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6.2向量基本定理与向量的坐标
▉一、共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
▉二、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
▉三、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
▉四、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则
平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
一．平面向量的基底（共16小题）
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：由题意，与为不共线的非零向量，
选项A，显然，
故与共线，不能作为基底；
选项B，设，则，此方程无解，
故与不共线，可作为基底；
选项C，显然，
故与共线，不能作为基底；
选项D，显然，
故与共线，不能作为基底．
故选：B．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解答】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为﹣1×7﹣2×5≠0，所以，（5，7）不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10﹣5×6＝0，所以，（6，10）共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为，所以，共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
故选：B．
4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为不是表示平面内所有向量的一个基底，所以，
又，
所以，解得．
故选：B．
5．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：平面内两个不共线的向量可作为一组基底，
对于A，为零向量，不能作为基底，A错误；
对于B，由得，，故，不能作为一组基底，B错误；
对于C，由﹣2×2﹣3×4≠0，得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确；
D．由得，，故，不能作为一组基底，D错误．
故选：C．
6．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　）
A．与
B．与
C．2与2
D．32与46
【答案】D
【解答】解：根据题意得，﹣2（）＝46
由共线向量基本定理知32与46共线，因此不能作为基底；
故选：D．
7．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：因为，所以不能作为平面向量的基底，A错误；
因为不存在实数λ，使得，所以不共线，
所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C错误；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D错误．
故选：B．
8．若，是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】B
【解答】解：由题意，是表示平面内所有向量的一组基底，
A选项中找不到一个非零实数λ使得成立，故不能选A；
B选项中，存在一个实数﹣2使得，此两向量共线，故不能作为基底，B可选；
C选项与D选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，
综上，B选项中的两个向量不能作为基底
故选：B．
9．下列各组向量中：①（﹣1，2），（5，7）；②（3，5），（6，10）；③（2，﹣3），（，） 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：对于①，，不共线，
对于②，2，即，共线，
对于③，，不共线，
∴可作为一组基底的是①③．
故选：B．
10．已知向量2，2，，与不共线，则不能构成基底的一组向量是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【解答】解：∵（2）﹣（2）2（），
∴与不能构成基底的一组向量．
故选：C．
（多选）11．下列各组向量中，不可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对于B：因为﹣1×7≠2×5，故B中两个向量不共线，可以作为基底；
对于C：因为3，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对于D：因为4，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底．
故选：ACD．
（多选）12．下列说法中正确的为（　　）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
【答案】BD
【解答】解：对于A：已知，，由于与的夹角为锐角，
故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故A错误；
对于B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确；
对于C：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误；
对于D：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为30°，故D正确．
故选：BD．
（多选）13．下列两个向量，不能作为基底向量的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解答】解：A．∵零向量与任意向量共线，∴不可以作为基底，
B．∵2×2≠﹣1×1，∴，不共线，∴可以作为基底，
C．∵，∴，共线，∴不可以作为基底，
D．∵1×2≠1×1，∴，不共线，∴可以作为基底，
故选：AC．
（多选）14．下列说法中正确的为（　　）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，且，则
D．若非零向量和满足，则与的夹角为30°
【答案】ABD
【解答】解：∵，，∴（1+λ，2+3λ），
∵与的夹角为锐角，
∴，解得λ∈，故A正确；
∵，∴向量，共线，
则向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
当与、与夹角相等时，满足，当不一定成立，故C错误；
非零向量a和b满足，以为邻边对应的四边形为一个角是60°的菱形，
则与的夹角为30°，故D正确．
故选：ABD．
15．若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则λ的取值范围为 　（﹣∞，6）∪（6，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，6）∪（6，+∞）．
【解答】解：由题意得，
当时，，解得，
所以λ≠6．
即λ的取值范围为 （﹣∞，6）∪（6，+∞）．
故答案为：（﹣∞，6）∪（6，+∞）．
16．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
【答案】（1）{m|m≠﹣2且m≠1}．
（2）．
【解答】解：（1）若向量，能构成一组基底，
则向量，不共线，
则m（m+1）﹣2≠0，解得m≠﹣2且m≠1，
故实数m的范围为{m|m≠﹣2且m≠1}；
（2）因为，所以，
即m+3﹣2﹣3（m+1）＝0，解得m＝﹣1，
所以，，
则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为．
二．用平面向量的基底表示平面向量（共8小题）
17．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知得
（）
．
故选：A．
18．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点），
因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1，
即，
所以，，
又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数，
且有2x+y＝4，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是2．
故选：A．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，D是BC的中点，
所以，
根据，可得，
所以．
故选：D．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
因为，所以，
所以，
因为点F为CD的中点，
所以，
所以．
故选：B．
21．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】D
【解答】解：对于A，假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此不成立，
因此假设不成立，因此和不是共线向量，故和可以作基底；
对于B，假设和是共线向量，则有，
与A选项同理可知假设不成立，因此和不是共线向量，可以作基底；
对于C，假设和是共线向量，
因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，
因此要想成立，
一定有，显然无实数解，因此假设不成立，
因此和是不共线向量，可以作基底；
对于D，因为，
所以和是共线向量，不可以作基底．
故选：D．
22．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以构成平面内所有向量的一个基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．
【答案】D
【解答】解：对于A，因为，所以，共线，不能构成基底，故A错误；
对于B，因为，所以，共线，不能构成基底，故B错误；
对于C，因为，所以，共线，不能构成基底，故C错误；
对于D，不存在实数λ使得，所以，不共线，能构成基底，故D正确．
故选：D．
23．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，．
（2）当时，判断AD是否垂直CE．若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
【答案】（1），；
（2）AD与CE不垂直，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得，，
因为，
所以，
故；
（2）AD与CE不垂直．证明如下：
由，可得，
所以，
，，
又因为CA＝CB，
所以||＝2||，
则，
所以AD与CE不垂直．
24．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（Ⅰ）试用基底{，}，表示；
（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题，，
．
（Ⅱ），
（）（），
∵，
∴E，G，F三点共线．
三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题）
25．已知（2，3），则点N位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
【答案】D
【解答】解：（2，3），M点不确定，
则点N的位置不确定，
故选：D．
26．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7）
【答案】B
【解答】解：∵A（1，2）、B（3，5），
∴（2，3）
将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了，
于是（2，3）
故选：B．
27．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2）
【答案】B
【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），
∴（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）．
∴（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）．
故选：B．
28．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　6　 牛顿．
【答案】6
【解答】解：质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，
∴，
∴（），
∵||
＝6，
故||＝||＝6．
即F3的大小为6牛顿．
故答案为：6．
29．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝　　 ．
【答案】
【解答】解：设内切圆半径为r，
由题意得：r＝OE＝OF＝AE＝AF，
∴
，
∴，．
∴λ1+λ2．
故答案为：．
30．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意||＝||，
∵|F1|＝1，|F2|＝2，且与的夹角为π，
∴||＝||；
（2）∵（），
∴ ，
∴ 2 cos，1 2 （）﹣4，
∴cos，，
∴，．
31．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设（x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3）
（x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ）
∵
∴（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ）
∴∴
∵P在第三象限内
∴
∴
∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．
四．平面向量加减法的坐标运算（共10小题）
32．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：向量（1，sinθ），，其中θ∈R，
（1﹣cosθ，sinθ），
∴||
，
则当sin（θ）＝﹣1时，取最大值是3．
故选：B．
33．已知向量，满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，所以，
因为，，所以，
即，即，
解得，
所以，
又因为，所以．
故选：D．
34．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解答】解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以，，
则．
故选：C．
35．向量满足，则（　　）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
【答案】A
【解答】解：由（﹣1，5），（5，﹣3），
得2（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，2），
所以（﹣6，2）＝（﹣3，1）．
故选：A．
36．已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，，，
则（）．
故选：B．
37．已知，则（　　）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以（2，﹣4）．
故选：A．
38．已知，点A（﹣1，﹣4），则点B的坐标为　（0，2）　 ．
【答案】（0，2）．
【解答】解：设B（x，y），因为A（﹣1，﹣4），
所以，
所以，解得，
所以B（0，2）．
故答案为：（0，2）．
39．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　（﹣2，15）　 ．
【答案】（﹣2，15）．
【解答】解：设O（0，0），则，即，
解得323（2，3）﹣2（4，﹣3）＝（﹣2，15），则P的坐标为（﹣2，15）．
故答案为：（﹣2，15）．
40．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
41．已知A（﹣2，1），B（1，3），C（2，4），D（6，7）．
（1）证明：A，C，D三点共线．
（2）若，求．
【答案】（1）证明见详解；
（2）．
【解答】解：（1）证明：由题可得：，
可知，即共线，又有公共点A，
所以A，C，D三点共线．
（2）由（1）可知：，
所以．
五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共10小题）
42．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．﹣11 C．11 D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，
所以，
因为A、C、D三点共线，则，
，
所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11．
故选：C．
43．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，解得λ＝2，μ＝1，
∴．
故选：A．
44．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由点P在线段AB上，且知，
设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y），
即，解得x，y．
故选：B．
45．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，
以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
由，得，
而E为AD的中点，则，
∴．
故选：B．
46．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：设P（x，y），A（3，﹣2），B（2，﹣1），
则，，
又，
则，解得，
则x+y＝1．
故选：B．
47．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11）
【答案】C
【解答】解：设P（x，y），则，，
∴由得：（x+2，y﹣1）＝（3，﹣3），
∴，解得，
∴P（1，﹣2）．
故选：C．
48．已知向量，O为坐标原点，点P满足，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：O为坐标原点，则A（1，3），B（﹣3，5），
设P（x，y），则，
因为，所以，所以．
故选：A．
49．已知，，若线段BC的一个三等分点为M，则的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解答】解：因为M为线段BC的一个三等分点，所以或，
若，则，
所以，
若，则，
所以．
故选：B．
50．已知向量满足，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：向量，满足1，，
3+2＝5，
可得0，
则．
故答案为：．
51．已知平面向量，，（1，2）．
（1）若（0，1），求2的坐标和的值；
（2）若（2，m），与共线，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）4．
【解答】解：（1），
∴；
（2），
∵与共线，∴2﹣m+2＝0，解得m＝4．
六．平面向量共线（平行）的坐标表示（共9小题）
52．设向量，，若，则x＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【答案】C
【解答】解：向量，，，
则x+x+2＝0，解得x＝﹣1．
故选：C．
53．已知（1，2），（2，﹣2），（λ，﹣1），，则λ等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵（1，2），（2，﹣2），
∴22（1，2）+（2，﹣2）＝（4，2），
∵（λ，﹣1），，
∴（λ，﹣1）＝（4，2），
∴2λ＝﹣4，解得λ＝﹣2，
故选：A．
54．已知平面向量，则“x＝2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若“”成立，则x（x+2）﹣2×4＝0，解得x＝2或﹣4，
因此，由“x＝2”可以推出“”，反之，由“”不能推出“x＝2”，
故“x＝2”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
55．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
56．设向量且∥，则m+n＝（　　）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：因为向量且∥，
所以，则m＝1，
又，
所以1×（1+n）﹣（﹣2）×3＝0，解得n＝﹣7，
所以m+n＝1﹣7＝﹣6．
故选：D．
57．梯形ABCD中AB平行于CD，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解答】解：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴建立直角坐标系，
设AD＝t，AP＝m，∠DAB，
所以P（m，m），D（t，t），C（t+1，t），B（2，0），
则（2m，m），（tm+1，tm），
则3（8tm，tm），
令ktm，
则3（8+k，k），
则，
当k＝﹣4时，取得最小值4．
故选：B．
58．设a，b是两个不共线的向量，若2k，，2，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于　﹣4　 ．
【答案】﹣4
【解答】解：由于A，B，D三点共线，
故∥，
又，，
故由
可解得k＝﹣4．
故答案为﹣4
59．已知（﹣3，1），（1，﹣2），（1，1）．
（1）求与的夹角的大小；
（2）若∥（k），求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（﹣3，1），（1，﹣2）；
∴||，
||，
3×1+1×（﹣2）＝5，
∴cos，，
∴与的夹角；
（2）k（﹣3+k，1﹣2k），（1，1）；
当∥（k），﹣3+k＝1﹣2k，
解得k．
60．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且∥，求的坐标；
（2）若||，且2与2垂直，求与的夹角θ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设，
∵||＝2，且∥，
∴，…（3分）
解得 或，…（5分）
故 或．…（6分）
（2）∵，
∴，
即，…（8分）
∴，
整理得，…（10分）
∴，…（12分）
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π．…（14分）6.2向量基本定理与向量的坐标
▉一、共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
▉二、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
▉三、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
▉四、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则
平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
一．平面向量的基底（共16小题）
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
5．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　）
A．与
B．与
C．2与2
D．32与46
7．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若，是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
9．下列各组向量中：①（﹣1，2），（5，7）；②（3，5），（6，10）；③（2，﹣3），（，） 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
10．已知向量2，2，，与不共线，则不能构成基底的一组向量是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
（多选）11．下列各组向量中，不可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）12．下列说法中正确的为（　　）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
（多选）13．下列两个向量，不能作为基底向量的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）14．下列说法中正确的为（　　）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，且，则
D．若非零向量和满足，则与的夹角为30°
15．若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则λ的取值范围为 　 　 ．
16．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
二．用平面向量的基底表示平面向量（共8小题）
17．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　）
A． B． C． D．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
21．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
22．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以构成平面内所有向量的一个基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．
23．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，．
（2）当时，判断AD是否垂直CE．若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
24．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（Ⅰ）试用基底{，}，表示；
（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题）
25．已知（2，3），则点N位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
26．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7）
27．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2）
28．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　 　 牛顿．
29．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝　 　 ．
30．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
31．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
四．平面向量加减法的坐标运算（共10小题）
32．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
33．已知向量，满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
34．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　）
A． B． C．5 D．
35．向量满足，则（　　）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
36．已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
37．已知，则（　　）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
38．已知，点A（﹣1，﹣4），则点B的坐标为　 　 ．
39．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　 　 ．
40．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
41．已知A（﹣2，1），B（1，3），C（2，4），D（6，7）．
（1）证明：A，C，D三点共线．
（2）若，求．
五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共10小题）
42．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．﹣11 C．11 D．
43．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
44．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
45．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
46．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
47．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11）
48．已知向量，O为坐标原点，点P满足，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
49．已知，，若线段BC的一个三等分点为M，则的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
50．已知向量满足，则　 　 ．
51．已知平面向量，，（1，2）．
（1）若（0，1），求2的坐标和的值；
（2）若（2，m），与共线，求实数m的值．
六．平面向量共线（平行）的坐标表示（共9小题）
52．设向量，，若，则x＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
53．已知（1，2），（2，﹣2），（λ，﹣1），，则λ等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
54．已知平面向量，则“x＝2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
55．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
56．设向量且∥，则m+n＝（　　）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
57．梯形ABCD中AB平行于CD，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（　　）
A． B． C．4 D．
58．设a，b是两个不共线的向量，若2k，，2，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于　 　 ．
59．已知（﹣3，1），（1，﹣2），（1，1）．
（1）求与的夹角的大小；
（2）若∥（k），求k的值．
60．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且∥，求的坐标；
（2）若||，且2与2垂直，求与的夹角θ．

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