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5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
▉考点01 知识对标
用样本估计总体
用样本的频率分布估计总体的分布.
▉考点02 规律方法
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律,我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.并由此估计总体的分布情况.
▉考点01 用样本估计总体（共3小题）
1．某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h．这里的总体是（　　）
A．该校的所有大学生
B．该校所有大学生的平均每天自习时间
C．所调查的100名大学生
D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间
【答案】B
【解答】解：由题意可得这里的总体为该校大学生平均每天的自习时间．
故选：B．
2．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是1000名学生
D．个体指的是1000名学生中的每一名学生
【答案】B
【解答】解：某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，
对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B，样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C，样本容量指的是1000，故C错误；
对于D，个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D错误．
故选：B．
3．某卫生部门为了调查本地区高中生的吸烟情况，随机抽出高一、高二、高三学生各100人，调查中使用了以下两个问题：
问题1：你是否是高三学生？
问题2：你是否经常抽烟？
调查者设计了一个随机化装置，是一个装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个小球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题．如果在300人中，共有58人回答“是”，估计该地区中学生吸烟人数的百分比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，每名学生从袋子中抽取1个白球或红球的可能性都是0.5，
所以300人中大约有300×0.5＝150人回答了第一个问题，另150人回答第二个问题，
在摸出白球的情况下，回答是的概率为，
因此，可以设吸烟的人数的概率为x，
则列式为（x）×300＝58，
解得x，
故选：C．
▉考点02 用样本估计总体的集中趋势参数（共4小题）
4．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差
【答案】B
【解答】解：对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，
则，
因为没有确定2（x1+x6），x5+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，
例如：1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；
例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2，∴m＜n；
例如1，2，2，2，2，2，可得，∴m＞n；故A错误；
对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，
则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，
例如：2，4，6，8，10，12，则平均数，
标准差，
4，6，8，10，则平均数，
标准差，
显然，即s1＞s2；故C错误；
对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数均为，故B正确；
对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
则x6﹣x1≥x5﹣x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D错误．
故选：B．
5．下列命题是真命题的有（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按4：3：1的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32
B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．一组数7，6，5，4，3，3，3，2，2，1的70%分位数为4
【答案】B
【解答】解：A：由已知可得甲，丙分别抽取12，3，则样本容量为12+9+3＝24，故A错误，
B：平均数为，中位数为3，众数为3，故B正确，
C：乙组数据的平均数为，则方差为5，
则这两组数据乙相对稳定，故C错误，
D：该组数从小到大排列为：1，2，2，3，3，3，4，5，6，7，由10×70%＝7，
则70%的分位数为，故D错误，
故选：B．
6．为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲、乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示．下列结论正确的是（　　）
A．甲得分的极差比乙得分的极差小
B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小
C．甲得分的方差比乙得分的方差大
D．甲得分的25%分位数比乙得分的25%分位数大
【答案】C
【解答】解：由茎叶图可知，
甲同学所得分数为14、16、23、27、32、38；
乙同学所得分数为13、22、24、26、28、37；
甲同学所得分数的极差为38﹣14＝24，
乙同学所得分数的极差为37﹣13＝24，
故选项A不符合题意；
甲同学所得分数的平均数为（14+16+23+27+32+38）＝25，
乙同学所得分数的平均数为（13+22+24+26+28+37）＝25，
故选项B不符合题意；
甲同学所得分数的方差为[（14﹣25）2+（16﹣25）2+（23﹣25）2+（27﹣25）2+（32﹣25）2+（38﹣25）2]
（112+92+22+22+72+132），
乙同学所得分数的平均数为[（13﹣25）2+（22﹣25）2+（24﹣25）2+（26﹣25）2+（28﹣25）2+（37﹣25）2]
（122+32+12+12+32+122），
故选项C符合题意；，
∵6×25%＝1.5，
∴甲同学得分的25%分位数为16，
乙同学得分的25%分位数为22；
故选项D不符合题意；
故选：C．
7．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　 分．
【答案】85
【解答】解：甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，
算得甲班的平均成绩是90分，
乙班的平均成绩是81分，
该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．
故答案为：85
▉考点03 平均数（共6小题）
8．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
【答案】C
【解答】解：已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，
若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，
即，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7x8，则，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的平均数是x8，
又
，，
与的分子相同，比较分母，可知．
故选：C．
9．下列说法正确的是（　　）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若x1，x2， ，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8
【答案】D
【解答】解：对于A，数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，
5×0.6＝3，
∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是（5+6）＝5.5，故A错误；
对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，
∴（4+6+7+8+9+a）＝7，
解得a＝8，故B错误；
对于C，用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；
对于D，若x1，x2， ，x10的标准差为4，
则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8，故D正确．
故选：D．
10．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【解答】解：根据题意，由数据分布图知，
数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，
数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，
数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，
所以a＜b＜c．
故选：A．
11．若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（　　）
A．数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为13
B．数据3x1，3x2， ，3x10的方差为12
C．
D．
【答案】B
【解答】解：依题意，，，
对于A，，故A正确；
对于B，依题意，，
所以数据3x1，3x2， ，3x10的方差为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由，
解得，故D正确．
故选：B．
12．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（　　）
A．甲：平均数为3，中位数为2
B．乙：极差为3，众数为3
C．丙：平均数为2，方差为2.4
D．丁：众数为2，方差为2.4
【答案】C
【解答】解：甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．
对于A，甲的5个点数分别是1，1，2，5，6，
平均数为3，中位数为2，故A可出现；
对于B，乙的5个点数分别是3，3，3，3，6，极差为3，众数为3，故B可出现；
对于D，丁的5个点数分别是2，2，2，3，6，众数为2，平均数为3，
其方差为，故D可出现；
对于C，丙的平均数为2，又有点数6，
则方差，
不可能满足C，丙不会出现点数6，故C中一定没有出现点数6．
故选：C．
13．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中错误的是（　　）
A．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定
D．甲、乙这次射击成绩的极差相同
【答案】D
【解答】解：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，
对于A，将甲的成绩从小到大排序：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10．
总共10个数字，60%×10＝6．
∴第60百分位数是第6项与第7项的平均数为7.5，故A正确．
对于B，甲的射击成绩的平均值为（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）＝7，
乙的射击成绩的平均值为（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）＝7，
∴甲、乙射击成绩的平均值相同，故B正确．
对于C，∵甲、乙的平均值相同，
则甲的方差为：
，
乙的方差为：
，
∵，∴乙的成绩比甲稳定，故C正确．
对于D，甲的射击成绩的极差为10﹣4＝6，
乙的射击成绩的极差为9﹣5＝4，
∴甲、乙的极差不相同，故D错误．
故选：D．
▉考点04 中位数（共3小题）
14．小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替．已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则|x﹣y|的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：不妨设x≤y，
当x＝3，y＝4时，1，2，3，3，3，4，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝5时，1，2，3，3，3，4，5，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝3，y＝6时，1，2，3，3，3，4，5，6，6，|x﹣y|＝3；
当x＝1，y＝3时，1，1，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝2；
当x＝2，y＝3时，1，2，2，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝1；
当x＝3，y＝3时，1，2，3，3，3，3，4，5，6，|x﹣y|＝0．
故选：D．
15．一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【解答】解：一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，
则众数为2，则中位数为，
所以将数据按照从小到大排列得1，2，2，x，5，7，则，解得x＝4，
则平均数为．
故选：B．
16．已知两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，则两组数据合并为一组数据后（　　）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数一定不变，方差可能变小
C．中位数可能改变，方差可能变大
D．中位数可能改变，方差可能变小
【答案】A
【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3，y1≤y2≤y3，
由两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，
得x2＝y2，两组数据合并为一组数据后，则中位数为，
故中位数不变，则C、D错误；
这两组数据的平均数分别为，，方差均为，
，，
，可得，，
，，
则两组数据合并为一组数据后的平均数，
方程
，
当且仅当时等号成立，即方差可能变大，不会变小，故A正确，B错误．
故选：A．
▉考点05 用样本估计总体的离散程度参数（共5小题）
17．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（　　）
A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75
【答案】B
【解答】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．
故选：B．
18．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（　　）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
【答案】A
【解答】解：记甲同学三次考试名次为a，b，c，
则2，1，
若甲同学三次考试名次中低于第3名的，不妨设a≥4，
则（a﹣2）2≥4，与1相矛盾，故A正确，
若三次考试名次为1，1，4，满足平均数为2，众数为1，故B错，
若三次考试名次为2，2，4，满足中位数为2，众数为2，故C错，
若三次考试名次为2，2，4，满足众数为2，方差大于1，故D错，
故选：A．
（多选）19．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中正确的是（　　）
A．甲、乙这次射击成绩的极差相同
B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定
D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
【答案】BCD
【解答】解：甲的极差为6，乙的极差为4，故选项A错误；
甲的平均数为7，乙的平均数为7，故选项B正确；
因为甲的方差为4，乙的方差为1，2，所以乙比甲的成绩稳定，故选项C正确；
由于10×60%＝6，将甲的成绩从小到大排列后的第6和7个数的平均数为7.5，故甲的第60百分位数为7.5，故选项D正确．
故选：BCD．
20．已知样本数据a1、a2、a3、a4、a5的方差，则样本数据2a1+1、2a2+1、2a3+1、2a4+1、2a5+1的平均数为 　 ．
【答案】9或﹣7．
【解答】解：根据题意，设样本数据a1、a2、a3、a4、a5的平均数为，
其方差S2（a12+a22+a32+a42+a52﹣52），
则有52＝80，解可得±4，
当x＝4时，样本数据2a1+1、2a2+1、2a3+1、2a4+1、2a5+1的平均数为21＝9；
当x＝﹣4时，样本数据2a1+1、2a2+1、2a3+1、2a4+1、2a5+1的平均数为21＝﹣7；
故答案为：9或﹣7．
21．某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数 77 79 81 84 88 92 93
人数 1 1 1 3 2 1 1
试回答以下问题：
（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差s2．
（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
【答案】（1），s2＝25；
（2）6人，占60%．
【解答】解：（1）抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
（77+79+81+3×84+2×88+92+93）＝85．
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
s2[（77﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+3×（84﹣85）2+2×（88﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]
＝25．
（2）由（1）可得s＝5．
所以85﹣5＝80，85+5＝90．
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为60%．
▉考点06 方差（共12小题）
22．已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为s2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设原样本为x1，x2，x3，x4，x5，则，
所以，可得．
所以，
所以
．
故选：B．
23．有一组样本数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为3，方差为3，则x1，x2，x3，…，x10，3的方差为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由一组样本数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为3，方差为3，
可知：，
所以．
故选：C．
24．下列各组数据中方差最大的一组是（　　）
A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8
【答案】D
【解答】解：对于A，由方差的定义可知，数据6，6，6，6，6的方差为0，
对于B，数据5，5，6，7，7的平均数为6，
则方差为，
对于C，数据4，5，6，7，8的平均数为6，
则方差为[（4﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝2，
对于D，数据4，4，6，8，8的平均数为6，
则方差为[（4﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（8﹣6）2]，
所以方差最大的一组是数据4，4，6，8，8．
故选：D．
25．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）都为0
B．若，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为6
C．若s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为12
D．若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
【答案】C
【解答】解：方差s2＝0时，说明所有的数据x1，x2，…，xn都相等，但不一定为0，故A错误；
数据x1，x2，…，xn的平均数，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为2×3+1＝7，故B错误；
数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝3，数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为22×3＝12，故C正确；
数据x1，x2，…，xn的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故D错误．
故选：C．
26．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设原来4个数据依次为a，b，c，d，则a+b+c+d＝24，
又因为方差为3，则，
所以（a2+b2+c2+d2）﹣12（a+b+c+d）+36×4＝12，
所以a2+b2+c2+d2＝12+12×24﹣36×4＝156
再加入一个数据8，则其平均数为，
则这5个数据的方差为
．
故选：C．
27．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设这4个数据分别为a，b，c，d，
则a+b+c+d＝6×4＝24，
所以a+b+c+d+6＝30＝6×5，即这5个数据的平均数为6；
由方差公式可得：[（a﹣6）2+（b﹣6）2+（c﹣6）2+（d﹣6）2]＝3，
所以[（a﹣6）2+（b﹣6）2+（c﹣6）2+（d﹣6）2+（6﹣6）2]．
故选：A．
28．若数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，则数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为（　　）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
【答案】C
【解答】解：因为数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，
所以数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为22×9＝36．
故选：C．
29．若一组数据x1，x2， ，xn的平均值，方差s2＝32，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：因为删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为平均值5，
因为方差s2＝32，
所以32，
所以，
删除一个数后的方差为：，
即40，
解得n＝5．
故选：A．
30．若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据3x1+a，3x2+a， ，3xn+a的平均数为5，则下列说法不正确的是（　　）
A．a的值为﹣1
B．乙组样本数据的方差为45
C．两组样本数据的样本极差不同
D．两组样本数据的样本中位数一定相同
【答案】D
【解答】解：对于A，因为甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为，方差为s2＝5，
乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为5，
所以3×2+a＝5，解得a＝﹣1，故A正确；
对于B，设乙组样本数据的方差为，可得，所以B正确；
对于C，不妨设x1＜x2＜ ＜xn，则甲组数据的极差为xn﹣x1，
乙组数据的极差为（3xn+a）﹣（3x1+a）＝3（xn﹣x1），
因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，故C正确；
对于D，设甲组样本数据的中位数为m，则乙组样本数据的中位数为3m﹣1，
若m＝3m﹣1，可得，
所以两组样本数据的中位数可能相同，故D错误．
故选：D．
31．设一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的标准差为（　　）
A．12 B． C．6 D．36
【答案】C
【解答】解：因为样本数据x1，x2， ，xn的方差为4，
所以数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为32×4＝36，
故标准差为．
故选：C．
32．气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；
乙地：5个数据的平均数为11，众数为12；
丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；
丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1．
则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】D
【解答】解：设甲地5天的日平均气温从低到高为：a，b，12，c，d，
因为极差为3，所以d﹣a＝3，取a＝9，b＝c＝d＝12，
此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，
故甲地不一定符合进入春季的标志；
设乙地5天的日平均气温从低到高为：a，b，12，12，d，
其中a，b，d互不相等，由5个数据的平均数为11，
所以a+b+12+12+d＝11×5＝55，可得a+b+d＝31，取a＝8，b＝11，d＝12，
此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，
故乙地不一定符合进入春季的标志；
设丙地5天的日平均气温从低到高为：a，b，12，c，d，
由5个数据的平均数为12，
则a+b+12+c+d＝12×5＝60 a+b+c+d＝48，取a＝2，b＝10，c＝13，d＝23，
此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，
故丙地不一定符合进入春季的标志；
设丁地5天的日平均气温为：a1，a2，a3，a4，a5，
由5个数据的平均数为11，所以a1+a2+a3+a4+a5＝55，
所以若方差小于1，则：s2，
则，
由ai（i＝1，2， ，5）为正整数，且（8﹣11）2＝9＞5，（14﹣11）2＝9＞5，
所以，
设a1＝9时，a2，a3，a4，a5任何一个都不可能为9，10，12，13，
所以当a2＝a3＝a4＝a5＝11时，不满足a1+a2+a3+a4+a5＝55，
所以，
故丁地符合气象意义上进入春季．
故选：D．
33．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235
B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215
（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及A、B两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（分钟），（分钟），
[（220﹣215）2+（185﹣215）2+（220﹣215）2+（252﹣215）2+（205﹣215）2+（235﹣215）2]，
[（205﹣220）2+（195﹣220）2+（245﹣220）2+（235﹣220）2+（225﹣220）2+（215﹣220）2]，
总体的平均数（分钟），
总体的方差
；
（2）①按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是5×3000＝15000元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）；
②由（1）知，B小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要220×4＝880（分钟），
B小区一月平均需要880×1000＝880000分钟的时间用于生活垃圾分类，
∵一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果，
∴B小区一月需要专职工作人员至少（名），
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）；
③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；
如果对于高档小区的居民来说，可以选择B方案，这只是方便个别高收入住户，
综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升．
▉考点07 极差（共1小题）
34．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
▉考点08 百分位数（共26小题）
35．数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【解答】解：数据从小到大排列为：10，11，11，12，13，14，16，18，共8个，
因为8×75%＝6，
所以这组数据的75%分位数为．
故选：B．
36．制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标．现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为（　　）
A．50.2 B．50.3 C．50.4 D．50.5
【答案】B
【解答】解：由题意可知，数据从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，
因为13×90%＝11.7，
所以该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3．
故选：B．
37．按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（　　）
A．96 B．96.5 C．97 D．97.5
【答案】D
【解答】解：从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100共10个数，10×80%＝8，
所以80%分位数为第8个，第9个数据的平均数，即．
故选：D．
38．某班级的老师随机抽查了该班12名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，6，7，4，5，6，6，7，8，5，4，6，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【答案】A
【解答】解：把数据3，6，7，4，5，6，6，7，8，5，4，6按从小到大排列如下：
3，4，4，5，5，6，6，6，6，7，7，8，
由12×75%＝9，得这组数据的75%分位数为．
故选：A．
39．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为3，5，6，8，m，14，15，16，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解答】解：根据题意可得，解得m＝10，
又10×0.4＝4，
∴该组数据的第40百分位数是9．
故选：A．
40．某中学共有3000名学生，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（　　）
A．阅读量的众数估值为8
B．阅读量的中位数估值为6.5
C．阅读量的平均数估值为6.76
D．第70百分位数为8.86
【答案】D
【解答】解：对于A，众数估值为，故A错误；
对于B，设中位数为x，则x在[4，8]内，所以0.06×4+0.1×（x﹣4）＝0.5，解得x＝6.6，故B错误；
对于C，平均数，故C错误；
对于D，第70百分位数y在[8，12]内，所以0.06×4+0.1×4+0.07×（x﹣8）＝0.7，解得，故D正确．
故选：D．
41．样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（　　）
A．16 B．17 C．23 D．24
【答案】C
【解答】解：已知数据16，21，18，28，14，20，22，24，
则从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28，
又8×75%＝6，所以第75百分位数为．
故选：C．
42．已知跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xi（i＝1，2，3，4，5），平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为yi（i＝1，2，3，4），平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（　　）
A．两组数据的极差不可能相等
B．两组数据的中位数不可能相等
C．若，则两组数据的方差不可能相等
D．若，两组数据的第60百分位数可能相等
【答案】C
【解答】解：跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xi（i＝1，2，3，4，5），平均数为，
随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为yi（i＝1，2，3，4），平均数为，
对于A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，
此时新数据的极差等于原数据的极差，故A错误；
对于B，不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
当时，若随机删去的成绩是x3，
此时新数据的中位数等于原数据的中位数，故B错误；
对于C，若，即删去的数据恰为平均数，
根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，故C正确；
对于D，在按从小到大的顺序排列的5个数据中5×60%＝3，
此时原数据的60%分位数为第三个数和第四个数的平均数，即，
删去一个数据后的4个数据，按从小到大的顺序排列，可得4×60%＝2.4，
此时新数据的60%分位数为第三个数，即x3或x4，
若x3＜x4，则，
∴新数据的60%分位数不等于原数据的60%分位数，故D错误．
故选：C．
43．2024年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为592，594，596，593，593，599，591，598，则这组数据的第75百分位数是（　　）
A．596 B．597 C．598 D．599
【答案】B
【解答】解：2024年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为：
592，594，596，593，593，599，591，598，
将这组数据由小到大排列为：591，592，593，593，594，596，598，599，
∵8×75%＝6，∴选取第6个和第7个数的平均数作为结果，
∴这组数据的第75百分位数是．
故选：B．
44．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表．
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【解答】解：由50×25%＝12.5，故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人，
又5+8＝13，
故第25百分位数是6．
故选：C．
45．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（　　）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
【答案】C
【解答】解：前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房不一定会呈现下降趋势，故A错误；
上映前10天的数据从小到大排序：4.76，4.87，5.44，5.88，6.15，6.53，7.3，8.14，8.44，8.69，共10个，
极差为8.69﹣4.76＝3.93，故B错误；
中位数为6.34，故C正确；
上映前十天的票房第70百分位数为，故D错误．
故选：C．
46．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和30%分位数分别为（　　）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，平均数，
由小到大排列，则2，4，5，7，8，10，因为6×30%＝1.8，则30%分位数为4．
故选：D．
47．下面统计了100名小学生寒假期间（按30天计）每天玩手机的平均时间（单位：小时）如下表：
玩手机平均时间 [0，0.5） [0.5，1） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5]
人数 10 30 30 20 10
据表中数据，这100名小学生寒假每天玩手机的平均时间的75%分位数为（　　）
A．1.875 B．1.75 C．1.65 D．1.625
【答案】D
【解答】解：由表中数据可知，前3个区间频率和为0.7，前4个区间的频率和为0.9，
这100名小学生寒假每天玩手机的平均时间的75%分位数一定位于[1.5，2），
所以75%分位数为．
故选：D．
48．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势，某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中b＝3a，则满意度计分的第一四分位数约为（　　）
A．87.5 B．85 C．70 D．62.5
【答案】C
【解答】解：因为b＝3a，
所以（5a+0.015+0.035）10＝1，
a＝0.01，b＝0.03；
第一四分位数，即25%分位数，
由频率直方图估计第一四分位数约为70．
故选：C．
49．春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（　　）
A．众数为120 B．平均数为145
C．中位数为145 D．第85百分位数为170
【答案】C
【解答】解：根据题意，将观影人数从小到大排列得到：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，
所以众数为160，故A错误；
平均数为，故B错误；
中位数为，故C正确；
根据10×85%＝8.5，所以第85百分位数为180，故D错误．
故选：C．
50．心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是（　　）
A．8.7 B．8.9 C．9.1 D．9.3
【答案】B
【解答】解：因为题干数据为20个，所以20×60%＝12，则第60百分位数为．
故选：B．
51．已知2017﹣2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的70%分位数是（　　）
A．445 B．479 C．551 D．623
【答案】D
【解答】解：2017﹣2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，
这8个数是按照从小到大的顺序排列的，
70%×8＝5.6，
∴这8个数据的70%分位数是第6个数，即623．
故选：D．
52．数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解答】解：已知数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10，
将给定数据由小到大排列为：10，13，14，16，17，18，19，21，22，25，
由10×70%＝7，得第70百分位数是．
故选：C．
53．一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：该组数据共10个数，
由10×40%＝4，可知该组数据的40%分位数是第四个数与第五个数的平均数，
等于，即x＝8．
故选：C．
54．现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（　　）
A．14 B．14.5 C．15 D．18
【答案】C
【解答】解：数据12，13，15，14，12，20，18，19，从小到大排列：12，12，13，14，15，18，19，20，
由8×55%＝4.4，得这组数据得第55百分位数为第五个数为15．
故选：C．
55．已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，6] B．（﹣∞，8） C．（﹣∞，8] D．（6，8）
【答案】C
【解答】解：已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，
由题可知数据的总个数为6，6×75%＝4.5，
所以该组数据的75%分位数是这组数据从小到大排列后的第5个数据，
则m≤8，即实数m的取值范围是（﹣∞，8]．
故选：C．
56．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（　　）
A．119 B．122 C．125 D．132
【答案】C
【解答】解：8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，
将数据从小到大排序：115，117，119，125，126，129，130，132，
8×40%＝3.2，
所以第40百分位数为第四个数，即125．
故选：C．
57．已知一组数据12，17，15，x，20的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（　　）
A．17 B．16.5 C．16 D．15.5
【答案】B
【解答】解：由数据12，17，15，x，20的平均数为16，得12+17+15+x+20＝5×16，解得x＝16，
将数据由小到大排序可得12，15，16，17，20，因为5×60%＝3，所以第60百分位数为．
故选：B．
58．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（　　）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【答案】C
【解答】解：因为数据10，8，a，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有a＝8×8﹣（10+8+8+7+9+6+8）＝8，
将得分按照从小到大的顺序排列为：
6，7，8，8，8，8，9，10，
因为8×75%＝6为整数，
所以这组数据的75百分位数为．
故选：C．
59．为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的80%分位数为（　　）
A．92 B．93.5 C．95 D．96
【答案】C
【解答】解：因为8×80%＝6.4，则这组数据的80%分位数为数据中的第7个数，即为95．
故选：C．
60．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是 　　 ．
【答案】146．
【解答】解：对10名同学的成绩从小到大进行排列：140，142，142，143，144，145，147，147，148，150，
根据10×60%＝6，故取第6项和第7项的数据分别为：145，147；
10名同学数学成绩的60%分位数为：．
故答案为：146．5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
▉考点01 知识对标
用样本估计总体
用样本的频率分布估计总体的分布.
▉考点02 规律方法
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律,我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.并由此估计总体的分布情况.
▉考点01 用样本估计总体（共3小题）
1．某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h．这里的总体是（　　）
A．该校的所有大学生
B．该校所有大学生的平均每天自习时间
C．所调查的100名大学生
D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间
2．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是1000名学生
D．个体指的是1000名学生中的每一名学生
3．某卫生部门为了调查本地区高中生的吸烟情况，随机抽出高一、高二、高三学生各100人，调查中使用了以下两个问题：
问题1：你是否是高三学生？
问题2：你是否经常抽烟？
调查者设计了一个随机化装置，是一个装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个小球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题．如果在300人中，共有58人回答“是”，估计该地区中学生吸烟人数的百分比为（　　）
A． B． C． D．
▉考点02 用样本估计总体的集中趋势参数（共4小题）
4．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差
5．下列命题是真命题的有（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按4：3：1的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32
B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．一组数7，6，5，4，3，3，3，2，2，1的70%分位数为4
6．为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲、乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示．下列结论正确的是（　　）
A．甲得分的极差比乙得分的极差小
B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小
C．甲得分的方差比乙得分的方差大
D．甲得分的25%分位数比乙得分的25%分位数大
7．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　 分．
▉考点03 平均数（共6小题）
8．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
9．下列说法正确的是（　　）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若x1，x2， ，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8
10．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
11．若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（　　）
A．数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为13
B．数据3x1，3x2， ，3x10的方差为12
C．
D．
12．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（　　）
A．甲：平均数为3，中位数为2
B．乙：极差为3，众数为3
C．丙：平均数为2，方差为2.4
D．丁：众数为2，方差为2.4
13．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中错误的是（　　）
A．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定
D．甲、乙这次射击成绩的极差相同
▉考点04 中位数（共3小题）
14．小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替．已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则|x﹣y|的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
16．已知两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，则两组数据合并为一组数据后（　　）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数一定不变，方差可能变小
C．中位数可能改变，方差可能变大
D．中位数可能改变，方差可能变小
▉考点05 用样本估计总体的离散程度参数（共5小题）
17．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（　　）
A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75
18．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（　　）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
（多选）19．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中正确的是（　　）
A．甲、乙这次射击成绩的极差相同
B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定
D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
20．已知样本数据a1、a2、a3、a4、a5的方差，则样本数据2a1+1、2a2+1、2a3+1、2a4+1、2a5+1的平均数为 　 ．
21．某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数 77 79 81 84 88 92 93
人数 1 1 1 3 2 1 1
试回答以下问题：
（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差s2．
（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
▉考点06 方差（共12小题）
22．已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为s2，则（　　）
A． B． C． D．
23．有一组样本数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为3，方差为3，则x1，x2，x3，…，x10，3的方差为（　　）
A．3 B． C． D．
24．下列各组数据中方差最大的一组是（　　）
A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8
25．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）都为0
B．若，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的平均数为6
C．若s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的方差为12
D．若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
26．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．
27．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．
28．若数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，则数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为（　　）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
29．若一组数据x1，x2， ，xn的平均值，方差s2＝32，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
30．若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据3x1+a，3x2+a， ，3xn+a的平均数为5，则下列说法不正确的是（　　）
A．a的值为﹣1
B．乙组样本数据的方差为45
C．两组样本数据的样本极差不同
D．两组样本数据的样本中位数一定相同
31．设一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的标准差为（　　）
A．12 B． C．6 D．36
32．气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；
乙地：5个数据的平均数为11，众数为12；
丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；
丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1．
则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
33．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235
B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215
（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及A、B两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
▉考点07 极差（共1小题）
34．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
▉考点08 百分位数（共26小题）
35．数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
36．制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标．现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为（　　）
A．50.2 B．50.3 C．50.4 D．50.5
37．按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（　　）
A．96 B．96.5 C．97 D．97.5
38．某班级的老师随机抽查了该班12名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，6，7，4，5，6，6，7，8，5，4，6，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
39．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为3，5，6，8，m，14，15，16，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
40．某中学共有3000名学生，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（　　）
A．阅读量的众数估值为8
B．阅读量的中位数估值为6.5
C．阅读量的平均数估值为6.76
D．第70百分位数为8.86
41．样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（　　）
A．16 B．17 C．23 D．24
42．已知跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xi（i＝1，2，3，4，5），平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为yi（i＝1，2，3，4），平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（　　）
A．两组数据的极差不可能相等
B．两组数据的中位数不可能相等
C．若，则两组数据的方差不可能相等
D．若，两组数据的第60百分位数可能相等
43．2024年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为592，594，596，593，593，599，591，598，则这组数据的第75百分位数是（　　）
A．596 B．597 C．598 D．599
44．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表．
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
45．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（　　）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
46．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和30%分位数分别为（　　）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
47．下面统计了100名小学生寒假期间（按30天计）每天玩手机的平均时间（单位：小时）如下表：
玩手机平均时间 [0，0.5） [0.5，1） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5]
人数 10 30 30 20 10
据表中数据，这100名小学生寒假每天玩手机的平均时间的75%分位数为（　　）
A．1.875 B．1.75 C．1.65 D．1.625
48．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势，某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中b＝3a，则满意度计分的第一四分位数约为（　　）
A．87.5 B．85 C．70 D．62.5
49．春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（　　）
A．众数为120 B．平均数为145
C．中位数为145 D．第85百分位数为170
50．心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是（　　）
A．8.7 B．8.9 C．9.1 D．9.3
51．已知2017﹣2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的70%分位数是（　　）
A．445 B．479 C．551 D．623
52．数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
53．一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
54．现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（　　）
A．14 B．14.5 C．15 D．18
55．已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，6] B．（﹣∞，8） C．（﹣∞，8] D．（6，8）
56．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（　　）
A．119 B．122 C．125 D．132
57．已知一组数据12，17，15，x，20的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（　　）
A．17 B．16.5 C．16 D．15.5
58．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（　　）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
59．为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的80%分位数为（　　）
A．92 B．93.5 C．95 D．96
60．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是 　　 ．

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