做的功为（　　）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣125
【答案】B
【解答】解：两个力的合力为（5，﹣4），
∵点A（20，15）移到点B（7，0），∴（﹣13，﹣15），
∴W 5×（﹣13）+（﹣4）×（﹣15）＝﹣5，
故选：B．
8．图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为10kg，降落伞自身的重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（　　）（重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N）．
A．1.41N B．1.56N C．16.97N D．17.04N
【答案】C
【解答】解：设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件可得，8T cos30°＝mg，
解得T9.816.97（N）．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为16.97N．
故选：C．
9．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为300N，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为g≈10m/s2，1.732）（　　）
A．52kg B．60kg C．70kg D．102kg
【答案】A
【解答】解：设两只胳膊的拉力分别为，且，
则，
所以学生体重m≈52kg．
故选：A．
10．一物体在力和的作用下，由点A（1，0）移动到点B（2，4），在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于（　　）
A．25 B．5 C．﹣5 D．﹣25
【答案】A
【解答】解：∵，，
，
即两个力的合力对物体所做的功等于25．
故选：A．
11．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为（　　）
A．20N B． C．10N D．
【答案】A
【解答】解：如图，∵，
∴||＝1020N，
∵物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，
∴物体的重力大小为20N，
故选：A．
12．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
【答案】B
【解答】解：∵两个力，的夹角为，
∴，
∵它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，
∴，解得．
故选：B．
13．一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为（　　）
A．6N B．2N C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，，
所以，
故2，
又F1，F2成90°角，则，＝0，
则2 +4 ＝20，
则F3的大小为2N，
故选：C．
14．一物体在力F的作用下，由点A（4，﹣2）移动到点B（5，4）．已知F＝（3，2），则F对该物体所做的功为（　　）
A．﹣15 B．15 C．28 D．﹣28
【答案】B
【解答】解：由A（4，﹣2），B（5，4），
得，又，
∴对物体做的功W（3，2） （1，6）＝3×1+2×6＝15．
故选：B．
15．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（　　）
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】A
【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于α＝60°，∴的大小为|| sin60°＝10．
故选：A．
16．若同一平面内的三个力，，作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态．已知||＝3，||＝4，且与的夹角为120°，则力的大小为（　　）
A．37 B． C．13 D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，，
所以（），
所以||2（）232+2×3×4×cos120°+42＝13，
所以||，
即力的大小为．
故选：D．
17．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为60°，则力做的功为（　　）
A．1000J B．1000J C．2000J D．500J
【答案】A
【解答】解：∵||＝50N且小车的位移方向的夹角为60°，
又作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，
则做的功为W|| ||cos60°＝501000J，
故选：A．
18．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为（　　）
A． B．0N C． D．
【答案】C
【解答】解：根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F5N，
故选：C．
19．一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成90°角，且的大小分别为2N和4N，则的大小为（　　）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【解答】解：根据题意，三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，则有F1+F2＝﹣F3，
进而可得|F1+F2|＝|F3|，
F1，F2成90°角，则F1 F2＝0，
故|F3|2，
故选：B．
20．弹簧所受的压缩力F与缩短的距离1按胡克定律F＝kl计算，如果10N的力能使得弹簧压缩10cm，那么把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）要做功（　　）
A．0.5J B．5J C．10J D．50J
【答案】A
【解答】解：∵10N的力能使得弹簧压缩10cm，
∴0.1k＝10，∴k＝100，
因此，把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）要做功为W0.5．
故选：A．
21．已知，，，其中为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2），则这三个合力所做的功为（　　）
A．14 B． C．﹣14 D．
【答案】A
【解答】解：∵，，，
∴
即合力坐标为（2，1，7）
当物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2）时，
平移向量（2，3，1）
故三个合力所做的功W （2，1，7） （2，3，1）＝4+3+7＝14
故选：A．
22．空间作用在同一点的三个力两两夹角为60°，大小分别为，设它们的合力为，则（　　）
A．，且与夹角余弦为
B．，且与夹角余弦为
C．，且与夹角余弦为
D．，且与夹角余弦为
【答案】C
【解答】解：设向量，，
以OA、OB、OC为过同一个顶点的三条棱，
作平行六面体OBGC﹣ADEF，如图所示
则可得向量
以平面OBGC为xoy平面，O为原点，
OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示
可得O（0，0，0），B（，1，0），C（0，3，0）
设A（x，y，z），可得，解之得x，y，z．
∴（，，），
结合（，1，0），C（0，3，0），可得（，，）
∴||5
设与1所成的角为θ，可得cosθ
即与1所成角的余弦之值为
故选：C．
23．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】D
【解答】解：为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））＝（1，2）．
故选：D．
24．某人在静水中游泳时，速度为4km/h．如果水流的速度为4km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（　　）
A．90° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【解答】解：如图，用表示水速，表示某人径直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC，
于是tan∠AOC，
所以∠AOC＝60°，
故他实际前进的方向与河岸的夹角为60°．
故选：D．
25．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶驶的速度为（　　）
A．v1﹣v2 B．v1+v2 C．|v1|﹣|v2| D．
【答案】A
【解答】解：∵人骑自行车的速度是v1，风速为v2，
∴逆风行驶的速度为：v1﹣v2，
故选：A．
26．某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　）
A．v B．|v| C．v D．|v|
【答案】B
【解答】解：设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t，
所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小s＝|v|t＝|v|．
故选：B．
27．某物体做斜抛运动，初速度v0的大小为|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度的大小是（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
【答案】C
【解答】解：如图，
该物体在水平方向上的速度大小是．
故选：C．
28．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为（　　）
A．40N B．10N C．20N D．N
【答案】B
【解答】解：对于两个大小相等的共点力F1，F2，
当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，
由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N，
当它们的夹角为120°时，
由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，
因此合力的大小为10 N．
故选：B．
29．已知力F1＝i+2j+3k，F2＝﹣2i+3j﹣k，F3＝3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解答】解析：∵F＝F1+F2+F3＝（1，2，3）+（﹣2，3，﹣1）+（3，﹣4，5）＝（2，1，7），
（2，3，1），
∴F （2，1，7） （2，3，1）＝4+3+7＝14．
故选：C．
（多选）30．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．θ越小越费力，θ越大越省力
C．当时，||＝||
D．θ的范围为[0，π]
【答案】AC
【解答】解：因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确；
根据向量加法的平行四边形法则θ越小越省力，θ越大越费力，故B错误；
当时，，又AB＝AD，所以ΔABD为等边三角形，即，故C正确；
若θ＝π，则，与矛盾，所以θ≠π，故D错误．
故选：AC．
（多选）31．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ，下列结论中正确的是（　　）
A．θ越小越省力，θ越大越费力
B．的最小值为
C．当时，
D．当时，
【答案】AC
【解答】解：对于A，依题意得，，又，
∴，
解得，由函数y＝cosθ在θ∈（0，π）时单调递减，
得θ越小越省力，θ越大越费力，故A正确；
对于B，由余弦函数的值域可得，0＜1+cosθ＜2，
则，即，故B错误；
对于C，当时，2（1+cosθ）＝1，
由，得，因此，故C正确；
对于D，当时，cosθ＝0，
由，得，因此，故D错误．
故选：AC．
（多选）32．一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（　　）
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4N
D．当|F2|＝2N时，3N≤|F1+F2+G|≤7N
【答案】ACD
【解答】解：对于A，当该物体处于平衡状态时，|F2|＝|F1+G|5（N），选项A正确；
对于B，当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为2（N），选项B错误；
对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且|F2|＝4N，选项C正确；
对于D，当|F2|＝2N时，因为F1与G的合力大小为|F1+G|＝5N，所以3N≤|F1+F2+G|≤7N，选项D正确．
故选：ACD．
33．物体在力的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知，力对该物体所做功的大小为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意得，所以F对物体做的功．
故答案为：1．
34．一条河宽为8000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为 　　 h．
【答案】．
【解答】解：如图，
则，，，
∴．
∴所需时间 （h）．
∴该船到达B处所需的时间为h．
故答案为：．
35．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下四个结论中：
①|F1|的最小值为；
②当时，；
③当时，|F1|＝|G|；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 　①②③　 ．
【答案】①②③．
【解答】解：画出受力分析，如图所示：
对于①，当身体处于平衡状态时，|F1|＝|F2||G|，所以①正确；
对于②，当θ时，|F1|＝|F2|＝|G|cos|G|，所以②正确；
对于③，当θ时，|F1|＝|F2|＝|G|，所以③正确；
对于④，由受力分析图知，当θ越大时越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
36．高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设，，
则xsin45°＝ysin30°，
可得．
故答案为：．
37．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为 　5　 N．
【答案】5．
【解答】解：根据题意，设合力为F，则F＝f1+f2，
又由f1，f2相互垂直，则f1 f2＝0，
则|F|5，
故答案为：5．
38．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，则G的大小为 　160N ，F2的大小为 　　 ．
【答案】160N；
【解答】解：根据题意，，如图所示：
∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，
∴，
∴G的大小为160N，F2的大小为80N．
故答案为：．
39．一物体在力（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于　﹣40　 ．
【答案】﹣40
【解答】解：∵（3，1），
∴合力（8，﹣8），
（﹣1，4）
则1×8﹣8×4＝﹣40，
即三个力的合力所做的功等于为﹣40；
故答案为：﹣40
40．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是　15　 海里/小时．
【答案】15
【解答】解：根据题意得：AB＝5海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，
∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝5海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝5，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为10海里/小时
故答案为：15．
41．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为　﹣1.5　 cm．
【答案】﹣1.5
【解答】解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，则
∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，
∴当t＝0时，y达到最大值3．因此，设y＝3cosωt，
∵函数的周期为3s，∴3，解之得ω，得函数解析式为y＝3cost，
由此可得，该物体5s时刻的位移为3cos（ 5）＝31.5cm
故答案为：﹣1.5
42．坐标平面上质点沿方向前进，现希望在此平面上设置一直线l，使质点碰到直线l时，依据光学原理（入射角等于反射角）反射，并经反射后沿方向前进，则直线l的其中一个方向向量　（1，﹣3）（答案不唯一）　 ．
【答案】（1，﹣3）（答案不唯一）
【解答】解：质点沿方向前进，所在直线的斜率为2
经反射后沿方向前进，所在直线的斜率为
设直线l的斜率为k
则根据光学原理（入射角等于反射角）
则解得：k＝﹣3
∴直线l的其中一个方向向量（1，﹣3）（答案不唯一）
故答案为：（1，﹣3）（答案不唯一）
43．一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 　　 J．
【答案】．
【解答】解：以三个力的作用点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，
由已知可得，，，
所以，
又位移，
所以，
故这三个力的合力所做的功为．
故答案是：．
44．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小套P、Q，P、Q用轻线相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，重力可以忽略不计，
设Q受轻线的拉力为，由于受力平衡，只能是轻线与OA杆垂直，即轻线与OB的夹角为，
故，即轻线上的拉力的大小为．
故答案为：．
45．一个重20N的物体从倾斜角为30°，长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是　10J ．
【答案】10J
【解答】解：如图所示，该物体受到的下滑力是重力G沿斜面向下的分力
设这个力为F，则F与重力G夹角为90°﹣30°＝60°
∴该物体从1m的光滑斜面下滑到底端，重力做的功为
W || || cos60＝20×1×cos60°＝10J．
故答案为：10J．
46．如图，在平滑的固定木板上有A，B，C三个洞，取三条绳子系于一点O，穿过洞各挂一只玩具，且呈现平衡状态．已知挂在A，B，C洞下方的猴子玩具的质量分别为mA，mB，mC，若∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，mA＝2，则mC＝　　 ；若mA1，mB＝2，mC，则∠AOB＝　150°　 ．
【答案】；150°．
【解答】解：如图，四边形OBDC是平行四边形，，，∠ODC＝30°，∴，
∴．
在△COD中，OC，，CD＝2，
∴由余弦定理得：，且∠COD∈（0°，180°），
∴∠COD＝30°，∠AOB＝150°．
故答案为：；150°．
47．如图中的两个方向，用方位角应表示为 　60°　 （图①）与 　210°　 （图②）．
【答案】60°；210°
【解答】解：由方位角的定义，得①为60°，②为210°，
故答案为：60°，210°．
48．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为　10　 N．
【答案】10．
【解答】解：∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，如图所示，
且||＝||，所以△AOC、△COB是等边三角形，
所以||＝||＝||＝10，
即每根绳子的拉力大小是10N．
故答案为：10．
49．家有重物，爸、妈、孩子三人合力拉抬，用力依次为，，，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面．
（1）求物重；
（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角．
【答案】（1）5；（2）．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴物重为5；
（2）设所求角为θ，则，则孩子用力方向与竖直方向所成的角为．
50．如图所示，有两条相交成60°的直线xx′、yy′，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30km，乙离O点10km，后来两车均以60km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）t小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲、乙两车最初的位置为A、B，
则||2+||2﹣2||||cos60°＝700．
故km＝10km．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则．
当时，（30﹣60t）2+（10+60t）2﹣2（30﹣60t）（10+60t）cos60°；
当时，（60t﹣30）2+（10+60t）2﹣2（60t﹣30）（10+60t）cos120°．
上面两式可统一为10800t2﹣3600t+700，
即10km．
（3）因为10，
故当t，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20km．
51．如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB＝20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：设木板对球的支持力为，则，
设绳子的拉力为 ．
又AC＝20cosα，AD，
由动力矩等于阻力矩得20cosα，
∴
12，
∴当且仅当 cosα＝1﹣coaα 即cosα，亦即 α＝60°时， 有最小值12N．
52．一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为东偏北30°；|F3|＝6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，建立直角坐标系．
则由已知可得（1，），（2，2），（﹣3，3）．
∴（22，42）．
又位移（4，4）．
∴ （22）×4（42）×424（J）．
53．一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意画出图形，汽车行驶的路程A→C→B．
在三角形ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝120°
∴∠BAC＝30°，AB＝3
故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为km．
54．重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端挂在半圆形支架上．如图所示，若A端位置固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中．OA绳和OB绳的拉力如何变化？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：对结点O受力分析如图：
结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．
故答案为：OA绳受力大小变化情况：变小；OB绳受力大小变化情况是：先变小后变大
55．平面内作用在同一质点O的三个力、处于平衡状态，已知的夹角是45°，求的夹角．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画出图形：
在三角形OAB中，OA＝1，AB，∠OAB＝135°
由余弦定理得，OB2＝OA2+AB2﹣2OA*ABcos135°＝4+2
∴由余弦定理得，∠AOB＝30°
∴F1与F3的夹角150°．同理，F2与F3的夹角165°．
56．如图，有一端B固定的细绳BOA，在与水平面成30°角的OA方向上作用着一个大小为100N的力，此时BO呈水平状，而点O所吊的砝码静止．求这个砝码的质量．作用在OB方向上的力有多大？（g＝10N/kg）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意做出受力分析如图：
力与力在水平方向上的分力是一对平衡力．
所以．
物体的重力与竖直方向上的分力是一对平衡力，
所以，故砝码质量为5kg．
57．如图所示，质量a＝2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为 ，g＝10m/s2，根据以上条件，求：
（1）t＝10s时刻物体的位置坐标；
（2）t＝10s时刻物体的速度和加速度的大小和方向．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为物体运动过程中的坐标与时间的关系为 ，
所以在x轴方向上，x＝3.0t＝3.0×10＝30（m），
在y轴方向上，y＝0.2t2＝0.2×102＝20（m），
所以，物体在t＝10s时刻的位置坐标是（30m，20m）；
（2）在x轴方向上，x＝3.0t（m），
在y轴方向上，y＝0.2t2（m），
又物体在这两个方向上的运动学公式为
x轴方向上，x＝v0t，
在y轴方向上，yat2，
所以，，
解得v0＝3.0m/s，a＝0.4m/s2；
所以，t＝10s时，vy＝0.4×10＝4m/s，
v5m/s；
所以，物体在t＝10s时刻的速度为5m/s，
加速度的大小是0.4m/s2，
方向是y轴正方向．
58．已知两个力（单位：牛）与的夹角为60°，其中（2，0），某质点在这两个力的共同作用下，由静止从点A（1，1）移动到点B（3，3）（单位：米）．
（1）求；
（2）求与的合力对质点所做的功．
【答案】（1）．
（2）12+4．
【解答】解：（1）如图所示，因为，可得 ，令，
因为两个力与的夹角为60°，点A（1，1）移动到点B（3，3），可得，
则，可得（2，0）+（tcos60°，tsin60°）＝m（2，2），
所以，可得，解得，
所以．
（2）与的合力对质点所做的功为：
（3，3） （2，2）＝12+4．
59．如图，质点A受到力和的作用，已知||＝4N，与正东方向的夹角为30°，||＝4N，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：
（1）；
（2）．
【答案】（1）的大小为，方向为东偏南15°，
（2）的大小为，方向为东偏北75°．
【解答】解：由题意知：向量，
且|AF1|＝|AF2|＝4，
根据平行四边形法则可知，四边形AF1FF2为正方形，
（1）所以||4，
且∠FAB＝45°﹣30°＝15°，即的方向为东偏南15°，
（2）||＝||4，
∠F1MB＝30°+45°＝75°，即的方向为东偏北75°．
60．有一只鹰正沿与水平方向夹角为30°的方向向下飞行，太阳光从鹰的头上直射下来，鹰在地面上影子的速度是12m/s，求鹰飞行速度的大小．
【答案】8m/s．
【解答】解：如图所示，||＝12m/s，且∠CAB＝30°，
则||8m/s．6.3 平面向量线性运算的应用
▉一、向量线性运算的应用
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
2.用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
一．平面向量在物理中的应用（共60小题）
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（　　）
A．8m/s B． C． D．10m/s
2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且||＝||，与的夹角为θ，下列结论中正确的是（　　）
A．θ越小越费力，θ越大越省力
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ时，||＝||
D．当θ时，||＝||
3．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
4．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
5．已知力作用于一物体，使物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，则力F对物体所做的功为（　　）
A．9 B．﹣9 C．21 D．﹣21
6．马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为50N，此时两只胳膊的夹角为60°，试估算小猴子的体重约为（　　）
参考数据：取重力加速度大小为．
A．9.2kg B．7.5kg C．8.7kg D．6.5kg
7．两个力作用于同一个质点，使该点从点A（20，15）移到点B（7，0），则这两个力的合力对质点所做的功为（　　）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣125
8．图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为10kg，降落伞自身的重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（　　）（重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N）．
A．1.41N B．1.56N C．16.97N D．17.04N
9．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为300N，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为g≈10m/s2，1.732）（　　）
A．52kg B．60kg C．70kg D．102kg
10．一物体在力和的作用下，由点A（1，0）移动到点B（2，4），在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于（　　）
A．25 B．5 C．﹣5 D．﹣25
11．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为（　　）
A．20N B． C．10N D．
12．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
13．一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为（　　）
A．6N B．2N C． D．
14．一物体在力F的作用下，由点A（4，﹣2）移动到点B（5，4）．已知F＝（3，2），则F对该物体所做的功为（　　）
A．﹣15 B．15 C．28 D．﹣28
15．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（　　）
A．N B．5N C．10N D．N
16．若同一平面内的三个力，，作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态．已知||＝3，||＝4，且与的夹角为120°，则力的大小为（　　）
A．37 B． C．13 D．
17．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为60°，则力做的功为（　　）
A．1000J B．1000J C．2000J D．500J
18．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为（　　）
A． B．0N C． D．
19．一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成90°角，且的大小分别为2N和4N，则的大小为（　　）
A．2 B． C． D．6
20．弹簧所受的压缩力F与缩短的距离1按胡克定律F＝kl计算，如果10N的力能使得弹簧压缩10cm，那么把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）要做功（　　）
A．0.5J B．5J C．10J D．50J
21．已知，，，其中为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2），则这三个合力所做的功为（　　）
A．14 B． C．﹣14 D．
22．空间作用在同一点的三个力两两夹角为60°，大小分别为，设它们的合力为，则（　　）
A．，且与夹角余弦为
B．，且与夹角余弦为
C．，且与夹角余弦为
D．，且与夹角余弦为
23．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
24．某人在静水中游泳时，速度为4km/h．如果水流的速度为4km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（　　）
A．90° B．30° C．45° D．60°
25．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶驶的速度为（　　）
A．v1﹣v2 B．v1+v2 C．|v1|﹣|v2| D．
26．某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　）
A．v B．|v| C．v D．|v|
27．某物体做斜抛运动，初速度v0的大小为|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度的大小是（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
28．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为（　　）
A．40N B．10N C．20N D．N
29．已知力F1＝i+2j+3k，F2＝﹣2i+3j﹣k，F3＝3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
（多选）30．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．θ越小越费力，θ越大越省力
C．当时，||＝||
D．θ的范围为[0，π]
（多选）31．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ，下列结论中正确的是（　　）
A．θ越小越省力，θ越大越费力
B．的最小值为
C．当时，
D．当时，
（多选）32．一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（　　）
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4N
D．当|F2|＝2N时，3N≤|F1+F2+G|≤7N
33．物体在力的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知，力对该物体所做功的大小为 　 　 ．
34．一条河宽为8000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为 　 　 h．
35．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下四个结论中：
①|F1|的最小值为；
②当时，；
③当时，|F1|＝|G|；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 　 　 ．
36．高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 　 　 ．
37．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为 　 　 N．
38．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，则G的大小为 　 　 ，F2的大小为 　 　 ．
39．一物体在力（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于　 　 ．
40．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是　 　 海里/小时．
41．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为　 　 cm．
42．坐标平面上质点沿方向前进，现希望在此平面上设置一直线l，使质点碰到直线l时，依据光学原理（入射角等于反射角）反射，并经反射后沿方向前进，则直线l的其中一个方向向量　 　 ．
43．一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 　 　 J．
44．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小套P、Q，P、Q用轻线相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为 　 　 ．
45．一个重20N的物体从倾斜角为30°，长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是　 　 ．
46．如图，在平滑的固定木板上有A，B，C三个洞，取三条绳子系于一点O，穿过洞各挂一只玩具，且呈现平衡状态．已知挂在A，B，C洞下方的猴子玩具的质量分别为mA，mB，mC，若∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，mA＝2，则mC＝　 　 ；若mA1，mB＝2，mC，则∠AOB＝　 　 ．
47．如图中的两个方向，用方位角应表示为 　 　 （图①）与 　 　 （图②）．
48．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为　 　 N．
49．家有重物，爸、妈、孩子三人合力拉抬，用力依次为，，，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面．
（1）求物重；
（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角．
50．如图所示，有两条相交成60°的直线xx′、yy′，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30km，乙离O点10km，后来两车均以60km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）t小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？
51．如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB＝20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
52．一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为东偏北30°；|F3|＝6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．
53．一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
54．重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端挂在半圆形支架上．如图所示，若A端位置固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中．OA绳和OB绳的拉力如何变化？
55．平面内作用在同一质点O的三个力、处于平衡状态，已知的夹角是45°，求的夹角．
56．如图，有一端B固定的细绳BOA，在与水平面成30°角的OA方向上作用着一个大小为100N的力，此时BO呈水平状，而点O所吊的砝码静止．求这个砝码的质量．作用在OB方向上的力有多大？（g＝10N/kg）．
57．如图所示，质量a＝2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为 ，g＝10m/s2，根据以上条件，求：
（1）t＝10s时刻物体的位置坐标；
（2）t＝10s时刻物体的速度和加速度的大小和方向．
58．已知两个力（单位：牛）与的夹角为60°，其中（2，0），某质点在这两个力的共同作用下，由静止从点A（1，1）移动到点B（3，3）（单位：米）．
（1）求；
（2）求与的合力对质点所做的功．
59．如图，质点A受到力和的作用，已知||＝4N，与正东方向的夹角为30°，||＝4N，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：
（1）；
（2）．
60．有一只鹰正沿与水平方向夹角为30°的方向向下飞行，太阳光从鹰的头上直射下来，鹰在地面上影子的速度是12m/s，求鹰飞行速度的大小．

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