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6.1 平面向量及其线性运算
▉一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
▉二、向量间的关系
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.
▉三、向量的线性运算
1.向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
2.相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
3.向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
4.向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
一．平面向量的概念与几何表示（共6小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
3．下列说法正确的是（　　）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
4．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量　 　 （用来表示）；若，且，则　 　 ．
5．请写出与向量反向的单位向量：　 　 ．（用坐标表示）
6．给出下列命题：
①若，同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若，不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，，总有；
⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是 　 　 （填序号）
二．平面向量中的零向量与单位向量（共6小题）
7．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
8．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
9．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
10．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
11．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
12．在下列判断中，正确的是（　　）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
三．平面向量的相等向量（共6小题）
13．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
14．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）15．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
（多选）16．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
17．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　 　 个．
18．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量．
四．平面向量的平行向量（共7小题）
19．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
20．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
21．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
22．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
23．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
24．给出下列命题：
①||≤||﹣||；②，共线，，平，则与为平行向量；③，，为相互不平行向量，则（）（）与垂直；④在△ABC中，若a2taanB＝b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤ ，则⊥（）
其中错误的有　 　 ．
25．已知，．
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
五．平面向量的加法（共5小题）
26．在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
27．在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
28．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
29．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
30．设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即　 　 　 　 ．
六．平面向量的减法（共5小题）
31．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
32．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（　　）
A． B． C． D．
33．在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则（　　）
A． B． C． D．
34．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　 　 ．
35．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　 　 ．
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共5小题）
36．下列命题正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量
C．相等向量的起点必定相同
D．若||＝7，||＝3，则
37．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、IⅢ、Ⅳ（不包含边界）．设mn，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＜0 D．m＜0，n＞0
（多选）38．在平行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端点），，，，，则（　　）
A．Q落在CD上
B．S落在AC上
C．R落在△ABC内
D．△ACP的面积等于△ACQ的面积
39．设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S△BOC：S△AOB：S△COA＝　 　 ．
40．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　 　 ；当时，y的取值范围是　 　 ．
八．平面向量的加减混合运算（共6小题）
41．化简，所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
42．等于（　　）
A． B． C． D．
43．化简（　　）
A． B． C． D．
44．下列四式中，不能化简为的是（　　）
A． B．
C． D．
45．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当，则x﹣y＝　 　 ．
46．已知向量．
（1）求的坐标表示；
（2）若与共线，求实数t．
九．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
47．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
48．已知平面向量，，（2cosα，2sinα），（cosβ，sinβ），若对任意的正实数λ，|λ|的最小值为，则此时||＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
（多选）49．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
（多选）50．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
51．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　 　 ．
十．平面向量的数乘与线性运算（共9小题）
52．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
53．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
54．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
55．已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
56．已知在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝4，设O是△ABC的内心，若，则（　　）
A． B． C． D．
57．在△ABC中，点D是BC的中点，点E在线段AC上，且AE：EC＝2：1，AD和BE相交于点F，则AF：FD的值为（　　）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
（多选）58．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
59．已知正方形ABCD中，M是BC的中点，，则λ+μ＝　 　
60．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，．
（1）用，表示；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用，表示．6.1 平面向量及其线性运算
▉一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
▉二、向量间的关系
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.
▉三、向量的线性运算
1.向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
2.相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
3.向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
4.向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
一．平面向量的概念与几何表示（共6小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．
故选：A．
2．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．下列说法正确的是（　　）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确；
④∵，且与方向相同，∴；
∴该说法正确．
故选：D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量　　 （用来表示）；若，且，则　　 ．
【答案】，．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
∵，∴，
∵，且，
∴3＝4+12×3cos∠BAD，∴cos∠BAD，
∵，
∴ 9+1﹣3×27，
∴||．
故答案为：，．
5．请写出与向量反向的单位向量：　　 ．（用坐标表示）
【答案】．
【解答】解：根据题意，设所求向量为，
由题可知：﹣3y＝4x且，解得：或，
又与反向，所以所求向量坐标为．
故答案为：．
6．给出下列命题：
①若，同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若，不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，，总有；
⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是 　①⑤　 （填序号）
【答案】①⑤．
【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有（其中当，中有一个为或，同向时不等式取等），
可以判断①⑤正确，③④错误，②中是向量，表示模，是数量，意义不同，故错误，
⑥中当时，三向量围不成一个三角形，故错误，
故答案为：①⑤．
二．平面向量中的零向量与单位向量（共6小题）
7．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
8．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
9．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
【答案】B
【解答】解：设与向量（3，4）共线的一个单位向量为，
则有，解得，
故选项B符合题意．
故选：B．
10．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
11．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，且，
故所求向量为：．
故选：B．
12．在下列判断中，正确的是（　　）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
【答案】D
【解答】解：对于①，长度为0的向量都是零向量，①正确；
对于②，零向量的方向是任意的，②错误；
对于③，单位向量的长度都为1，相等，③正确；
对于④，单位向量的方向不一定相同，④错误；
对于⑤，零向量的方向是任意的，
∴任意向量与零向量都共线，⑤正确．
综上，正确的命题是①③⑤．
故选：D．
三．平面向量的相等向量（共6小题）
13．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
14．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）15．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：A：当，可满足，但不一定得到，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当时，与不相等，但与共线，故C错误；
D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确．
故选：BD．
（多选）16．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误；
对于B：由相反向量的定义，向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误．
故选：ACD．
17．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　3　 个．
【答案】3．
【解答】解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个．
故答案为：3．
18．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥BA，且EFBA，
又D是BA的中点，
∴，
∴与向量相等的向量是；
（2））∵D，F分别为BA，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴与向量共线的向量是，，，，，，．
四．平面向量的平行向量（共7小题）
19．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
20．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
21．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
【答案】B
【解答】解：因为，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
22．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：与是两个不共线的向量，，，，
则（3﹣k）（2+k），
由A，B，D三点共线，
可得存在实数λ，使得λ，
即，解得k＝﹣12．
故选：B．
23．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解答】解：当∥时，可能A，B，D，C四点共线，此时A，B，C，D不构成四边形，故充分性不成立；
当四边形ABCD为平行四边形时，则AB∥DC，所以，故必要性成立，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
24．给出下列命题：
①||≤||﹣||；②，共线，，平，则与为平行向量；③，，为相互不平行向量，则（）（）与垂直；④在△ABC中，若a2taanB＝b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤ ，则⊥（）
其中错误的有　②③④　 ．
【答案】②③④
【解答】解：根据向量减法的三角形法则我们可得：||≤||﹣||，当向量与反向，且||＞||时取等号，故①正确；
若，则当，共线，，平行均成立时，则与为也可能不平行，故②错误；
∵由于（）（）是一个数量，故③错误；
在△ABC中，若a2tanB＝b2tanA
则，即
即，即sin2A＝sin2B
则2A＝2B，或2A+2B＝π
则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④错误；
若 ，则 0，即 （）＝0，则⊥（），故⑤正确；
故答案为：②③④
25．已知，．
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】（1）；
（2）m＝﹣3．
【解答】解：，．
（1）∴，，
又与共线，
∴﹣2（2k+2）﹣1×（﹣2）＝0，即；
（2），，
∵A、B、C三点共线，
∴﹣8m﹣3（2﹣2m）＝0，即m＝﹣3．
五．平面向量的加法（共5小题）
26．在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：画出图形，如图所示；
（）
．
故选：D．
27．在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，
则
．
故选：D．
28．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【解答】解：设船实际航行的速度为，
则（m﹣3，3m），
又，所以，
解得m＝3（负值舍去）．
故选：A．
29．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，．
故选：B．
30．设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即　　 　　 ．
【答案】；
【解答】解：∵ ①， ②
①+②，得，3，
代入②得，
∴
故答案为，
六．平面向量的减法（共5小题）
31．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，具体不知．
故选：B．
32．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得，，
．
故选：B．
33．在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图：D为BC的中点，∴，
∴．
故选：D．
34．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　（3，1）　 ．
【答案】（3，1）．
【解答】解：，，
则β相对于α的位移为．
故答案为：（3，1）．
35．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　﹣5+i ．
【答案】﹣5+i．
【解答】解：复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，则，
．则向量对应的复数为﹣5+i．
故答案为：﹣5+i．
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共5小题）
36．下列命题正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量
C．相等向量的起点必定相同
D．若||＝7，||＝3，则
【答案】B
【解答】解：对于A，当时，与可能不平行，故A错误，
对于B，由单位向量的定义可得，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故B正确，
对于C，相等向量的起点可以不同，故C错误，
对于D，向量存在方向，不能比较大小，故D错误．
故选：B．
37．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、IⅢ、Ⅳ（不包含边界）．设mn，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＜0 D．m＜0，n＞0
【答案】B
【解答】解：∵mn，且点P落在第III部分，由两个向量的加法法则和几何意义知，m 与 方向相同，
n的方向与 的方向相反，∴m＞0，n＜0，
故选：B．
（多选）38．在平行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端点），，，，，则（　　）
A．Q落在CD上
B．S落在AC上
C．R落在△ABC内
D．△ACP的面积等于△ACQ的面积
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，因为点P是边BC上一点（不含端点），所以a＝1，0＜b＜1，所以，所以点Q落在CD上，故A选项正确；
对于选项B，，其中，所以点S落在边AC上，故B选项正确；
对于选项C，，当b→1时，显然R会落在△ACD内，故C选项错误；
对于选项D，因为，，所以，，
又因为，所以S△APC＝SAQC，故D选项正确．
故选：ABD．
39．设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S△BOC：S△AOB：S△COA＝　3：2：1　 ．
【答案】3：2：1
【解答】解：
由题可得233（）+2（ ）+（），则32，
即（）+2（ ），
设M，N分别为AB、AC的中点，∵2，2
则2，设S△ABC＝S，
如图所示，
∵MN为△ABC的中位线，
∴S△BOCS，
∵M是AB的中点，
∴S△CAMS，
又ON：OM＝1：2，
∴S△COAS△CAMS，
∵N是AC的中点，
∴S△ANBS，
又ON：OM＝1：2，
∴S△AOBS△ANBS，
故S△BOC：S△AOB：S△COA＝3：2：1．
40．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　（﹣∞，0）　 ；当时，y的取值范围是　　 ．
【答案】（﹣∞，0）；
【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，
OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是（﹣∞，0）；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CDOB，CEOB，
∴y的取值范围是（，）．
故答案为：（﹣∞，0）；（，）
八．平面向量的加减混合运算（共6小题）
41．化简，所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
42．等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式．
故选：A．
43．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
．
故选：A．
44．下列四式中，不能化简为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、，故A不对；
B、，故B不对；
C、，故C不对；
D、，故D正确．
故选：D．
45．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当，则x﹣y＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2
【解答】解：如图所示，
△ABC中，||＝3||，
∴3，
∴，
即；
∴（）；
又，
∴x，y，
∴x﹣y2．
故答案为：﹣2．
46．已知向量．
（1）求的坐标表示；
（2）若与共线，求实数t．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知可知 （﹣3，2）+2（2，1）﹣3（3，﹣1）＝（﹣8，7）．…（5分）
（2）（﹣2t﹣3，﹣t+2）不可能为．
因为 与共线，故存在唯一的实数λ，使得．…（8分）
即有，故，…（11分）
故实数t．…（12分）
九．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
47．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，，
所以，
＝4×2+2×1＝10，
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：C．
48．已知平面向量，，（2cosα，2sinα），（cosβ，sinβ），若对任意的正实数λ，|λ|的最小值为，则此时||＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：λ（2cosα﹣λcosβ，2sinα﹣λsinβ）
∴|λ|，其中0≤cos（α﹣β）≤1，
当λ＝2cos（α﹣β）时，|λ|的最小值为，
故，解得cos（α﹣β），
故||．
故选：D．
（多选）49．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若，则t2﹣8＝0，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得t＝0，故B正确；
对于C，，
则，
当t＝﹣3时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得t＞0，
由得，
所以t的取值范围为，故D错误．
故选：ABC．
（多选）50．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若，，且，
则4cosθ＝﹣3sinθ，可得tanθ，故A项正确；
对于B，（cosθ+3，sinθ﹣4），
可得（）2＝（cosθ+3）2+（sinθ﹣4）2
＝26+6cosθ﹣8sinθ＝26﹣10sin（θ﹣φ），其中tanφ，φ∈（0，）．
当θ﹣φ2kπ（k∈Z）时，（）2的最大值为36，
所以的最大值为6，故B项正确；
对于C，若，则，
结合sin2θ+cos2θ＝1，解得，故C项错误；
对于D，若，则，
所以，，可得||，故D项正确．
故选：ABD．
51．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
∵，，，
∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，
∴y1y2＝1，
∴|y1+y2|，
当且仅当y1＝±1时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
十．平面向量的数乘与线性运算（共9小题）
52．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于D，由AC＝2，AB＝4，
得，则，
即，整理可得，
又因为BC＝3，所以2，
连接BI，则BI为∠ABD的角平分线，则，即，
得，
又，且向量、不共线，
所以x，y，所以．
故选：C．
53．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量
∴的方向与∠BAC的角平分线一致
又∵，∴λ（）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致
∴一定通过△ABC的内心
故选：B．
54．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，D是AC的中点，则，
∴，
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴，故x2+y2的最小值为．
故选：A．
55．已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：利用已知条件：则．
故选：A．
56．已知在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝4，设O是△ABC的内心，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】以AC的中点D为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设△ABC的内切圆的半径为r，则，解得
故，
则
因为，即，解得，故．
故选：C．
57．在△ABC中，点D是BC的中点，点E在线段AC上，且AE：EC＝2：1，AD和BE相交于点F，则AF：FD的值为（　　）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【答案】D
【解答】解：因为点D是BC的中点，则，
因点F在线段AD上，根据向量共线定理可得，存在x，使，
又AE：EC＝2：1，
则得，
因B，E，F三点共线，故，解得，
则，即，可得．
故选：D．
（多选）58．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【解答】解：边长为6的等边△ABC中，，
，A正确；
因为点P在以AB为直径的半圆上，所以PA⊥PB，所以，B正确；
，C错误；
过点D作DH⊥AB交AB于点H，过点C作CO⊥AB交AB于点O，易得O为AB的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选：ABD．
59．已知正方形ABCD中，M是BC的中点，，则λ+μ＝　　
【答案】
【解答】解：根据题意画图如下：
由图，，
∵，，
∴λμλ（）+μ（）
＝（λ﹣μ）（λ+μ），
∵
∴，解得．
∴λ+μ．
故答案为：．
60．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，．
（1）用，表示；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用，表示．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据条件，
；
（2），如图，连接AG，MG；
G为三角形MNP的重心，则：；
∴
．

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