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5.4 统计与概率的应用
▉考点01 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0~1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
▉考点01 概率的应用（共60小题）
1．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048
2．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　）
A． B．P（A∪B）＝0.7
C． D．
3．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、连花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为、、，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.7，乙中靶的概率为0.8，则事件“恰好有一人中靶”的概率为（　　）
A．0.56 B．0.62 C．0.38 D．0.44
5．甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答．已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响．两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题．约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在心理压力很大吗？问题2：你学籍号尾号是偶数吗？然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答，如果出现正面朝上，就回答第一个问题；否则回答第二个问题．整个调查过程全程保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实回答问题．现在对学籍号为0001﹣1000的1000名中学生进行调查，其中有260名学生回答“是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（　　）
A． B． C． D．
7．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（　　）
A．事件A发生的概率为
B．事件A，B相互独立
C．事件A，B是互斥事件
D．事件A∪B发生的概率为
8．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k（k∈N）个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p（k），根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．在古典概型中，我们记某事件O含有的样本点个数为n（C）．若一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B满足n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，则事件A与事件B（　　）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互乐事件，也不是独立事件
12．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（　　）
A． B． C． D．
13．已知事件A和事件B相互独立，为事件B的对立事件．若P（A）＝P（B）＝0.4，则（　　）
A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84
14．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于A，B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为，选择B景点出游的概率为，A，B两个景点都不选的概率为，则A，B两个景点都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈 马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3， 次状态无关．现有A，B两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n（n∈N*）次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，则p11的值为（　　）
A． B． C． D．
16．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．数学家从实际生活中发现如下现象，在大量的十进制随机数据中，以n（n∈N*）开头的数出现的概率为．若（k∈N*，k≤19），则k的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
18．托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（Ai|B）（i＝1，2，…，n），这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
19．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为，若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（　　）
A． B． C． D．
20．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A＝“了解deepseek”，B＝“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为X，则当P（X＝k）取得最大值时的k（k∈N*）值为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
21．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有50%的学生乘坐公共交通工具，有30%的学生乘坐私家车，有20%的学生选择骑行或步行．在乘坐公共交通工具出行的学生中有10%的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有20%的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有5%的人迟到．以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（　　）
A． B． C． D．
22．甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第n次传球后，球在甲手中的概率为Pn，在乙手中的概率为Qn，则下列结论错误的是（　　）
A． B．P2025＞Q2025
C． D．
23．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
24．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A＝“取出的鞋不成双”；B＝“取出的鞋都是同一只脚”，则下列结论中正确的是（　　）
A．A B B． C． D．
25．某高中学校高一、高二、高三3个年级学生人数分别占该校高中学生总数的40%、30%、30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生分别占各自年级的60%、70%、80%，现从该校高中学生中随机调查一名学生，则下列结论不正确的有（　　）
①该生是眼睛近视的学生概率为0.69
②该生是高三年级眼睛近视的学生的概率为0.24
③如果该生是高二学生，那么该生眼睛不近视的概率为0.3
④如果该生是眼睛近视的学生，那么该生不是高一年级学生的概率为
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
26．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
27．已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，0.6，0.2，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（　　）
A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532
28．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现将小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的个盒子中，要求每个盒子放一球，则在编号为1的小球放入编号为2的盒子中的条件下，恰有一个小球的编号与盒子编号一致的概率是（　　）
A． B． C． D．
29．公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（　　）
A． B． C． D．
30．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列说法正确的是（　　）
A．质点位于原点0的概率是
B．质点位于原点0的概率是
C．质点位于4的概率是
D．质点位于4的概率是
31．已知随机事件A，B，若，，，则P（B）＝（　　）
A． B． C． D．
32．7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（　　）
A． B． C． D．
33．王老师对所带班级学生在三模考试中的语文成绩与英语成绩进行统计，得到如下信息：随机抽取本班的一名同学，该同学语文成绩优秀的概率为，英语成绩优秀的概率为，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为，则该班学生在语文成绩优秀的条件下，英语成绩也优秀的概率为（　　）
A． B． C． D．
34．在集合{0，1，2，3}中任取两个数a，b（a＜b）构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为（　　）
A． B． C． D．
35．已知随机事件A、B满足P（B）＞0，，，则（　　）
A． B． C． D．
36．某质点从原点O出发，在数轴上等可能地向左或向右移动，每次移动一个单位长度，则该质点移动6次后，位于2位置的概率为（　　）
A． B． C． D．
37．近年来，人工智能（AI）赋能各行各业蓬勃发展，成为推动经济高质量增长的重要力量．从传统制造业到现代服务业，从能源领域到医疗健康，人工智能（AI）的应用场景不断拓展，为产业发展带来了前所未有的变革．已知有甲、乙、丙三类AI模型，其各自的应答准确率分别为0.9、0.8、0.7，现有一个问题需要AI模型辅助解决，选择甲、乙、丙的概率分别为0.5、0.3、0.2．则该问题的应答准确率为（　　）
A．0.84 B．0.83 C．0.82 D．0.81
38．已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件A，“比赛仅进行了5局”为事件B，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
39．某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（　　）
A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16
40．若，，，则事件A与事件B满足（　　）
A．互为对立事件 B．
C． D．以上都不对
41．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（　　）
A． B． C． D．
42．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如表所示（p＞0，q＞0，p+q＝0.3）．
到达日期 5月13日 5月14日 5月15日
P甲 0.4 0.4 0.2
P乙 0.3 0.2 0.5
P丙 p 0.7 q
若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为p1，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为p2，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为p3，则（　　）
A．p1＞p2＞p3 B．p2＞p1＞p3 C．p3＞p1＞p2 D．p3＞p2＞p1
43．甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为（　　）
A． B． C． D．
44．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品．在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（　　）
A． B． C． D．
45．18世纪英国数学数理统计学家托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中A1，A2， ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝0，1，2， ，n，B是Ω中任意事件，P（B）＞0，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果90%呈阳性，对未患有X疾病的人化验98%呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（　　）
A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004
46．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
47．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是，若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的概率为；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为（　　）
A． B． C． D．
48．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝3P（B），则（　　）
A． B． C． D．
（多选）49．设A，B为两个相互独立的随机事件，且，，下列命题中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）50．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字A＝
a1 a2 a3 a4 a5
，其中A的各位数字中，ai∈{0，1}（i＝1，2，3，4，5），则（　　）
A．A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点
B．若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A＝11100的概率大于A＝00011的概率
C．若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为
D．若a1＝1，ak（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为
51．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 　　 ．
52．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3，4四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了1号箱子，此时主持人打开2号箱子的概率为　 ，在主持人打开2号箱子的情况下，奖品在4号箱子的概率为 　　 ．
53．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A，B，C，D）的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4：3：2：3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为 D （填入A，B，C，D中的1个）．
54．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5，0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 　　 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为 　　 ．
55．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训．依据小概率α＝0.005的χ2独立性检验，零假设为H0；学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立．
（1）先填写列联表，再依据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
合计 100
（2）已知学生甲短跑成绩不合格，求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率；
（3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记M表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“小明去田径运动场锻炼”，0＜P（M）＜1，0＜P（N）＜1．已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大．证明：P（M|N）＞P（M|）．
参考公式与数据，其中：n＝a+b+c+d．
α 0.01 0.005 0.001
χα 6.635 7.879 10.828
56．某系统配置有2n﹣1个元件（n为正整数），每个元件正常工作的概率都是p（0＜p＜1），且各元件是否正常工作相互独立．如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作．现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
（1）当n＝3，p＝0.5时，求该系统正常工作的概率；
（2）现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由．
57．投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投．在战国时期较为盛行，在唐朝时期，发扬光大．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某单位开展投壶游戏．现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中则此人继续投壶，若未投中则换为对方投壶．无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为0.3，乙每次投壶的命中率均为0.4．由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投壶的人是甲的概率；
（2）求第i次投壶的人是乙的概率．
58．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn．
59．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
60．某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
（Ⅰ）若n＝1，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；
（Ⅱ）若n＝2，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由．5.4 统计与概率的应用
▉考点01 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0~1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
▉考点01 概率的应用（共60小题）
1．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048
【答案】C
【解答】解：根据题意，设事件Ai＝“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，事件B＝“零件为次品”，
则P（A1）＝20%，P（A2）＝20%，P（A3）＝60%，
P（B|A1）＝2%，P（B|A2）＝4%，P（B|A3）＝5%，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝20%×2%+20%×4%+60%×5%＝0.042，
即任取一个零件是次品的概率为0.042．
故选：C．
2．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　）
A． B．P（A∪B）＝0.7
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，
则有P（A∩B）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立，
依次分析选项：
对于A，事件A、B相互独立，则、B也相互独立，则P（B）＝（1﹣0.5）×0.4＝0.2，
P（∪B）＝P（）+P（B）﹣P（∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，B正确；
对于C，事件A、B相互独立，则A、也相互独立，则P（A∩）＝0.5×（1﹣0.4）＝0.3，C错误；
对于D，事件A、B相互独立，则、也相互独立，则P（∩）＝（1﹣0.5）（1﹣0.4）＝0.3，D错误．
故选：B．
3．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、连花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为、、，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件A，取到连花清瘟胶囊为事件B，取到999感冒灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，
则，，，
，，，
则P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）．
故选：D．
4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.7，乙中靶的概率为0.8，则事件“恰好有一人中靶”的概率为（　　）
A．0.56 B．0.62 C．0.38 D．0.44
【答案】C
【解答】解：根据题意，事件“恰好有一人中靶”，即甲中靶为乙没有中靶或乙中靶为甲没有中靶，
则其概率P＝0.7×（1﹣0.8）+（1﹣0.7）×0.8＝0.38．
故选：C．
5．甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答．已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响．两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题．约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，设A＝“前4次中甲恰好答题3次”，
若前4次中甲恰好答题3次，则4次的答题情况有：甲甲甲乙，甲甲乙甲，甲乙甲甲，
故P（A）．
故选：D．
6．调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在心理压力很大吗？问题2：你学籍号尾号是偶数吗？然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答，如果出现正面朝上，就回答第一个问题；否则回答第二个问题．整个调查过程全程保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实回答问题．现在对学籍号为0001﹣1000的1000名中学生进行调查，其中有260名学生回答“是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为学籍尾号为偶数的概率为，回答问题2的人数为1000500人，
所以问题2回答“是”的人数为500250人，
又共有250名学生回答“是”，所以问题1回答“是”的人数有10人，
所以心理压力很大的中学生百分比大约是．
故选：A．
7．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（　　）
A．事件A发生的概率为
B．事件A，B相互独立
C．事件A，B是互斥事件
D．事件A∪B发生的概率为
【答案】B
【解答】解：根据题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为x，乙罐中抽取小球的标号为y，
则（x，y）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共12种可能，
事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：（3，3），（4，2），（4，3），共3种可能，
事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（4，1），共7种可能，
依次分析选项：
对于A，事件A发生的概率为，故A不符合题意；
对于BC，，而A，B不可能同时发生，即事件A，B是互斥事件，即P（AB）＝0，
故，即事件A，B不相互独立，故B符合题意，C不符合题意；
对于D，事件A∪B发生的概率为，故D不符合题意．
故选：B．
8．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，记事件A＝“该同学在笔试中结果为优秀”，记事件B＝“该同学在实验操作中结果为优秀”，事件C＝“该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀”，
易得，且事件C，
则P（C）．
故选：D．
9．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k（k∈N）个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p（k），根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，，
则P（0）+P（1）+P（2）+P（3）+P（4）+P（k≥5）＝1，
即P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）＝（1）×P（0）＝1，
解可得：P（0）．
故选：B．
10．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲独立攻克该难题”，事件B＝“乙独立攻克该难题”，
则，设P（B）＝p，
甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，即P（B+A）（1﹣p）p，
变形可得p，
故P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）．
故选：B．
11．在古典概型中，我们记某事件O含有的样本点个数为n（C）．若一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B满足n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，则事件A与事件B（　　）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互乐事件，也不是独立事件
【答案】B
【解答】解：根据题意，事件A，B满足n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，
则n（A∩B）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝2，
故P（A∩B），事件A、B不是互斥事件，
又由P（A），P（B），
则有P（A∩B）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立．
故选：B．
12．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x，y，
甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，
则，解得，，
故所求概率为P．
故选：D．
13．已知事件A和事件B相互独立，为事件B的对立事件．若P（A）＝P（B）＝0.4，则（　　）
A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84
【答案】C
【解答】解：根据题意，若P（B）＝0.4，则，
事件A和事件B相互独立，则A与也相互独立，
故，
所以．
故选：C．
14．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于A，B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为，选择B景点出游的概率为，A，B两个景点都不选的概率为，则A，B两个景点都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，设M＝“游客选择A景点”，N＝“游客选择B景点”，
则，
则，
由P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN），可得，
即A，B两个景点都选的概率为．
故选：B．
15．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈 马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3， 次状态无关．现有A，B两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n（n∈N*）次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，则p11的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设第n次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn，所以没有红球的概率为1﹣pn﹣qn．
由题可知，，，
因为，
因此．
因为，
因此是以为首项，为公比的等比数列．
因此，．
故选：A．
16．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，设事件Q为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
A箱中有4道代数题和2道几何题，
事件R＝“乙从A箱中取出2道代数题”，则，
事件S＝“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，则，
事件T＝“乙从A箱中取出2道几何题”，则，
当事件R发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，则；
当事件S发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，则；
当事件T发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，则．
故P（Q）＝P（R）P（Q|R）+P（S）P（Q|S）+P（T）P（Q|T）．
故选：D．
17．数学家从实际生活中发现如下现象，在大量的十进制随机数据中，以n（n∈N*）开头的数出现的概率为．若（k∈N*，k≤19），则k的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，，
即，
又∵，
则，
即，即，k＝5．
故选：B．
18．托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（Ai|B）（i＝1，2，…，n），这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为Ai（i＝0，1，2），
从乙袋中取出2个球，其中2个白球为事件B，
甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，
则，；
，；
，．
若从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
．
故选：A．
19．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为，若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，设A＝“该同学上午去打球”，则“该同学上午不去打球”，B＝“该同学下午去游泳”，
则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）1，
则P（A|B）．
故选：A．
20．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A＝“了解deepseek”，B＝“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为X，则当P（X＝k）取得最大值时的k（k∈N*）值为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【解答】解：根据题意，抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A＝“了解deepseek”，B＝“学生为女生”，
则．
又由，则P（AB）＝P（B）P（A|B），
而，即，变形可得P（A），
现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为X，易得，
令，解得，
因为k∈N*，所以当k＝18时，P（X＝k）取得最大值．
故选：C．
21．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有50%的学生乘坐公共交通工具，有30%的学生乘坐私家车，有20%的学生选择骑行或步行．在乘坐公共交通工具出行的学生中有10%的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有20%的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有5%的人迟到．以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设A＝“该学生乘坐公共交通工具出行”，B＝“该学生乘坐私家车出行”，C＝“该学生选择骑行或步行”，
D＝“该同学迟到”，
则P（AD），
P（BD），
P（CD），
故P（D）＝P（AD）+P（BD）+P（CD），
则P（B|D）．
故选：C．
22．甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第n次传球后，球在甲手中的概率为Pn，在乙手中的概率为Qn，则下列结论错误的是（　　）
A． B．P2025＞Q2025
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得，
故，其中P1＝0，所以，
所以，
所以，故C正确；
当n＝2时，则，故A正确；
同理可得，，
其中，故，
所以，
所以，故D正确；
，，
，
P2025＜Q2025，故B错误．
故选：B．
23．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
【答案】B
【解答】解：根据题意，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%，且等待超过15分钟的概率依次为：20%、40%、30%．
则选择A店并超时的概率为：30%×20%＝6%；
选择B店并超时的概率为：50%×40%＝20%；
选择C店并超时的概率为：20%×30%＝6%；
所以等待超过15分钟的概率为6%+20%+6%＝32%，
故选：B．
24．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A＝“取出的鞋不成双”；B＝“取出的鞋都是同一只脚”，则下列结论中正确的是（　　）
A．A B B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，现有一双运动鞋和一双凉鞋，左脚运动鞋为A，右脚运动鞋a，左脚凉鞋为B，右脚凉鞋为b，
则Ω＝{（Aa）、（Bb）、（AB）、（Ab）、（aB）、（ab）}，
A＝{（AB）、（Ab）、（aB）、（ab）}，B＝{（AB）、（ab）}，
依次分析选项：
对于A，B A，A错误；
对于B，P（B），B错误；
对于C，B＝ ，则P（B）＝0，C错误；
对于D，B＝{（AB）、（ab）、（Aa）、（Bb）}，则P（B），D正确．
故选：D．
25．某高中学校高一、高二、高三3个年级学生人数分别占该校高中学生总数的40%、30%、30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生分别占各自年级的60%、70%、80%，现从该校高中学生中随机调查一名学生，则下列结论不正确的有（　　）
①该生是眼睛近视的学生概率为0.69
②该生是高三年级眼睛近视的学生的概率为0.24
③如果该生是高二学生，那么该生眼睛不近视的概率为0.3
④如果该生是眼睛近视的学生，那么该生不是高一年级学生的概率为
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：根据题意，设A＝“该生是高一年级的学生”，B＝“该生是高二年级的学生”，C＝“该生是高三年级的学生”，
D＝“该生是眼睛近视的学生概率”，
依次分析4个命题：
对于①，P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝40%×60%+30%×70%+30%×80%＝0.69，①正确；
对于②，P（CD）＝P（C）P（D|C）＝30%×80%＝0.24，②正确；
对于③，如果该生是高二学生，那么该生眼睛不近视的概率为1﹣70%＝0.3，③正确；
对于④，P（|D）＝1﹣P（A|D）＝11，④正确．
故选：A．
26．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设A＝“甲荣获一等奖”，B＝“乙荣获一等奖”，C＝“丙荣获一等奖”，E＝“三人中仅有两人获得一等奖”，
则EBC+AC+AB，
故P（E）＝P（BC+AC+AB）＝（1）（1）（1）．
故选：C．
27．已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，0.6，0.2，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（　　）
A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532
【答案】A
【解答】解：根据题意，若该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分，
有两种情况，即答对第一、二题且答错第三题或者答错第一题且答对第二、三题，
故所求事件的概率为P＝0.8×0.6×（1﹣0.2）+（1﹣0.8）×0.6×0.2＝0.408．
故选：A．
28．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现将小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的个盒子中，要求每个盒子放一球，则在编号为1的小球放入编号为2的盒子中的条件下，恰有一个小球的编号与盒子编号一致的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，设A＝“编号为1的小球放入编号为2的盒子中”，B＝“恰有一个小球的编号与盒子编号一致”，
则n（A）120，
若编号为1的小球放入编号为2的盒子中且恰有一个小球的编号与盒子编号一致，
在编号为3、4、5、6小球中，任选1个，放入对应的盒子里，有4种情况，
对于编号为2的小球，若其放入1号盒子，此时剩下的3个小球放入3个盒子，都不能与其编号相同，有2种放法，
若其不放入1号盒子，相当于4个小球放入4个盒子的错位排列问题，有9种放法，
则n（AB）＝4×（2+9）＝44，
故P（B|A）．
故选：B．
29．公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，3名乘客在沿途的4个车站随机下车，
即每个人在某个站下车的概率为，
则恰有两人在第4站下车的概率P（）2×（1）．
故选：D．
30．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列说法正确的是（　　）
A．质点位于原点0的概率是
B．质点位于原点0的概率是
C．质点位于4的概率是
D．质点位于4的概率是
【答案】C
【解答】解：根据题意，质点移动6次，每次等可能地向左或向右移动一个单位，
则一共有26＝64种情况，
质点位于原点0的位置，则质点向左移动3次，向右移动3次，共种情况，
所以质点回到原点的概率为，故A，B错误；
质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共种情况，
所以质点位于4的位置的概率为，故C正确，D错误．
故选：C．
31．已知随机事件A，B，若，，，则P（B）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，因为，故，而，，
则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）．
故选：B．
32．7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，将7名教师教师随机分为4组，每组至少一人，不同的分组方法有4，1，1，1；3，2，1，1；2，2，2，1三种；
当分组为4，1，1，1时，共有种分组方法，其中甲乙同组且丙丁同组有1种；
当分组为3，2，1，1时，共有种分组方法，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为2，2，2，1时，共有种分组方法，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
所以乙同组且丙丁同组的概率P．
故选：A．
33．王老师对所带班级学生在三模考试中的语文成绩与英语成绩进行统计，得到如下信息：随机抽取本班的一名同学，该同学语文成绩优秀的概率为，英语成绩优秀的概率为，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为，则该班学生在语文成绩优秀的条件下，英语成绩也优秀的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设事件A＝“该班学生语文成绩优秀”，事件B＝“该班学生英语成绩优秀”，
该同学语文成绩优秀的概率为，英语成绩优秀的概率为，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为，则，
因为，所以，
所以．
故选：C．
34．在集合{0，1，2，3}中任取两个数a，b（a＜b）构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，在集合{0，1，2，3}中任取两个数a，b（a＜b）构成以原点为起点的向量，
则可以为（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3），
从中任选两个不共线向量，
则样本空间Ω＝{（0，1）和（1，2）}，（0，1）和（1，3），（0，1）和（2，3），
（0，2）和（1，2），（0，2）和（1，3），（0，2）和（2，3），
（0，3）和（1，2），（0，3）和（1，3），（0，3）和（2，3），
（1，2）和（1，3），（1，2）和（2，3），（1，3）和（2，3）}，
共12种情况，
当选择{（0，1）和（1，2）}时，设向量（0，1）与（1，2）的夹角为θ，
则，故，
此时平行四边形的面积为，满足要求，
同理可得，当选择（0，1）和（1，3），（0，1）和（2，3），（0，2）和（1，2），（0，2）和（1，3），（1，2）和（1，3），（1，2）和（2，3）时，面积不超过2，
综上，共7种情况，满足要求，
故平行四边形面积不超过2的概率为．
故选：C．
35．已知随机事件A、B满足P（B）＞0，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，，，则P（A）＝P（A）﹣P（AB），
故．
故选：A．
36．某质点从原点O出发，在数轴上等可能地向左或向右移动，每次移动一个单位长度，则该质点移动6次后，位于2位置的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，质点移动6次，可能结果共有2×2×2×2×2×2＝64种，
若质点位于2的位置，则质点需要向左移动2次，向右移动4次，
则有15种情况，
则该质点移动6次后，位于2位置的概率为．
故选：A．
37．近年来，人工智能（AI）赋能各行各业蓬勃发展，成为推动经济高质量增长的重要力量．从传统制造业到现代服务业，从能源领域到医疗健康，人工智能（AI）的应用场景不断拓展，为产业发展带来了前所未有的变革．已知有甲、乙、丙三类AI模型，其各自的应答准确率分别为0.9、0.8、0.7，现有一个问题需要AI模型辅助解决，选择甲、乙、丙的概率分别为0.5、0.3、0.2．则该问题的应答准确率为（　　）
A．0.84 B．0.83 C．0.82 D．0.81
【答案】B
【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三类AI模型，其各自的应答准确率分别为0.9、0.8、0.7，现有一个问题需要AI模型辅助解决，选择甲、乙、丙的概率分别为0.5、0.3、0.2．
则该问题的应答准确率P＝0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.7＝0.83．
故选：B．
38．已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件A，“比赛仅进行了5局”为事件B，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，事件B＝“比赛仅进行了5局”，
包含两种情况：甲前四局赢了三局，第五局甲又赢了和乙前四局赢了三局，第五局乙又赢了，
则，
事件AB＝“甲获得比赛胜利且比赛仅进行了5局”，即甲前四局赢了三局，第五局甲又赢了，
则，
所以．
故选：D．
39．某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（　　）
A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16
【答案】A
【解答】解：根据题意，设A＝“第一关通过”，B＝“第二关通过”，
第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则P（A）＝0.6，，
故P（AB）＝P（B|A）P（A）＝0.4×0.6＝0.24．
故选：A．
40．若，，，则事件A与事件B满足（　　）
A．互为对立事件 B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：根据题意，P（），则P（A）＝1﹣P（）＝1，
又由，，则有P（AB）＝P（A）P（B），即事件A、B相互独立，
依次分析选项：
对于A，P（AB），事件A、B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），B错误；
对于C，由于A、B相互独立，则与B也相互独立，故P（B）P（），C正确；
对于D，C正确，易得D错误．
故选：C．
41．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，该选手通过第一关的概率P1＝1﹣（1）（1），
该选手通过第二关的概率P2＝1﹣（1）（1），
故该选手能进入第三关的概率P＝P1P2．
故选：D．
42．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如表所示（p＞0，q＞0，p+q＝0.3）．
到达日期 5月13日 5月14日 5月15日
P甲 0.4 0.4 0.2
P乙 0.3 0.2 0.5
P丙 p 0.7 q
若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为p1，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为p2，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为p3，则（　　）
A．p1＞p2＞p3 B．p2＞p1＞p3 C．p3＞p1＞p2 D．p3＞p2＞p1
【答案】C
【解答】解：根据题意，P1＝0.4×0.3+0.4×0.2+0.2×0.5＝0.3，
P2＝0.3p+0.2×0.7+0.5（0.3﹣p）＝0.29﹣0.2p，
P3＝0.4p+0.4×0.7+0.2（0.3﹣p）＝0.34+0.2p，
又由0＜p＜0.3，故p3＞p1＞p2．
故选：C．
43．甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，
因为此题被正确解答即两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，所以，
甲能正确解答的概率为，所以在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为．
故选：D．
44．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品．在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设事件A表示“零件为一等品”，事件表示“零件为二等品”，
事件B表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”，
则P（B），P（），P（）＝P（A|），P（）＝1﹣P（A|），
P（）＝P（|B）P（B）+P（|）P（），
故P（）．
故选：B．
45．18世纪英国数学数理统计学家托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中A1，A2， ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝0，1，2， ，n，B是Ω中任意事件，P（B）＞0，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果90%呈阳性，对未患有X疾病的人化验98%呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（　　）
A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004
【答案】D
【解答】解：设事件A＝“患病”，“不患病”，B＝“显阴性”，
根据题意，可得，且，
由贝叶斯公式，可得0.004．
故选：D．
46．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，若甲独自获胜，分2种情况讨论：
①甲抽到自己的灯谜，而乙、丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙三人每人随机选一个球，有6种抽取方法，
若只有甲抽到自己的灯谜，有1种抽取方法，
故只有甲抽到自己的灯谜的概率为，
则此时甲独自获胜的概率P1（1）×（1），
②甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，甲有2种可能，乙、丙只有1种可能，则有2×1＝2种可能，
故甲乙丙都没有抽到自己的灯谜的概率为，
则此时甲独自获胜的概率P2（1）×（1），
故甲独自获胜的概率P＝P1+P2．
故选：C．
47．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是，若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的概率为；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，设第一天选择A餐厅为事件A，第二天选择A餐厅为事件B，
则P（），P（A）＝1﹣P（），P（B|A），P（B|），
则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
P（AB），
故P（A|B）．
故选：B．
48．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝3P（B），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，因为事件A，B互斥，即P（AB）＝0，
而它们都不发生的概率为，则P（A+B），
又因为P（A）＝3P（B），
所以．
所以P（）＝1﹣P（B）．
故选：D．
（多选）49．设A，B为两个相互独立的随机事件，且，，下列命题中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，A，B为两个相互独立的随机事件，则与B，A与也是相互独立事件，
若，
则P（A|B）P（A），即P（A），
由此分析选项：
对于A，P（A|）P（A），A错误；
对于B，P（B）P（B），B正确；
对于C，P（AB）＝P（A）P（B），C正确；
对于D，P（∪B）＝P（）+P（B）﹣P（B）＝[1﹣P（A）]+P（B）﹣[1﹣P（A）]P（B），D正确．
故选：BCD．
（多选）50．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字A＝
a1 a2 a3 a4 a5
，其中A的各位数字中，ai∈{0，1}（i＝1，2，3，4，5），则（　　）
A．A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点
B．若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A＝11100的概率大于A＝00011的概率
C．若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为
D．若a1＝1，ak（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于A的各位数字中，都可能为1或0，则A的所有实验结果构成的样本空间中共有25＝32个样本点，A正确；
对于B，若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则P（A＝11100）（）3（1）2，
P（A＝00011）（）2（1）3，B错误；
对于C，若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，
如果A中各位数字之和是4，即5个数字中有4个“1”和1个“0”，则其概率P1（）4（1），C正确；
对于D，由于a1＝1，数字A中恰有两个0，即在a2、a3、a4、a5四个数中恰好有2个0，2个1，
则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率P2（）2×（）2，D正确．
故选：ACD．
51．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，设A＝“甲命中”，B＝“乙命中”，C＝“前4次中甲恰好射击3次”，
则CA+ABAB，
故P（C）＝P（A）+P（AB）+P（AB）．
故答案为：．
52．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3，4四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了1号箱子，此时主持人打开2号箱子的概率为　 ，在主持人打开2号箱子的情况下，奖品在4号箱子的概率为 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：根据题意，用Ai（i＝1，2，3，4）表示i号箱有奖品，用Bi表示主持人打开i号箱子，
由题知，P（B2|A2）＝0，，
又，
所以，
又，
故答案为：；．
53．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A，B，C，D）的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4：3：2：3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为 D （填入A，B，C，D中的1个）．
【答案】D．
【解答】解：根据题意，因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．
且0.8，0.9，0.7，0.6中只有0.9＞0.8，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B．
若他不买品牌A的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率P1．
若他不买品牌C的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为P2．
若他不买品牌D的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为P3．
由于P1＜P2＜P3，故可推测他不买的羽毛球的品牌为D．
故答案为：D．
54．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5，0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 　　 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为 　　 ．
【答案】0.7；0.22
【解答】解：根据题意，设甲击中无人机为事件A，乙击中无人机为事件B，无人机被中落为事件C，无人机被击落为事件D，
C的对立事件为无人机没有被击中，即事件，其概率P（）＝（1﹣0.5）（1﹣0.4）＝0.3，
则无人机被击中的概率P（C）＝1﹣P（）＝1﹣0.3＝0.7；
若无人机恰好被一人击中，即事件AB，其概率P（AB）＝（1﹣0.5）×0.4+0.5×（1﹣0.4）＝0.5，
若无人机恰好被两人击中，即事件AB，该概率P（AB）＝0.5×0.4＝0.2，
则P（D）＝P（AB）P（D|（AB））+P（AB）P（D|AB）＝0.5×0.2+0.2×0.6＝0.22．
故答案为：0.7；0.22．
55．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训．依据小概率α＝0.005的χ2独立性检验，零假设为H0；学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立．
（1）先填写列联表，再依据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
合计 100
（2）已知学生甲短跑成绩不合格，求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率；
（3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记M表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“小明去田径运动场锻炼”，0＜P（M）＜1，0＜P（N）＜1．已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大．证明：P（M|N）＞P（M|）．
参考公式与数据，其中：n＝a+b+c+d．
α 0.01 0.005 0.001
χα 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格 35 25 60
短跑成绩不合格 10 30 40
合计 45 55 100
χ2≈10.77根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
（2）；
（3）证明：由题意知，
所以，
因为0＜P（M）＜1，所以1﹣P（M）＞0，
所以P（NM）[1﹣P（M）]＞P（M）[P（N）﹣P（NM）]，
整理得P（NM）＞P（M）P（N），
所以P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（M）P（N）﹣P（N）P（NM），
即P（NM）P（）＞P（N）P（M），
因为0＜P（N）＜1，所以P（）＝1﹣P（N）＞0，
所以，即P（M|N）＞P（M|）．
【解答】解：（1）根据题意完善列联表如下：
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格 35 25 60
短跑成绩不合格 10 30 40
合计 45 55 100
根据列联表中的数据，计算得到，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
（2）由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人，
记事件A＝“甲在培训后短跑成绩合格”，事件B＝“甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件“甲每周自主锻炼时间不超过5小时”，
用频率估计概率知，，
由题意知，，
由全概率公式知，
由贝叶斯公式知，
即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为；
（3）证明：由题意知，
所以，
因为0＜P（M）＜1，所以1﹣P（M）＞0，
所以P（NM）[1﹣P（M）]＞P（M）[P（N）﹣P（NM）]，
整理得P（NM）＞P（M）P（N），
所以P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（M）P（N）﹣P（N）P（NM），
即P（NM）P（）＞P（N）P（M），
因为0＜P（N）＜1，所以P（）＝1﹣P（N）＞0，
所以，即P（M|N）＞P（M|）．
56．某系统配置有2n﹣1个元件（n为正整数），每个元件正常工作的概率都是p（0＜p＜1），且各元件是否正常工作相互独立．如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作．现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
（1）当n＝3，p＝0.5时，求该系统正常工作的概率；
（2）现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）答案见解析．
【解答】解：（1）根据题意，设A＝“系统正常工作”，
则P（A）．
（2）根据题意，系统配置有2n﹣1个元件时，记系统正常工作的概率为P2n﹣1，
当前有2n+1个元件，记系统正常工作的概率为P2n+1，考虑前2n﹣1个元件：
第一种情况：前2n﹣1个元件恰有n﹣1个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：；
第二种情况：前2n﹣1个元件恰有n个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：；
第三种情况：前2n﹣1个元件至少有n+1个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：
所以，
，
则，
当p时，P2n+1﹣P2n﹣1＝0，系统可靠性不变，
当p时，P2n+1﹣P2n﹣1＜0，系统可靠性降低，
当p时，P2n+1﹣P2n﹣1＞0，系统可靠性提高，
故当时，系统可靠性不变，当时系统可靠性降低，当时系统可靠性提高．
57．投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投．在战国时期较为盛行，在唐朝时期，发扬光大．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某单位开展投壶游戏．现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中则此人继续投壶，若未投中则换为对方投壶．无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为0.3，乙每次投壶的命中率均为0.4．由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投壶的人是甲的概率；
（2）求第i次投壶的人是乙的概率．
【答案】（1）0.45；（2）Pi（）i﹣1．
【解答】解：（1）根据题意，设“第i次投壶的人是甲”为事件Ai，设“第i次投壶的人是乙”为事件Bi，
则P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）＝0.5×0.3+0.5×（1﹣0.4）＝0.45；
（2）根据题意，设P（Bi）＝Pi，则P（Ai）＝1﹣Pi，
则有P（Bi+1）＝P（Bi）P（Bi+1|Bi）+P（Ai）P（Bi+1|Ai）＝0.4Pi+（1﹣0.3）（1﹣Pi）＝0.7﹣0.3Pi，
则有Pi+1＝0.7﹣0.3Pi，即Pi+1Pi，
变形可得：Pi+1（Pi），
又由P1，则P1，
故数列{Pi}是以为首项，为公比的等比数列，
则Pi（）i﹣1，
变形可得：Pi（）i﹣1，
故Pi（）i﹣1．
58．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；
（ii）证明见解析．
【解答】（1）解：设A1＝“第1天选择米饭套餐”，A2＝“第2天选择米饭套餐”，
则“第1天不选择米饭套餐”，
由题意可得，，，，，
由全概率公式可得，；
（2）证明：（i）设An＝“第n天选择米饭套餐”，
则Pn＝P（An），则，
由题意，，，
由全概率公式可得，，
因此，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当n为大于1的奇数时，；
当n为正偶数时，．
综上所述，当n≥2时，．
59．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【答案】（I）3，9.8；
（Ⅱ）．
【解答】（I）由题意，P（X＜300）＝0.3，P（300≤X＜700）＝P（X＜700）﹣P（X＜300）＝0.7﹣0.3＝0.4，P（700≤X＜900）＝P（X＜900）﹣P（X＜700）＝0.9﹣0.7＝0.2，P（X≥900）＝1﹣0.9＝0.1
Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
∴E（Y）＝0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1＝3
D（Y）＝（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1＝9.8
∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；
（Ⅱ）P（X≥300）＝1﹣P（X＜300）＝0.7，P（300≤X＜900）＝P（X＜900）﹣P（X＜300）＝0.9﹣0.3＝0.6
由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）．
60．某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
（Ⅰ）若n＝1，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；
（Ⅱ）若n＝2，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）A，B不相互独立，理由见解析．
【解答】解：（Ⅰ）一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元，
故所求概率为．
（Ⅱ）由题意，事件AB表示“一名员工所获得的红包金额为100元”．
因为100＝50+50＝40+60＝60+40，
所以．
B＝“一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元，
因为110＝50+60＝60+50，120＝60+60，
所以；
A＝“一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”，
因为80＝40+40，90＝40+50＝50+40，
所以．
所以，
所以A，B不相互独立．

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