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4.7 数学建模活动：生长规律的描述
▉考点01 数学建模
1.数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解决实际问题的重要手段就是数学建模.数学建模是一个重要的核心素养.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为:发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用;加深对数学内容的理解;学会交流与合作;提升应用能力，增强创新意识和科学精神.
一．根据实际问题选择函数类型（共60小题）
1．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（　　）
（参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609）
A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟
2．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（　　）
（参考数值为ln2≈0.69，ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t＝1000kg）
A．243.69t B．244.69t C．755.44t D．890.23t
3．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N（t）为t时刻的种群个体数量．当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若N（4）＝150，则N（10）＝（　　）
A．300 B．450 C．600 D．750
4．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数（λ∈R）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（　　）（参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）
A．1 B．3 C．5 D．10
5．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053）
A．2033年 B．2032年 C．2031年 D．2030年
6．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（　　）
A．2600 B．2700 C．2800 D．2900
7．花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面hm，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a1m，将镜子后移am，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a2m．此时可求出楼的高度为（　　）m．
A． B．
C． D．
8．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为2cm，盘口正六边形边长为6cm，侧棱长为5cm．如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，则共需要涂料约为（　　）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：，）
A．241g B．602g C．702g D．718g
9．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长20%．若第n（n∈N+）年投入的研发经费首次超过20万元，则n＝（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．4 B．5 C．7 D．8
10．在资源有限的情况下，种群数量N（t）随时间t（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数K为环境容纳量，N0为种群初始数量，r为比增长率．生态学家高斯（G．F．Gause）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观察到t＝2时，种群数量为120；t＝4时，种群数量为360．根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（　　）
参考数据： x 2 3 5 7 11 13 17 19 23
lnx 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135
A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03
11．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中P0，k＞0，初始时污染物的含量为P0，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（　　）
A．70% B．85% C．81% D．72.9%
12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1（℃），空气的温度是T0（℃）以经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式T＝T0+（T1﹣T0）e﹣0.25t求得．把温度是130℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于（　　）（参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693）
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
13．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系式为（k，P0均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（　　）
A．小时 B．小时 C．5小时 D．10小时
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）．若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（　　）
A．，t∈[0，+∞）
B．，t∈[0，+∞）
C．，t∈[0，+∞）
D．，t∈[0，+∞）
15．2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（　　）（参考数据：lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数）
A．17年 B．18年 C．19年 D．20年
16．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为m，肩宽约为m，“弓”所在圆的半径约为m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：1.414，1.732）（　　）
A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
17．“开车不喝酒，喝酒不开车”．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（　　）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．弓箭在中外历史上曾是威力无比的战争武器．其中英国长弓由于在英法战争中的突出作用成为单体木弓的代表．长弓与一般的复合弓不同，呈简单的圆弧型．制弓过程中让弓背逐步适应弯曲的过程被制弓匠称为“驯弓”．当达到适合的满弓开度（近似看作扇形，这时弓背形成均匀弧线时，驯弓过程就完成了．上弦的长弓成品总长一般为1.7﹣1.9米之间．如图所示，现有未上弦的长弓长度L1约为米（不含弓端镶包长度），达到满弓时，近似为扇形OAB，半径约为0.9米．则这时长弓的弦长AB约为（　　）
A．1.88米 B．1.73米 C．1.56米 D．1.27米
19．纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段AB的端点A向B运动，点F从线段DE的端点D出发向E运动，其中AB的长为a，DE的长无限大．若DF的长度满足在第t秒时DF＝3t，CA的长度满足在第t秒时，记DF＝x，CB＝y，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则x＝（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
20．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a%的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
21．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r（r＞0）、劳累程度T（0＜T＜1）有关，并建立了数学模型E＝10﹣10T 2﹣0.14r，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的（　　）
A．2﹣2.8倍 B．21.4倍 C．22.8倍 D．25.6倍
22．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（　　）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
23．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为3×108m/s，1阿秒等于10﹣18s．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根1米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（　　）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．30 B．31 C．32 D．33
（多选）24．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
（多选）25．声强级L1（单位：dB）由公式L1＝a+blgI给出，其中I为声强（单位：W/m2 ），相应不同声的声强级如表所示，则（　　）
I（W/m2） 正常人能忍受最高声强1W/m2 正常人能忍受最低声强10﹣12W/m2 正常人平时谈话声强10﹣6W/m2 某人说运声到
L1（dB） 120 0 L正常 80
A． B．
C．L正常＝60 D．
26．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为x米（4≤x≤6）．现有A，B两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（k＞0）．若B要肯定拿到装修资格，则实数k的取值范围是　 　 ．
27．某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式v＝abt（其中a，b为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过 　 　 小时．（参考数据：lg2≈0.3）
28．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足等式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，其中k为常数．现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 　 　 ．
29．某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第n（n∈N+）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是　 　 ．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
30．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：，其中N0，r，K是正常数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．给出下列四个结论：①如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0；
②如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）＞K；
③如果0＜N0＜K，那么对任意0＜t1＜t2，N（t1）＜N（t2）；
④如果0＜N0＜K，那么存在T＞0，任意．
其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
31．如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，MA＝2AO．计划在弧上设置一个收银台B，记∠BON＝α，其中；
（1）则tan∠ABO＝　 　 （用α表示）；
（2）若∠ABO越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为 　 　 米．
32．如图，一块边长为1的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域（阴影部分）的面积为S．若设∠BAM＝α，，则S的最大值为　 　 ．
33．风车发电是指把风的动能转为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°．现有一座风车，塔高70米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面30米）．设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数关系式为 　 　 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为 　 　 秒．
34．艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．设初次记忆后经过了x小时，那么记忆率y近似的满足y＝1﹣axb（a，b∈R）．某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为0.36，6天后记忆率为0.19，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为 　 　 （保留两位小数）．
35．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24
设茶水温度从85℃开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①y＝kat+b；②y＝at2+bt+c．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
（2）若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
36．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格f（x）（单位：元）与时间x（单位：天）（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系满足（k为常数，且k＞0），日销售量g（x）（单位：件）与时间x的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为M（x）（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元．
x 15 20 25 30
g（x） 105 110 105 100
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①g（x）＝ax+b；②g（x）＝a|x﹣m|+b；③g（x）＝a bx；④g（x）＝a logbx．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数g（x），求M（x）的最小值．
37．闪存（FlashMemory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失．它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点．几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等．鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+180x；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
38．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，f（x）表示用x个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（t，k为常数），且．
（1）写出f（0）的值，并求f（x）的表达式；
（2）若用总量为4个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．
39．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C（x）（x＞0）．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小？
40．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知扇环周长为300cm，大扇形半径OD＝xcm，小扇形半径OA＝10cm，∠AOB＝θrad，则：
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为w（x）＝10x+400，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
41．为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用y（单位：万元）与太阳能电池板的面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）（k为常数）．已知太阳能电池板面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记F（x）（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年所消耗的电费之和．
（1）求常数k的值；
（2）写出F（x）的解析式；
（3）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？
42．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking 技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）＝151x1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
43．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鲫、蚂鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鳄鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，OM＝30米，设∠COM＝α．
（Ⅰ）求扇形OMN的面积；
（Ⅱ）若，求矩形ABCD的面积S；
（Ⅲ）若矩形ABCD的面积为S（α），当α为何值时，S（α）取得最大值，并求出这个最大值．
44．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中AB＝30m，AD＝20m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD其扩建成一个更大的三角形花坛APQ．要求AP的长不小于40m且不大于90m．记三角形花园APQ的面积为Sm2．
（1）设DQ＝xm，试用x表示AP，并求x的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？
45．某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC与A1B1C1全等且所在平面平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1、BB1、CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即∠AOB），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O、O1分别在CA、C1A1延长线上）．
（1）挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以视为曲线段BC与线段BB1长的乘积．已知OA＝1.5米，AC＝0.3米，AA1＝2米，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：①其为直线段且∠ACB；②其为以O为圆心的圆弧．请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
（2）小组拟自制△ABC部分的支架用于测试（图3），其中AC＝0.6米，∠ABC，∠CAB＝θ，其中，求有效遮挡区域高OA的最大值．
46．国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量y（万片）随方案实施年数x（x∈N*）增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型：
方案一：f（x）（x+2）2﹣1；
方案二：g（x）（2x﹣1）；
方案三：h（ x ）＝5log5（ x+1）．
如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？
47．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x（x∈N*）万件，需另投入成本G（x）万元，且0＜x＜30时，G（x）＝10x2+1600x：当x≥30时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
48．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝x2+x（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
49．低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择．新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q（单位：wh）与速度V（单位：km/h）的数据如下表所示：
V 0 20 40 80
Q 0 1800 5600 21600
若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q与速度V的关系，可用表示．
（1）请求出函数Q（V）的表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为300km的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留5000wh的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．
（i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；
（ii）已知该高速公路上服务区有功率为15000w的充电桩（充电量＝充电功率×充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）．
50．在某地滨江公园建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD＝100米，BC＝200米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度．
51．随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施．（如图1）有一半径为40m的摩天轮，轴心O距地面50m，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min．点P与点Q都在摩天轮上，且点P相对于点Q落后1min，当点P在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心O为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为x轴，建立图2所示的平面直角坐标系．
（1）若t∈[0，3]，求点P的纵坐标关于时间t（min）的函数关系式g（t）；
（2）若t∈[0，3]，求点P距离地面的高度关于时间t（min）的函数关系式h（t），并求时，点P离地面的高度（结果精确到0.1，计算所用数据：）
（3）若t∈[0，3]，当P，Q两点距离地面的高度差不超过时，求时间t（min）的取值范围．
52．某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量．
53．某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD，设∠AEG＝θ．
（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；
（2）求修建道路的总费用y的最小值．
54．农田节水灌溉的目的是节约水资源、土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效．如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B＝75°．现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°．
（1）探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？
55．中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本f（x）（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
（1）求出2023年的利润g（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
56．某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备．已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x（x∈N*）年后所需要的各种维护费用总计为（2x2+8x）万元，2024年为第一年．
（1）写出该套医疗设备的利润函数f（x）的表达式，并求f（x）的最大值；
（2）第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？
57．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径是80m．矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上．设矩形AGHM的面积为S，∠HCF＝θ，
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在的何处？
58．近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米，∠B＝75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE，GF，小路终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE＝∠CGF＝60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面EF用防腐木铺设．
（1）GE+GF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：）
59．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD＝0.8m，AB＝2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH＝1.2m．设∠PHG＝β，当冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）
60．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
（1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．4.7 数学建模活动：生长规律的描述
▉考点01 数学建模
1.数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解决实际问题的重要手段就是数学建模.数学建模是一个重要的核心素养.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为:发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用;加深对数学内容的理解;学会交流与合作;提升应用能力，增强创新意识和科学精神.
一．根据实际问题选择函数类型（共60小题）
1．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（　　）
（参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609）
A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟
【答案】C
【解答】解：由题意可知，当t＝0时，y＝2000，
即2000＝500+104λ，
解得104λ＝1500，
因此，
由y≤1000，得，
解得，
两边同时取对数得，，
即，
所以t≥9ln3≈9×1.099＝9.891，
所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟．
故选：C．
2．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（　　）
（参考数值为ln2≈0.69，ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t＝1000kg）
A．243.69t B．244.69t C．755.44t D．890.23t
【答案】C
【解答】解：由题意知，m＝3100kg，v＝11km/s，
所以11＝2ln（1），即ln（1）＝5.5≈ln244.69，
所以1244.69，即M≈755439kg≈755.44t．
故选：C．
3．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N（t）为t时刻的种群个体数量．当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若N（4）＝150，则N（10）＝（　　）
A．300 B．450 C．600 D．750
【答案】C
【解答】解：因为当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，
所以2N0，
所以e3r＝2，
若N（4）＝150，则150，
所以N（10）150×22＝600．
故选：C．
4．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数（λ∈R）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（　　）（参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）
A．1 B．3 C．5 D．10
【答案】B
【解答】解：当t＝0时，
则0.03+λ＝0.18，解得λ＝0.15，
所以．
令，即，
两边取对数，得，
所以t≥2.23，故所需时间t（单位：分钟）的最小整数值为3．
故选：B．
5．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053）
A．2033年 B．2032年 C．2031年 D．2030年
【答案】B
【解答】解：设2022年起第n年投入的研发资金为250×（1+0.13）n﹣1（2022年为第一年），
由250×1.13n﹣1＞800，得1.13n﹣1，
两边取常用对数得n﹣1＞log1.139.43，
所以n＞10.43，即n≥11，
所以2032年第一次研发资金超过800．
故选：B．
6．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（　　）
A．2600 B．2700 C．2800 D．2900
【答案】A
【解答】解：静止时，即v＝0时，，0，1，Q0＝100，
v时，，3，27，Q＝2700，
所以Q﹣Q0＝2600．
故选：A．
7．花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面hm，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a1m，将镜子后移am，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a2m．此时可求出楼的高度为（　　）m．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设所求楼高为x，
由三角形相似可得，
整理可得．
故选：B．
8．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为2cm，盘口正六边形边长为6cm，侧棱长为5cm．如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，则共需要涂料约为（　　）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：，）
A．241g B．602g C．702g D．718g
【答案】B
【解答】解：盘子侧面等腰梯形的高为h'，
底面面积为，
侧面六个等腰梯形的面积之和为，
所以每个盘子需要刷涂料的面积（6×1.73+24×4.58）×2＝240.6（cm2），
所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料240.6×0.05×50＝602（g）．
故选：B．
9．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长20%．若第n（n∈N+）年投入的研发经费首次超过20万元，则n＝（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：依题意可得第n（n∈N+）年投入的研发经费为10（1+20%）n﹣1万元，
令10（1+20%）n﹣1＞20，即1.2n﹣1＞2，
所以n﹣1＞log1.223.810，
所以n＞4.810，又n∈N+，
所以n的最小值为5，
即第5年投入的研发经费首次超过20万元．
故选：B．
10．在资源有限的情况下，种群数量N（t）随时间t（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数K为环境容纳量，N0为种群初始数量，r为比增长率．生态学家高斯（G．F．Gause）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观察到t＝2时，种群数量为120；t＝4时，种群数量为360．根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（　　）
参考数据： x 2 3 5 7 11 13 17 19 23
lnx 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135
A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03
【答案】C
【解答】解：已知初始时，在培养液中放入5个草履虫，
则N0＝5，
又t＝2时，种群数量为120；t＝4时，种群数量为360，
则，
则，
因此，
整理得7K2﹣2680K＝0，
解得或K＝0（舍），
因此，
解得r≈1.77．
所以大草履虫种群的比增长率约为1.77．
故选：C．
11．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中P0，k＞0，初始时污染物的含量为P0，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（　　）
A．70% B．85% C．81% D．72.9%
【答案】D
【解答】解：已知过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，
当t＝0时，；
当t＝5时，，
即e﹣5k＝0.9；
当t＝15时，．
故选：D．
12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1（℃），空气的温度是T0（℃）以经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式T＝T0+（T1﹣T0）e﹣0.25t求得．把温度是130℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于（　　）（参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693）
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
【答案】D
【解答】解：由题意可得T1＝130，T0＝10，T＝50，
代入T＝T0+（T1﹣T0）e﹣0.25t可得：50＝10+（130﹣10）e﹣0.25t，
即，
所以，解得t≈4.40，
故选：D．
13．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系式为（k，P0均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（　　）
A．小时 B．小时 C．5小时 D．10小时
【答案】C
【解答】解：由题知：当t＝0时，P＝P0，
所以，
即e﹣5k＝0.1，
由，即（e﹣5k）2＝e﹣kt，
解得t＝10，即还需5小时，
故选：C．
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）．若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（　　）
A．，t∈[0，+∞）
B．，t∈[0，+∞）
C．，t∈[0，+∞）
D．，t∈[0，+∞）
【答案】A
【解答】解：因为，所以是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由OP在ts内转过的角为，
可知以Ox为始边，以OP为终边的角为，
则点P的纵坐标为，
所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系是，t∈[0，+∞）．
故选：A．
15．2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（　　）（参考数据：lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数）
A．17年 B．18年 C．19年 D．20年
【答案】C
【解答】解：假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标．
根据题意，得89442×（1+7.8%）x＝89442×4，即1.078x＝4，
故，
故约经过19年，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标．
故选：C．
16．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为m，肩宽约为m，“弓”所在圆的半径约为m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：1.414，1.732）（　　）
A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
【答案】B
【解答】解：如图所示，
由题意知“弓”所在的弧 的长l，其所对圆心角，
则两手之间的距离|AB|＝2|AD|＝2，
故选：B．
17．“开车不喝酒，喝酒不开车”．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（　　）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设x小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则0.3（1﹣25%）x≤0.09，即（）x≤0.3，
∴xlglglg3﹣1≈﹣0.5，
∴x5，
故至少经过5小时，才能开车．
故选：C．
18．弓箭在中外历史上曾是威力无比的战争武器．其中英国长弓由于在英法战争中的突出作用成为单体木弓的代表．长弓与一般的复合弓不同，呈简单的圆弧型．制弓过程中让弓背逐步适应弯曲的过程被制弓匠称为“驯弓”．当达到适合的满弓开度（近似看作扇形，这时弓背形成均匀弧线时，驯弓过程就完成了．上弦的长弓成品总长一般为1.7﹣1.9米之间．如图所示，现有未上弦的长弓长度L1约为米（不含弓端镶包长度），达到满弓时，近似为扇形OAB，半径约为0.9米．则这时长弓的弦长AB约为（　　）
A．1.88米 B．1.73米 C．1.56米 D．1.27米
【答案】C
【解答】解：由题意得弧AB的长为，OA＝0.9，
设∠AOB＝2α，则0.9×2α，解得α，
则弦长AB＝2×0.9×sin1.56（米）．
故选：C．
19．纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段AB的端点A向B运动，点F从线段DE的端点D出发向E运动，其中AB的长为a，DE的长无限大．若DF的长度满足在第t秒时DF＝3t，CA的长度满足在第t秒时，记DF＝x，CB＝y，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则x＝（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【解答】解：由题意可知，第t秒时y＝a﹣[a﹣（）t]＝（）t，
令y得，（）t，
解得t＝6，
又因为第t秒时x＝3t，
所以当时，则x＝3×6＝18．
故选：B．
20．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a%的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解答】解：设植物原来长度m，经过4周后，该植物的长度是原来的倍，故，即，即，6周后该植物的长度是m（1+a%）10，即为原来的（1+a%）10倍，
则（1+a%）10＝（（，即6周后该植物的长度是原来的倍．
故选：C．
21．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r（r＞0）、劳累程度T（0＜T＜1）有关，并建立了数学模型E＝10﹣10T 2﹣0.14r，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的（　　）
A．2﹣2.8倍 B．21.4倍 C．22.8倍 D．25.6倍
【答案】B
【解答】解：设李老师现在的劳累程度是T1，工作10年时的劳累程度是T2，
依题意，，所以．
故选：B．
22．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（　　）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解答】解：由L＝5+lgV，当L＝4.9时，lgV＝﹣0.1，
则．
故选：C．
23．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为3×108m/s，1阿秒等于10﹣18s．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根1米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（　　）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【解答】解：光在1阿秒内走的距离为3×108×10﹣18＝3×10﹣10，
设需要截x次，则，
两边取以10为底的对数得：，
所以﹣xlg2＜lg3﹣10，
所以，
所以至少要截32次．
故选：C．
（多选）24．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
【答案】ACD
【解答】解：由题意得，60≤20lg90，1000p0≤p1p0，
50≤20lg60，1p0≤p2≤1000p0，
20lg40，p3＝100p0，
可得p1≥p2，A正确；
p2≤10p3＝1000p0，B错误；
p3＝100p0，C正确；
p1p0＝100×1p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．
故选：ACD．
（多选）25．声强级L1（单位：dB）由公式L1＝a+blgI给出，其中I为声强（单位：W/m2 ），相应不同声的声强级如表所示，则（　　）
I（W/m2） 正常人能忍受最高声强1W/m2 正常人能忍受最低声强10﹣12W/m2 正常人平时谈话声强10﹣6W/m2 某人说运声到
L1（dB） 120 0 L正常 80
A． B．
C．L正常＝60 D．
【答案】BCD
【解答】解：由题意得当I＝1W/m2时，LI＝120dB，当I＝10﹣12W/m2时，LI＝0dB，
代入LI＝a+blgI得a＝120，LI＝a+blg10﹣12＝0，
∴a＝120，b＝10，
∴LI＝120+10lgI＝10（12+lgI）＝10lg（1012I），故A错误；
∴lgI，则I，故B正确；
∴当I＝10﹣6时，则L正常＝120+10lg10﹣6＝120﹣60＝60，故C正确；
∴当LI＝80时，80＝120+10lgIT，
则lgIT＝﹣4，则IT＝10﹣4，故D正确．
故选：BCD．
26．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为x米（4≤x≤6）．现有A，B两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（k＞0）．若B要肯定拿到装修资格，则实数k的取值范围是　　 ．
【答案】．
【解答】解：若有窗墙体的长为x米（4≤x≤6），则左右宽度为米，
则A的报价为300×4x+200×4x+200×42+18000
，
又B给出总价为万元（k＞0），且B要肯定拿到装修资格，
则，
所以，
因为4≤x≤6，所以函数在[4，6]上单调递增，
故，故，则，
所以实数k的取值范围是．
故答案为：．
27．某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式v＝abt（其中a，b为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过 　52　 小时．（参考数据：lg2≈0.3）
【答案】52
【解答】解：某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式v＝abt（其中a，b为非零常数），
若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，
则，解得，，则，
当这种药物完全分解，即v＝1时，得，得，
即2t＝2012，两边取对数得
．
故答案为：52．
28．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足等式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，其中k为常数．现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 　27℃　 ．
【答案】27℃．
【解答】解：易知42＝22+（62﹣22） e﹣2k，，
所以，
所以再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到27℃．
故答案为：27℃．
29．某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第n（n∈N+）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是　5　 ．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
【答案】5．
【解答】解：由题意可得第n个月的投入是以20为首项，1.2为公比的等比数列，
所以20×（1+20%）n﹣1≥40，
即1.2n﹣1≥2，
所以（n﹣1）lg1.2≥lg2，
所以，
所以n≥4.810．
因为n∈N+，所以n的最小值为5．
故答案为：5．
30．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：，其中N0，r，K是正常数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．给出下列四个结论：①如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0；
②如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）＞K；
③如果0＜N0＜K，那么对任意0＜t1＜t2，N（t1）＜N（t2）；
④如果0＜N0＜K，那么存在T＞0，任意．
其中所有正确结论的序号是 　①③④　 ．
【答案】①③④．
【解答】解：对于①：因为，
所以当时，，
令，
解得：，
因为r为种群的内秉增长率，r＞0，所以，
即如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0，故①正确；
对于②：因为，
因为0＜N0＜K，t＞0，则，
可得，
则，所以对任意的t＞0，N（t）＜K，故②错误；
对于③：因为，且y＝e﹣rt在（0，+∞）内单调递减，
若0＜N0＜K，t＞0，可知K﹣N0＞0，可知在（0，+∞）内单调递减，
则在（0，+∞）内单调递增，
所以对任意0＜t1＜t2，N（t1）＜N（t2），故③正确；
对于④：因为0＜N0＜K，且0＜N0＜K，
则，可得，
所以N（t）∈（N0，K），
又因为N（t）在（0，+∞）内单调递增，
所以存在T＞0，任意，故④正确．
故答案为：①③④．
31．如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，MA＝2AO．计划在弧上设置一个收银台B，记∠BON＝α，其中；
（1）则tan∠ABO＝　　 （用α表示）；
（2）若∠ABO越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为 　　 米．
【答案】；．
【解答】解：（1）因为是P是的中点，所以OP⊥MN．
因为，
所以，则米．
由题意知，在△ABO中，
设∠ABO＝β，
则，
由，
得，
则，
则；
（2）设．
令，
则．
令，
当，即，h（t）取得最大值．
，即tanβ的最大值为．
因为函数g（β）＝tanβ在上单调递增，
所以当tanβ取得最大值时，β也取得最大值，店长在收银台B处的视线范围最大，
此时．
故当视线范围最大时，（米）．
故答案为：；．
32．如图，一块边长为1的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域（阴影部分）的面积为S．若设∠BAM＝α，，则S的最大值为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为AB＝1，∠BAM＝α，，所以BM＝tanα，
令tanα＝t，则0≤t≤1，而∠DAN＝45°﹣α，
所以DN＝tan（45°﹣α），
S＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△ADN＝12，0≤t≤1，
所以S＝222，
当且仅当，即t时取等号，
所以S的最大值为2．
故答案为：2．
33．风车发电是指把风的动能转为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°．现有一座风车，塔高70米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面30米）．设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数关系式为 　　 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为 　　 秒．
【答案】
【解答】解：（1）设S＝Asin（wt+φ）+B，（A＞0，w＞0），
由题得，∴A＝40，B＝70，
又，∴，∴，
又函数的图象过点（0，30），所以，∴，
所以．
所以．
（2）令，∴，
所以，
所以．
当k＝0时，，
当k＝1时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为秒．
故答案为：．
34．艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．设初次记忆后经过了x小时，那么记忆率y近似的满足y＝1﹣axb（a，b∈R）．某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为0.36，6天后记忆率为0.19，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为 　0.49　 （保留两位小数）．
【答案】0.49．
【解答】解：由题可 ，
所以，
故4小时后的记忆率约为 ．
故答案为：0.49．
35．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24
设茶水温度从85℃开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①y＝kat+b；②y＝at2+bt+c．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
（2）若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【答案】（1）因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①y＝kat+b；解析式为y＝60×0.9t+25；
（2）7.5min．
【解答】解：（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，
但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①；
代入前三组数据，解得，
所以函数模型解析式为y＝60×0.9t+25；
（2）由（1）知55＝60×0.9t+25，即0.9t＝0.5，所以t＝log0.90.5，
，
所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感．
36．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格f（x）（单位：元）与时间x（单位：天）（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系满足（k为常数，且k＞0），日销售量g（x）（单位：件）与时间x的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为M（x）（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元．
x 15 20 25 30
g（x） 105 110 105 100
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①g（x）＝ax+b；②g（x）＝a|x﹣m|+b；③g（x）＝a bx；④g（x）＝a logbx．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数g（x），求M（x）的最小值．
【答案】（1）k＝1；
（2）选择模型②，g（x）＝﹣|x﹣20|+110（1≤x≤30，x∈N*）；
（3）961．
【解答】解：（1）每件的销售价格f（x）（单位：元）与时间x（单位：天）（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系满足（k为常数，且k＞0），
设该文化工艺品的日销售收入为M（x）（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元，
则，
整理得1050+7k＝1057，解得k＝1；
（2）由表格中的数据知，当时间x变换时，g（x）先增后减，
而函数模型：①g（x）＝ax+b；③g（x）＝a bx；④g（x）＝a logbx，均为单调函数；
故选择模型②：g（x）＝a|x﹣m|+b；
由g（15）＝g（25），可得a|15﹣m|+b＝a|25﹣m|+b，可得|15﹣m|＝|25﹣m|，
解得m＝20，则g（x）＝a|x﹣20|+b，
由，解得，
则g（x）＝﹣|x﹣20|+110；
（3），x∈N*，
，x∈N*；
当1≤x≤20时，，
，
当且仅当，即x＝3时，等号成立，
即当1≤x≤20时，M（x）的最小值为961；
当21≤x≤30时，，
易知与y＝﹣10x+1299在x∈[21，30]上单调递减，
故在x∈[21，30]上单调递减，
故21≤x≤30时，M（x）的最小值为；
因为，
所以M（x）的最小值为961元．
37．闪存（FlashMemory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失．它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点．几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等．鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+180x；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】（1）；
（2）160万片．
【解答】解：（1）已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，
通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+180x，
当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完，
当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）＝200x﹣300﹣（0.1x2+180x）＝﹣0.1x2+20x﹣300，
当x＞120，x∈N*时，
，
故；
（2）当0＜x≤120，x∈N*时，L（x）＝﹣0.1x2+20x﹣300，
函数图象开口向下，对称轴为，
故L（x）的最大值为L（100）＝﹣1000+2000﹣300＝700（万元）；
当x＞120，x∈N*时，，
当且仅当，即x＝160时等号成立，故L（x）的最大值为730（万元），
因为730＞700，所以封装160万片时，公司可获得最大利润．
38．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，f（x）表示用x个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（t，k为常数），且．
（1）写出f（0）的值，并求f（x）的表达式；
（2）若用总量为4个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．
【答案】（1）f（0）＝1，；
（2）“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好，理由见解析．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）表示用x个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比，
必有f（0）＝1，
又由，则f（0）＝t＝1，即t＝1，
又由，所以，解得k＝2．
故．
（2）根据题意，设第一、二次漂洗分别使用m，n个单位量的洗涤溶液，其中，m＞0，n＞0，且m+n＝4．
假设原污渍量为a，a＞0．
因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为．
因为，
所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为．
而（2m2+1）（2n2+1）＝4m2n2+2m2+2n2+1＝4m2n2+2（m+n）2﹣4mn+1．
因为m＞0，n＞0，由基本不等式的性质，，所以．
当且仅当m＝n＝2时，等号成立．
所以mn的取值范围是（0，4]．
因为函数在单调递减，在单调递增，
且g（4）＝81，g（0）＝33，g（4）＞g（0），
所以当mn＝4时，即m＝n＝2时，
（2m2+1）（2n2+1）取得最大值，最大值为81．
此时残留的污渍量最少，其值为．
所以，用总量为4个单位量的洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为2个单位量时，去污效果最好．
若用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，由于，所以，用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为．
因为，
所以“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好．
39．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C（x）（x＞0）．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得y＝0.2x0.2x，x＞0，
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x7.2，解得11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11，20]．
（2）y＝0.2x1≥21＝7，
当且仅当x＝15时，等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
40．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知扇环周长为300cm，大扇形半径OD＝xcm，小扇形半径OA＝10cm，∠AOB＝θrad，则：
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为w（x）＝10x+400，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
【答案】（1）；
（2）5．
【解答】解：（1）已知扇环周长为300cm，大扇形半径OD＝xcm，小扇形半径OA＝10cm，∠AOB＝θrad，
则，
则300＝θ（x+10）+2（x﹣10），
则θ关于x的函数关系式为：；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为w（x）＝10x+400，
易知大扇形OCD与小扇形OAB的面积分别为：，
所以扇环的面积为，
结合第一问得，
则砖雕面积与雕刻费用之比为，
整理得
，
当且仅当，即x＝60cm时取得最大值，
则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5．
41．为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用y（单位：万元）与太阳能电池板的面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）（k为常数）．已知太阳能电池板面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记F（x）（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年所消耗的电费之和．
（1）求常数k的值；
（2）写出F（x）的解析式；
（3）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，当x＝4时，C（x）＝9.2，所以，解得k＝200，故k的值为200；
（2）由题意可知F（x）＝15C（x）+0.5x，又由（1）得，C（x），
当0≤x≤10时，F（x）＝15C（x）+0.5x＝150.5x，
当x＞10时，F（x）＝15C（x）+0.5x＝15，
所以F（x）；
（3）当0≤x≤10时，F（x），
因为F（x）在[0，]上单调递增，在[，10]上单调递减，所以F（x）min＝F（10）＝80；
当x＞10时，F（x）37.5，
当且仅当，即x＝35时取得最小值为37.5，
又80＞37.5，所以F（x）min＝37.5，
答：当x为35平方米时，F（x）取得最小值，最小值为37.5万元．
42．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking 技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）＝151x1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）＝150x﹣300﹣（0.1x2+130x）＝﹣0.1x2+20x﹣300，
当x＞120，x∈N*时，
L（x），
故L（x）．
（2）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）＝﹣0.1x2+20x﹣300，开口向下，对称轴为x＝100，
故L（x）的最大值为L（100）＝700（万元），
当x＞120，x∈N*时，
L（x）730，当且仅当，即x＝160时，等号成立，
故L（x）的最大值为730（万元），
730＞700，
则封装160万片时，公司可获得最大利润．
43．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鲫、蚂鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鳄鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，OM＝30米，设∠COM＝α．
（Ⅰ）求扇形OMN的面积；
（Ⅱ）若，求矩形ABCD的面积S；
（Ⅲ）若矩形ABCD的面积为S（α），当α为何值时，S（α）取得最大值，并求出这个最大值．
【答案】（Ⅰ）150π平方米．
（Ⅱ）S（α），其中．
（Ⅲ）当时，S（α）取得最大值，最大值为．
【解答】解：扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，
点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，OM＝30米，设∠COM＝α；
（Ⅰ）由题意，，扇形半径即OM＝30米，
则扇形OMN的面积为平方米；
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC＝30sinα，OB＝30cosα，
在Rt△OAD中，AD＝BC＝30sinα，则，
∴，
则停车场面积：
，，
所以S（α），其中；
（Ⅲ）S（α），其中，
由，
则当时，即时，，
当时，S（α）取得最大值，最大值为．
44．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中AB＝30m，AD＝20m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD其扩建成一个更大的三角形花坛APQ．要求AP的长不小于40m且不大于90m．记三角形花园APQ的面积为Sm2．
（1）设DQ＝xm，试用x表示AP，并求x的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？
【答案】（1）AP，10≤x≤60；
（2）当DQ的长度是20m时，S取最小值，且最小值是1200m2．
【解答】解：（1）由题意可得：△DCQ∽△BPC，
即，
即，
则，
则AP＝AB+BP，
又，
则10≤x≤60，
即AP，10≤x≤60；
（2）由（1）可得：1200，
当且仅当x＝20时取等号，
即当DQ的长度是20m时，S取最小值，且最小值是1200m2．
45．某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC与A1B1C1全等且所在平面平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1、BB1、CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即∠AOB），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O、O1分别在CA、C1A1延长线上）．
（1）挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以视为曲线段BC与线段BB1长的乘积．已知OA＝1.5米，AC＝0.3米，AA1＝2米，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：①其为直线段且∠ACB；②其为以O为圆心的圆弧．请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
（2）小组拟自制△ABC部分的支架用于测试（图3），其中AC＝0.6米，∠ABC，∠CAB＝θ，其中，求有效遮挡区域高OA的最大值．
【答案】（1）①1.8米2；
②1.9米2；
（2）0.3米．
【解答】解：（1）①BC为直线段且∠ACB时，AC＝0.3米，在△CBO中，∠CBO，
所以CB＝CO sin1.80.9（米）；
所以挡雨板的面积为S1＝BC BB1＝BC AA1＝0.9×2＝1.8（米2）；
②BC是以O为圆心的圆弧时，此时圆的半径为OA+AC＝1.5+0.3＝1.8（米），
圆心角为∠BOC，所以圆弧BC的长为l＝1.80.3π（米），
所以挡雨板的面积为S2＝l AA1＝0.3π×2＝0.3×3.14×2≈1.9（米2）；
（2）由题意知，AB＝AC cosθ＝0.6cosθ，∠ABO＝θ，
由正弦定理得，，
所以OA＝2AB sin（θ）
＝1.2cosθsin（θ）
＝1.2sinθ（sinθcosθ）
＝1.2（sinθcosθcos2θ）
＝0.6（sin2θcos2θ）
＝0.6sin（2θ）﹣0.3，其中，
当2θ，即θ时，OA取得最大值为0.6﹣0.3＝0.3，
所以有效遮挡区域高OA的最大值为0.3米．
46．国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量y（万片）随方案实施年数x（x∈N*）增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型：
方案一：f（x）（x+2）2﹣1；
方案二：g（x）（2x﹣1）；
方案三：h（ x ）＝5log5（ x+1）．
如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方案一：f（x）（x+2）2﹣1在（0，7]内单调递增，且f（7）15，
可得在7年内可实现年产量15万片的目标．
由f（x）＝15，解得x＝6，即方案一实现年产量15万片需要6年时间；
方案二：g（x）（2x﹣1）在（0，7]内单调递增，且g（7）15，
可得在7年内可实现年产量15万片的目标．
由g（x）＝15，即2x＝31，即x∈（4，5），
即方案二在5年后可实现年产量15万片；
方案三：h（ x ）＝5log5（ x+1）在（0，7]内单调递增，且h（7）＝5log58＜15，
则方案三无法实现在7年内年产量15万片的目标．
综上，应该选择方案二．
47．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x（x∈N*）万件，需另投入成本G（x）万元，且0＜x＜30时，G（x）＝10x2+1600x：当x≥30时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据利润＝销售收入﹣成本知，y＝2000x﹣G（x）﹣2000，
∴当0＜x＜30时，y＝2000x﹣（10x2+1600x）﹣2000＝﹣10x2+400x﹣2000，
当x≥30时，y＝2000x﹣（2020x6000）﹣2000＝4000﹣20x，
∴年利润y与年产量x的关系式为：
y．
（2）∵当0＜x＜30时，y＝﹣10x2+400x﹣2000＝﹣10（x﹣20）2+2000，
∴当x＝20时，最大值为ymax＝2000；
当x≥30时，y＝4000﹣20x3800﹣[20（x﹣10）]
≤3800﹣22200，
当且仅当20（x﹣10），即x＝50时等号成立，此时最大值为ymax＝2200，
∵2000＜2200，
∴该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200万元．
48．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝x2+x（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）L（x）；
（2）当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
【解答】解：（1）由题意知每件商品售价为5元，故得到x万件商品销售收入为5x万元，
所以当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（x2+x）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，
且当x≥8时，，
故L（x）；
（2）①当0＜x＜8时，L（x）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，易知当x＝2时，L（x）取得最大值L（2）＝1万元，
②当x≥8时，，当且仅当x＝10时，L（x）取得最大值15万元，
因为1＜15，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元．
49．低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择．新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q（单位：wh）与速度V（单位：km/h）的数据如下表所示：
V 0 20 40 80
Q 0 1800 5600 21600
若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q与速度V的关系，可用表示．
（1）请求出函数Q（V）的表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为300km的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留5000wh的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．
（i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；
（ii）已知该高速公路上服务区有功率为15000w的充电桩（充电量＝充电功率×充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q与速度V的关系，可用表示，
由题意可得，
解得，
故Q（V）的表达式为；
（2）已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），
出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留5000wh的保障电量，
，
设耗电量为f（v），则；
（i）任取60≤v1＜v2≤120，
，
由60≤v1＜v2≤120，v1﹣v2＜0，v1v2＞3600，v2﹣v1＞0，则有f（v1）﹣f（v2）＜0，
即f（v1）＜f（v2），
所以函数f（v）在区间[60，120]单调递增，
所以f（v）min＝f（60）＝40000＞35000﹣5000，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地；
（ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为t1，t2，总和为t，
若能到达乙地，则初始电量+充电电量﹣消耗电量≥保障电量，
即35000+15000t2﹣f（v）≥5000，
所以，
解得，
所以总时间，
当且仅当，即v≈116.6km/h时取等号，
所以v≈116.6km/h，该汽车到达乙地的最少用时约为4.33小时．
50．在某地滨江公园建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD＝100米，BC＝200米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度．
【答案】（1）；
（2）m．
【解答】解：（1）在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，
边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD＝100米，BC＝200米，，
根据三角形的面积公式可得，解得，
由C是钝角，得，
根据余弦定理可得，
所以需要修建的隔离防护栏；
（2）由题意，，
当且仅当时取到等号，此时，
设，在△ABD中，
根据正弦定理可得，
根据三角形的面积公式可得
，
由，得，当，即时，，
此时m．
51．随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施．（如图1）有一半径为40m的摩天轮，轴心O距地面50m，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min．点P与点Q都在摩天轮上，且点P相对于点Q落后1min，当点P在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心O为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为x轴，建立图2所示的平面直角坐标系．
（1）若t∈[0，3]，求点P的纵坐标关于时间t（min）的函数关系式g（t）；
（2）若t∈[0，3]，求点P距离地面的高度关于时间t（min）的函数关系式h（t），并求时，点P离地面的高度（结果精确到0.1，计算所用数据：）
（3）若t∈[0，3]，当P，Q两点距离地面的高度差不超过时，求时间t（min）的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；40.2（m）；
（3）．
【解答】解：（1）当t＝0min时，以OP为终边的角与的角终边重合，
OP转动的角速度为，
所以tmin时OP终边所在的角度为，
所以；
（2）由题意可得，轴心O距地面50 m，
点P距离地面的高度关于时间t（min）的函数关系式h（t），
则h（t）＝g（t）+50，即，
所以50﹣9.8＝40.2（m）；
（3）设Q点离地面的高度与时间的函数关系式为m（t），
则，0≤t≤3，
所以，
即，
所以，
因为t∈[0，3]，
则，
因为y＝sinx在上递减，在上递增，
又因为，，
所以，即，
或，即，
所以时，P，Q两点的高度差不超过．
52．某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量．
【答案】（1）y；（2）320．
【解答】解：（1）当0≤x≤180时，y＝0.6x，
当180＜x≤350时，y＝180×0.6+（x﹣180）×0.65＝0.65x﹣9，
当x＞350时，y＝180×0.6+（350﹣180）×0.65+（x﹣350）×0.9＝0.9x﹣96.5，
所以y关于x的函数关系式为y；
（2）当x＝350时，y＝0.65×350﹣9＝218.5＞199，
当x＝180时，y＝0.6×180＝108＜199，
所以令0.65x﹣9＝199，解得x＝320，
所以该户居民该月交电费199元，该户居民该月的用电量为320千瓦时．
53．某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD，设∠AEG＝θ．
（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；
（2）求修建道路的总费用y的最小值．
【答案】（1）；
（2）修道路总费用的最小值为80万元．
【解答】解：（1）在Rt△AEG中，AG＝2，∠AEG＝θ，∴，
在△AGF中，，∴，
由正弦定理可得，即，
∴，∴；
（2）由（1）可得
，
令，∵，∴，
∵在区间上单调递增，所以当t＝1，即时u取最大值1，
∴y取最小值80，此时，
所以修道路总费用的最小值为80万元．
54．农田节水灌溉的目的是节约水资源、土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效．如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B＝75°．现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°．
（1）探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？
【答案】（1）小水渠QE，QF的长度之和是定值，为400（1）米；
（2）故当Q点是BC的中点时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，且最小值为600（1）米．
【解答】解：（1）在△BQE中，
∠BEQ＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故，即EQ，
同理可得，FQ，
故QE+QF，为定值；
（2）在△EQF中，由余弦定理可知，EF2＝EQ2+FQ2﹣2EQ FQ cos60°
＝（EQ+FQ）2﹣3EQ FQ，
故EF，
∵EQ+FQ米，
∴EF≥（200200米，
当且仅当EQ＝FQ＝（200200）米时，等号成立，
故当Q点是BC的中点时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为（600600）米．
55．中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本f（x）（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
（1）求出2023年的利润g（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）；
（2）当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2100万元．
【解答】解：（1）由题意知，利润g（x）＝收入﹣总成本，
所以利润，
所以2023年的利润g（x）关于年产量x的函数关系式为
．
（2）当0＜x＜40时，g（x）＝﹣10x2+400x﹣2500＝﹣10（x﹣20）2+1500，
所以当x＝20时，g（x）max＝1500；
当x≥40时，，
当且仅当，即x＝100时取得等号；
综上，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2100万元．
56．某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备．已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x（x∈N*）年后所需要的各种维护费用总计为（2x2+8x）万元，2024年为第一年．
（1）写出该套医疗设备的利润函数f（x）的表达式，并求f（x）的最大值；
（2）第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？
【答案】（1）f（x）＝﹣2（x﹣8）2+56，最大值56；
（2）第6年后平均利润最大．
【解答】解：（1）已知2024年初某医院以72万元的价格购进一套医疗设备，
又该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x（x∈N*）年后所需要的各种维护费用总计为（2x2+8x）万元，
且2024年为第一年．
则f（x）＝40x﹣（2x2+8x+72）＝﹣2x2+32x﹣72，x∈N*，
因为f（x）＝﹣2（x﹣8）2+56，
所以当x＝8时，f（x）取最大值56．
（2）年平均利润为，
当且仅当，即x＝6时取等号，
故第6年后平均利润最大．
57．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径是80m．矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上．设矩形AGHM的面积为S，∠HCF＝θ，
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在的何处？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）延长GH交CD于P，∵HP⊥CD，∴HP＝80sinθ，CP＝80cosθ，
∴HG＝100﹣80sinθ，HM＝100﹣80cosθ，
整理得：
（2）设，则，
∴
当t＝1时，Smax＝2000，
此时，，
∴，
∴当H在的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为2000平方米．
58．近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米，∠B＝75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE，GF，小路终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE＝∠CGF＝60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面EF用防腐木铺设．
（1）GE+GF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：）
【答案】（1）为定值，8（1）米．
（2）8742元．
【解答】解：（1）GE+GF是定值．
因为∠B+∠BGE+∠BEG＝180°，所以∠BEG＝180°﹣∠BGE﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
由正弦定理知，，所以GEBGBGBG，
因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C，∠BGE＝∠CGF＝60°，
所以△BGE∽△CGF，所以，所以GF BGCG；
所以GE+GFBGCG（BG+CG）BC16＝8（1），
所以GE+GF是定值，其值是8（1）米．
（2）由（1）知，GEBG，GFCG（16﹣BG），
GE+GF＝8（1），所以当EF最小时，修路总花费最小；
因为∠BGE+EGF+∠CGF＝180°，所以∠EGF＝180°﹣∠BGE﹣∠CGF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
由余弦定理得：EF2＝GE2+GF2﹣2GE GF cos∠EGF
2 BG （16﹣BG） cos60°
[BG2+（16﹣BG）2﹣BG（16﹣BG）]
（3BG2﹣48BG+256），
当BG8时，EF2取得最小值为（3×64﹣48×8+256）＝32（2），
所以EF的最小值为4（1）米，
所以修路总花费的最小值为S＝8（1）×200+4（1）×400
＝3200（1）
≈3200（1+1.732）
≈8742（元），
所以修路总费用的最小值约为8742元．
59．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD＝0.8m，AB＝2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH＝1.2m．设∠PHG＝β，当冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）
【答案】（1）小金能将冰箱运送入客户家中，理由见解答；
（2）能顺利通过道的冰箱高度的最大值为2.6米．
【解答】解：（1）当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离，
故冰箱能够按要求运送入客户家中；
（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，
则，，FN＝1.2tanβ，
又EF＝MN﹣ME﹣NF，设EF＝f（β），，
则
，，
求导化简可得，
求得驻点，作表格得：
β
f′（β） ﹣ 0 +
f（β） 严格减 极小值 严格增
所以f（β）最小值，
由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过道的冰箱高度的最大值为2.6米．
60．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
（1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
【答案】（1）y＝3sin（x）+8；
（2）①该船每天可以进港的时间段为0～4时和12～16时；
②从0点开始卸货到5点，此时船已经卸货一半，驶出港口，等到11点再次驶入港口进行卸货，直至卸完货．
【解答】解：（1）由图象得T＝12，则ω，
又，解得A＝3，h＝8，
根据一个最高点（2，11）得2+φ2kπ，k∈Z，解得φ2kπ，k∈Z，
又φ，则φ，
∴函数y＝3sin（x）+8；
（2）①由（1）得y＝3sin（x）+8，
又y≥3.5+6，即y≥9.5，即sin（x），解得2kπx2kπ，k∈Z，
∴12k≤x≤12k+4，k∈Z，
故该船每天可以进港的时间段为0～4时和12～16时；
②由题意得y﹣（6﹣0.3x）≥3.5，即3sin（x）+8≥0.3x+9.5，解得0≤x≤5，
故从0点开始卸货到5点，此时船已经卸货一半，驶出港口，等到11点再次驶入港口进行卸货，直至卸完货．

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