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5.3 概率
▉考点01 用频率估算概率
频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
▉考点02 互斥、对立、独立事件的辨别
设事件与所含的结果组成的集合分别为.
①若事件件与互斥,则集合;nn
②若事件件与对立,则集合且.
事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立 ；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响；
▉考点01 样本点与样本空间（共4小题）
1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
（多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．1000名运动员是总体
B．每名运动员的年龄是个体
C．样本容量为100
D．所抽取的100名运动员的年龄是样本
4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数．
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
▉考点02 随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
5．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　）
A．A为必然事件 B．A＝B+C
C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件
（多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
▉考点03 事件的包含关系及相等（共1小题）
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有（　　）
A．M N B．M N C．M＝N D．M＜N
▉考点03 事件的并事件（和事件）（共3小题）
9．打靶3次，记事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A0∪A1表示（　　）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
（多选）10．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B） B．
C．事件C与D互斥 D．
11．已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A、B满足，，则A＝　 　 ．
▉考点05 事件的交事件（积事件）（共3小题）
12．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
（多选）13．如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（　　）
A． B． C． D．
14．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则　 ．
▉考点06 事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
15．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件A＝“两次取出球的标号为1和4”，事件B＝“第二次取出球的标号为4”，事件C＝“两次取出球的标号之和为5”，则（　　）
A． B．
C．事件A与C互斥 D．事件B与C相互独立
16．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2
张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（　　）
①2张卡片都不是蓝色；
②2张卡片恰有1张是蓝色；
③2张卡片至少有1张是蓝色；
④2张卡片至多一张为蓝色．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．下列说法正确的是（　　）
A．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
B．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B相互对立
D．若A，B为相互对立事件，则A与B一定互斥
▉考点07 事件的互为对立及对立事件（共5小题）
18．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（　　）
①2张卡片都不是红色；
②2张卡片恰有1张是红色；
③2张卡片至少有1张是红色；
④2张卡片都为绿色．
A．1 B．2 C．3 D．4
19．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　）
A．恰好有一件次品与全是次品
B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品
D．至少有一件正品与至少有一件次品
20．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列是对立事件的是（　　）
A．A与C B．B与E C．B与C D．C与E
21．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（　　）
A．① B．②④ C．③ D．①③
22．食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法．压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低．浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用．我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨油的有芝麻油、花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等．现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是（　　）
A．“取出芝麻油”和“取出花生油”
B．“取出浸出油”和“取出大豆油”
C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油”
D．“取出压榨油”和“取出浸出油”
▉考点08 概率及其性质（共1小题）
23．某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是”□“否”□
学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（　　）
A． B． C． D．
▉考点09 互斥事件的概率加法公式（共4小题）
24．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　）
A． B． C． D．
25．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测．设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为　　 ．
26．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则 　　 ．
27．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
（Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
▉考点10 等可能事件和等可能事件的概率（共6小题）
28．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（　　）
A． B． C． D．
29．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
30．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是（　　）
A． B． C． D．
31．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 　　 ．
32．在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都是等可能的从一个顶点爬到另一个顶点，那么它爬行了2次又回到起点的概率是　　 ．
33．为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A组 B组 C组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
▉考点11 古典概型及其概率计算公式（共4小题）
34．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
35．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（　　）
A． B． C． D．
36．已知一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
37．从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 　　 ．
▉考点12 列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
38．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．
39．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
40．某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A，B，C三个行政区中分别有18，27，9个社区．
（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
（ⅰ）试列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
▉考点13 频率及频率的稳定性（共4小题）
41．下列说法错误的是（　　）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
42．下列说法正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
（多选）43．下列说法正确的是（　　）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
44．下列说法：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；
②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面．因此出现正面的概率是0.51；
③随机事件A的概率是频率值，频率是概率的近似值；
④随机事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则A是不可能事件；
⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；
⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；
其中正确的有　　 ．
▉考点14 模拟方法估计概率（共4小题）
45．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
46．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
47．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（　　）
A． B． C． D．
48．平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）．
大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．
（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．
▉考点15 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性（共4小题）
49．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
（多选）50．依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（　　）
A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D
（多选）51．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A．当n＝2时， B．当n＝2时，A与B不独立
C．当n＝3时， D．当n＝3时，A与B不独立
52．（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一次出现奇数点”，B＝“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由；
（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过．已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响．求两人中恰有一人通过考核的概率．
▉考点16 相互独立事件的概率乘法公式（共8小题）
53．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为；
②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为；
③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为；
④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是．
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
54．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
55．如图，用A，B，C，D四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件A正常工作，且B，C，D三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件B，C，D正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
（多选）56．下列说法正确的是（　　）
A．现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的众数为7
B．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C．若样本数据x1，x2， ，x10的方差为2，则数据3x1+1，3x2+1， ，3x10+1的方差为18
D．若事件A，B相互独立，，则
57．小李在网上买了一本书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为，衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为　 ．
58．若事件A，B相互独立，，，则 　 ．
59．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为，传输方案为三次传输．三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为 　　 ；若发送1，则译码为1的概率为 　　 ．
60．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．
（1）考生甲有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；
（2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．5.3 概率
▉考点01 用频率估算概率
频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
▉考点02 互斥、对立、独立事件的辨别
设事件与所含的结果组成的集合分别为.
①若事件件与互斥,则集合;nn
②若事件件与对立,则集合且.
事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立 ；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响；
▉考点01 样本点与样本空间（共4小题）
1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】C
【解答】解：闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间有6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次．
故选：C．
2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解答】解：根据题意，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则．
故选：C．
（多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．1000名运动员是总体
B．每名运动员的年龄是个体
C．样本容量为100
D．所抽取的100名运动员的年龄是样本
【答案】BCD
【解答】解：为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析，
则总体是1000名运动员的年龄情况，故A错误；
个体是每名运动员的年龄，故B正确；
样本容量为100，故C正确；
样本是所抽取的100名运动员的年龄，故D正确．
故选：BCD．
4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数．
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
【答案】（1）样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}；
（2）事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”；
（3）集合{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}．
【解答】解：（1）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数，
则样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}；
（2）由题意可知，{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”；
（3）由题意可知，事件“点数之和不超过5”，即x+y≤5，
用集合表示为：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}．
▉考点02 随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
5．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　）
A．A为必然事件 B．A＝B+C
C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件
【答案】D
【解答】解：由题意知事件A包括：向下的面为1，2，3，4．
事件B包括：向下的面为2，4，
事件C包括：向下的面为1，3，
故事件A为必然事件，事件B、C为可能事件，故A正确；
A＝B+C，故B正确；
B，C为对立事件，故C正确；
A，C不为互斥事件，故D错误．
故选：D．
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件
【答案】D
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，
事件M是点数为1或2，事件N是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，
M∩N是点为2，是随机事件，是可能发生的，
M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件．
故选：D．
（多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
【答案】BCD
【解答】解：∵某同学参加3次不同测试，
用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，
则J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；
∵J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，
∴表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；
J1∩J2∩J3表示J1、J2、J3同时发生，
即表示三次测试成绩均及格，故C正确；
表示测试成绩均不及格，
∴表示三次测试成绩均不及格，故D正确．
故选：BCD．
▉考点03 事件的包含关系及相等（共1小题）
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有（　　）
A．M N B．M N C．M＝N D．M＜N
【答案】A
【解答】解：因为向上一面都是正面的为事件 M，向上一面至少有一枚是正面的为事件N，
则事件M发生，事件N一定发生，故事件N包含事件M，即M N．
故选：A．
▉考点04 事件的并事件（和事件）（共3小题）
9．打靶3次，记事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A0∪A1表示（　　）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
【答案】C
【解答】解：根据题意，A0表示共击中0次，A1表示共击中1次，
所以A0∪A1表示“至多击中1次”．
故选：C．
（多选）10．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B） B．
C．事件C与D互斥 D．
【答案】ABD
【解答】解：根甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签，
乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签，
从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1，
事件B：从乙袋中抽取号签5，
事件C：抽取的两个号签和为4，
事件D：抽取的两个号签编号不同，
据题意，样本点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（3，5），（3，6），共有18种可能的结果，
则，∴P（A）＝2P（B），故A正确；
事件C包含的样本点有（1，3），（3，1），（2，2），共3种可能的结果，
则，故B正确；
事件D包含的样本点有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），
（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），
（3，6）（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），
（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），共15种可能的结果，
∴事件C与D不互斥，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
11．已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A、B满足，，则A＝　 　 ．
【答案】{a，b}或{a，b，d}．
【解答】解：根据题意，集合A、B满足，，
则，则a，b∈A，c，e A，a，b，c，e B，d∈B，
当B＝{d}时，则A＝{a，b}或{a，b，d}．
故答案为：{a，b}或{a，b，d}．
▉考点05 事件的交事件（积事件）（共3小题）
12．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
【答案】C
【解答】解：试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个，
所以事件A∪B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个，
事件A∩B中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
（多选）13．如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解答】解：一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，
设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，
对于A，由题意得，“甲元件正常”，BC＝“乙、丙元件同时故障”，
“乙原件和丙原件至少有一个正常”，
∴表示电路是通路．
对于B，AB＝“甲、乙元件同时故障”，
“甲原件和乙原件至少有一个正常”，
BC＝“乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，
不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路．
对于C，“甲元件正常”，“乙元件正常”，
“丙元件正常”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，
故表示电路是通路．
对于D，“甲、乙元件均正常”，“甲、丙元件均正常”，
∴表示电路是通路．
故选：ACD．
14．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
▉考点06 事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
15．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件A＝“两次取出球的标号为1和4”，事件B＝“第二次取出球的标号为4”，事件C＝“两次取出球的标号之和为5”，则（　　）
A． B．
C．事件A与C互斥 D．事件B与C相互独立
【答案】D
【解答】解：根据题意，设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球，
Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，共12个，
A＝{（1，4），（4，1）}，则，A错误；
B＝{（1，4），（2，4），（3，4）}，则，
C＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，则，
BC＝{（1，4）}，，B错误；
AC＝{（1，4），（4，1）}，事件A与C不互斥，C错误；
由，B与C相互独立，D正确．
故选：D．
16．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（　　）
①2张卡片都不是蓝色；
②2张卡片恰有1张是蓝色；
③2张卡片至少有1张是蓝色；
④2张卡片至多一张为蓝色．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：
“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色1张绿色”、“一张蓝色1张绿色”，
“2张卡片都不是蓝色”与“2张卡片都为蓝色”是互斥而不对立事件，故①正确；
“2张卡片恰有1张是蓝色”与“2张卡片都为蓝色”是互斥而不对立事件，故②正确；
“2张卡片至少有1张是蓝色”与“2张卡片都为蓝色”能同时发生，不是互斥事件，故③错误；
“2张卡片至多一张为蓝色”与“2张卡片都为蓝色”是对立事件，故④错误．
故选：B．
17．下列说法正确的是（　　）
A．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
B．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B相互对立
D．若A，B为相互对立事件，则A与B一定互斥
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：只有事件A，B互斥时，才有P（A+B）＝P（A）+P（B）成立，A错误；
对于B：若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1，B错误；
对于C：若P（A）+P（B）＝1且事件A，B互斥时，才有A与B相互对立，C错误；
对于D：对立事件一定是互斥事件，D正确．
故选：D．
▉考点07 事件的互为对立及对立事件（共5小题）
18．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（　　）
①2张卡片都不是红色；
②2张卡片恰有1张是红色；
③2张卡片至少有1张是红色；
④2张卡片都为绿色．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．
给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：
“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．
而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．
∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．
故选：C．
19．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　）
A．恰好有一件次品与全是次品
B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品
D．至少有一件正品与至少有一件次品
【答案】C
【解答】解：根据题意，从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，其可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；
依次分析选项：
对于A，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件，不符合题意；
对于B，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件，不符合题意；
对于C，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是正品是对立事件，符合题意；
对于D，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件，不符合题意．
故选：C．
20．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列是对立事件的是（　　）
A．A与C B．B与E C．B与C D．C与E
【答案】B
【解答】解：∵某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，
记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，
事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，
∴A与C有可能同时发生，故A和C不是对立事件；
B与E既不能同时发生，也不能同时不发生，故B与E是对立事件；
B与C有可能同时发生，故B和C不是对立事件；
C与E有可能同时发生，故C和E不是对立事件．
故选：B．
21．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（　　）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选：C．
22．食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法．压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低．浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用．我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨油的有芝麻油、花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等．现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是（　　）
A．“取出芝麻油”和“取出花生油”
B．“取出浸出油”和“取出大豆油”
C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油”
D．“取出压榨油”和“取出浸出油”
【答案】D
【解答】解：压榨油的有芝麻油、花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等．
现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取一桶，
对于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”是互斥但不对立事件，故A错误；
对于B，取出浸出油”和“取出大豆油”有可能同时发生，不是互斥事件，更不是对立事件，故B错误；
对于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”是互斥但不对立事件，故C错误；
对于D，“取出压榨油”和“取出浸出油”即不能同时发生，也不能同时不发生，互为对立事件，故D正确．
故选：D．
▉考点08 概率及其性质（共1小题）
23．某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是”□“否”□
学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面的概率都是，
则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数也是200人，
又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，
则回答第一个问题题且选择“是”的人有人，
因此回答第二个问题且选择“是”的有115﹣100＝15人，
故可以估计，该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为．
故选：A．
▉考点09 互斥事件的概率加法公式（共4小题）
24．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知事件A，B互斥，，
则P（A）+P（B），
又P（A）＝2P（B），
则P（B），
1．
故选：D．
25．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测．设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为　　 ．
【答案】0.05．
【解答】解：“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件，
因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，
则“抽到丙级品”的概率为1﹣0.80﹣0.15＝0.05．
故答案为：0.05．
26．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则 　　 ．
【答案】0.3．
【解答】解：由题意得，
因为为互斥事件，
所以P（B+A）＝P（）+P（）＝0.5，
又因为①，
②，
式子①②相加得：，
故，
所以P（AB）＝0.4，
则．
故答案为：0.3．
27．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
（Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）第四盘棋甲赢分两种情况．
若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，；
若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，．
设事件A为“第四盘棋甲赢”，
则第四盘棋甲赢的概率．
（Ⅱ）若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况．
若甲第三盘赢，；
若甲第四盘赢，；
若甲第五盘赢，．
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为：
．
▉考点10 等可能事件和等可能事件的概率（共6小题）
28．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：甲获胜概率是1
故选：C．
29．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22＝12种．
其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21＝4种，
∴其中至少有1名女生的概率P．
故选：A．
30．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：所有的三位正整数N共有900个，其中，
使对数log2N是一个正整数的三位正整数N有27＝128、28＝256、29＝512，共3个，
故对数log2N是一个正整数的概率是 ，
故选：C．
31．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，
设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的情况有二种：
①每步上一阶，走二步，概率为；
②第一步上两阶，概率为．
∴该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为：
P．
故答案为：．
32．在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都是等可能的从一个顶点爬到另一个顶点，那么它爬行了2次又回到起点的概率是　　 ．
【答案】
【解答】解：等可能的从一个顶点爬到另一个顶点，那么它爬行了2次，所有的方法有3×3＝9
它爬行了2次又回到起点所有的方法有3×1＝3
由古典概型的概率公式得
它爬行了2次又回到起点的概率是
故答案为
33．为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A组 B组 C组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
【答案】（I）660．
（II）90．
（III）．
【解答】解：（I）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
∴，
∴x＝660，
（II）C组样本个数是y+z＝2000﹣（673+77+660+90）＝500
用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，应在C组抽取的个数为360．
（III）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设测试不能通过事件为M，
C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）
（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，
满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个
根据等可能事件的概率知P．
▉考点11 古典概型及其概率计算公式（共4小题）
34．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
∴在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中，
即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
经统计，20组中一共有13组符合要求，
有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428，
故概率为．
故选：D．
35．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，
对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为．
故选：C．
36．已知一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，
∵数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数，
∴，∴，
从这5个数中任取2个，结果有：
，共10种，
这2个数字之积小于5的结果有：，共4种，
∴这2个数字之积小于5的概率为．
故选：B．
37．从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 　　 ．
【答案】
【解答】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，
基本事件总数n28，
这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数m＝2×4＝8，
则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是p．
故答案为：．
▉考点12 列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
38．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：记“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”分别为a、b、c、d，
则所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），
（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）共12个，
所以所求事件的概率．
故选：D．
39．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【答案】（1）m＝1840，n＝0.46，p＝0.0018，q＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.036；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝4000×（0.046×10）＝1840，
n＝0.046×10＝0.46，
p＝0.018÷10＝0.0018，
q＝4000×0.006＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，
设上述6户为a，b，c，d．e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），
在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，
具体为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，f），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）}，
记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为A＝{（a，f），（b，f），（c，f），（d，f），（e，f）}，
所以．
40．某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A，B，C三个行政区中分别有18，27，9个社区．
（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
（ⅰ）试列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
【答案】（Ⅰ）2，3，1；
（Ⅱ）（ⅰ）（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c1），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c1），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b2，b3），（b2，c1），（b3，c1）；
（ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）社区总数为27+18+9＝54，样本容量与总体中的个体数之比为，
所以从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数分别为2，3，1；
（Ⅱ）（ⅰ）设a1，a2为从A行政区中抽取的社区，b1，b2，b3为从B行政区中抽取的社区，c1为从C行政区中抽取的社区，
在这6个社区中随机抽取2个，全部的可能结果有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c1），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c1），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b2，b3），（b2，c1），（b3，c1）；
（ⅱ）所以的基本事件共有15个，其中抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的有9个，故所求概率为．
▉考点13 频率及频率的稳定性（共4小题）
41．下列说法错误的是（　　）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
对于B，根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
对于C，抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
对于D，由概率的定义，某种疾病的治愈率为10%，则第10个人的治愈率仍为10%，故D错误．
故选：D．
42．下列说法正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确．
频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确．
故选：C．
（多选）43．下列说法正确的是（　　）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】AB
【解答】解：对于A．根据概率的定义可知，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故A正确．
对于B，某人连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，这枚骰子的质地可能是不是均匀的，故B正确；
对于C，随机事件的概率指的是事件发生的可能性的大小，大概率事件未必发生，小概率事件未必不发生，某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖，故C不正确；
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，不是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水，而是明天降水概率为70%指明天该地区降水的可能性为70%，故D不正确；
故选：AB．
44．下列说法：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；
②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面．因此出现正面的概率是0.51；
③随机事件A的概率是频率值，频率是概率的近似值；
④随机事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则A是不可能事件；
⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；
⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；
其中正确的有　　 ．
【答案】③⑤
【解答】解：概率指的是在无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率
①通过定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，第一问应该是在10件次品左右波动，期望为10，而并不是一定出现10次，故①错
②100次并不是无穷多次，出现的频率也并非就是概率本身，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，它的正面的概率为0.5，故②错
③随机事件的概率是通过多次重复试验，算出它的频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以说随机事件的概率其实是一个频率值，这个频率值又是概率的近似值，故③正确
④随机事件的概率趋于0，说明发生这种事件的可能性很小，但并不表示不会发生，就像买六合彩一样，中头奖的可能性很低，但还是会有，不可能事件指的是绝对不会发生的事件，可以看出，趋于0的概率事件并不等于不可能发生的事件，故④错
⑤频率就是重复试验时，出现的次数与重复试验的次数的比值，故出现1的频率为，故⑤正确
⑥根据定义随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，故⑥错
故答案为③、⑤
▉考点14 模拟方法估计概率（共4小题）
45．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】C
【解答】解：根据题意，在20组数据中，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，
则一年内这3台设备都不需要维修的概率P．
故选：C．
46．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设事件A＝“三天中至少有两天下雨”，
20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A 的概率近似为．
故选：D．
47．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共9组，
所以所求概率．
故选：D．
48．平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）．
大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．
（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．
【答案】（1）2.0；
（2）（i）0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）．
【解答】解：（1）由题，区域N的面积为π，记区域M的面积为SM，
则，所以SM＝3.14×0.64≈2.0；
（2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx，
针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）试验条件对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}表示的区域面积为3π，
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}表示的区域面积为2，
所以针与平行直线有公共点的概率为，
由题，，所以．
▉考点15 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性（共4小题）
49．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲），P（乙），P（丙），P（丁），
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）P（乙）P（丙），
D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），
故选：B．
（多选）50．依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（　　）
A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，依次掷两个质地均匀的骰子，其样本空间：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点，
事件A＝“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，
则A＝{（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共18个样本点，
事件B＝“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，
则B＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4）}，共24个样本点，
事件C＝“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，
则C＝{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共10个样本点，
事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，
则D＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，共9个样本点，
，
依次分析选项：
对于A，AC＝{（4，5），（4，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，，A与C不是相互独立事件；
对于B，AD＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，，A与D不是相互独立事件；
对于C，BC＝{（5，4），（6，3），（6，4）}，，B与C不是相互独立事件；
对于D，BD＝{（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），（6，2），（6，4）}，，B与D是相互独立事件．
故选：ABC．
（多选）51．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A．当n＝2时， B．当n＝2时，A与B不独立
C．当n＝3时， D．当n＝3时，A与B不独立
【答案】ABC
【解答】解：A选项，当n＝2时，事件AB表示2次中全部正面朝上，，所以A选项正确；
B选项，当n＝2时，，，由上可知，
显然P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不独立，因此B选项正确；
C选项，当n＝3时，，，，
所以，故C选项正确；
D选项，当n＝3时，，，，
显然P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B独立，因此D选项不正确．
故选：ABC．
52．（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一次出现奇数点”，B＝“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由；
（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过．已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响．求两人中恰有一人通过考核的概率．
【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；
（2）0.2212．
【解答】解：（1），，，
则P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B独立；
（2）设C＝“甲通过考核”，D＝“乙通过考核”，
P（C）＝1﹣（1﹣0.7）2＝0.91，P（D）＝1﹣（1﹣0.6）2＝0.84，0.91×（1﹣0.84）+（1﹣0.91）×0.84＝0.2212，
即恰有一人通过考核的概率为0.2212．
▉考点16 相互独立事件的概率乘法公式（共8小题）
53．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为；
②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为；
③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为；
④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是．
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解答】解：对于①，某学生在上学的路上要经过4个路口，
假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，
记事件Ai（i＝1，2，3，4）表示第i路口遇到红灯，
则该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故①正确，
对于②，由题知此密码被破译的概率为：
，故②错误，
对于③，∵从甲袋中任取一个球，取到红球的概率为，
取到白球的概率为，
从乙袋中任取一个球，取到红球的概率为，
∴从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：
，故③正确；
对于④，设事件A和B发生的概率分别为p1，p2，又事件A和B相互独立，
由题有，即，
解得，故④错误．
故选：A．
54．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：甲队每场获胜的概率为，甲队获得胜利的情况为2：0，2：1，
若比分为2：0，其概率为P，
若比分为2：1，其概率为P，
则甲队获得胜利的概率．
故选：A．
55．如图，用A，B，C，D四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件A正常工作，且B，C，D三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件B，C，D正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：已知元件A正常工作的概率为，元件B，C，D正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，
元件B，C，D均不正常工作的概率为，
则元件B，C，D中至少有一个正常工作的概率为，
从而该系统正常工作的概率为．
故选：B．
（多选）56．下列说法正确的是（　　）
A．现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的众数为7
B．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C．若样本数据x1，x2， ，x10的方差为2，则数据3x1+1，3x2+1， ，3x10+1的方差为18
D．若事件A，B相互独立，，则
【答案】BC
【解答】解：对于A，数据由小到大排列为：3，3，4，5，6，7，7，9，9，9，众数为9，故A错误；
对于B，连续射击三次，事件“至少两次中靶”包括两次中靶和三次中靶；
事件“至多有一次中靶”包括没有中靶和中靶一次，它们不可能同时发生，但必有一个发生，
则它们是对立事件，故B正确；
对于C，数据x1，x2，…，x10的方差为2，数据3x1+1，3x2+1， ，3x10+1的方差为32×2＝18，故C正确；
对于D，事件A，B相互独立，，故D错误．
故选：BC．
57．小李在网上买了一本书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为，衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，小明买的书按时送达的概率为，小明买的衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，
则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为．
故答案为：．
58．若事件A，B相互独立，，，则 　 ．
【答案】．
【解答】解：因为事件A，B相互独立，所以与B相互独立，A与相互独立，
所以，
，
因为互斥，所以．
故答案为：．
59．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为，传输方案为三次传输．三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为 　　 ；若发送1，则译码为1的概率为 　　 ．
【答案】；
【解答】解：在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，
发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为，
发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为，
传输方案为三次传输，
三次传输是指每个信号重复发送3次．三次传输，发送0，相当于依次发送0，0，0，
则依次收到0，0，1的事件，是发送0接收0，发送0接收0，发送0接收1的3个事件的积，
它们相互独立，
∴发送0，则依次收到0，0，1的概率为；
三次传输，发送1，
∴译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，
∴若发送1，则译码为1的概率为．
故答案为：； ．
60．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．
（1）考生甲有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；
（2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
设事件N表示“猜对本题至少得（2分）”，
则N＝{A，B，D，AB，AD，BD，ABD}，有7个样本点，
所以．
（2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得（18分）的情况包含：
事件F：乙得（9分）有6+3，3+6两种情况，丙得（9分）有6+3，3+6两种情况，
则；
事件E：乙得（12分）有6+6一种情况，丙得（6分）有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件G：乙得（6分）有6+0，0+6，3+3三种情况，丙得（12分）有6+6一种情况，
则，
故乙丙总分刚好得（18分）的概率．

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