资源简介

4.6 函数的应用（二）
▉考点01 指数型函数模型
函数y=abx+c(b>0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸.
▉考点02 对数型函数模型
y=mlogax+m(a>0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0).
▉考点03 解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
一．指数函数的实际应用（共60小题）
1．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则（　　）
A．2 B．1 C．ln2 D．e
【答案】B
【解答】解：由N随t的变化规律是N＝ae﹣bt，
当t＝0时N＝a，若N，则e﹣bt，所以﹣bt＝lnln2，解得t；
若N，则e﹣bt，所以﹣bt＝ln2ln2，解得t；
所以t1，t2，
所以1．
故选：B．
2．奶茶温度衰减满足函数关系T＝k bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟
【答案】C
【解答】解：因为T＝k bt+M，其中T为t时的温度，M，k，b为常数，b＞0；
且M＝20，t＝0时，T＝100，t＝10时，T＝80，
所以，解得k＝80，b10，
所以T＝80 20，
令T＝80 20＝50，得，
所以lglg，即（lg3﹣2lg2）＝lg3﹣3lg2，
所以t35，
所以该奶茶适宜饮用温度为50℃，制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟．
故选：C．
3．我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里常数I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，则40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍
【答案】D
【解答】解：因为音量η＝10lg，所以I＝I0 ，
所以102＝100，
即40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的100倍．
故选：D．
4．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
【答案】A
【解答】解：因为加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），且“3”通过加密后得到密文“2”，
所以a3＝2，
若接收方接到密文“，
则ax，
所以ax（a3）﹣6＝a﹣18，
所以x＝﹣18，
即若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是﹣18．
故选：A．
5．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog220，
所以klog21024＝20，解得k2，
所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log22log24＝2×2＝4．
故选：B．
6．某种药物在人体内的浓度C（t）（单位：mg/L）随时间t（小时）的衰减规律为：，其中C0为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知ln2≈0.693）（　　）
A．12 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【解答】解：由题意，令C（t），即C0 e﹣0.05t，则e﹣0.05t，
化为对数式，可得﹣0.05t＝ln2ln2≈﹣1.386，所以t≈27.72≈28．
故选：C．
7．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长．若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（参考数据：lg2≈0.3）（　　）
A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解答】解：由题意知，（1+p%）4，所以1+p%，
令（1+p%）x＝2，即2，所以2，
所以2，
解得x＝412．
故选：B．
8．玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为y＝k 0.9x，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知1g3≈0.477，lg2≈0.301）（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解答】解：由题意知，y＝k 0.9x，
令0.9x，得x＝log0.915.2，
所以至少需要通过16块这样的玻璃．
故选：D．
9．牛顿冷却定律（Newton’slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为80℃，那么大约再经过（　　）分钟，温度降为35℃．
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解答】解：由题意知，80＝20+（140﹣20）e﹣10k，解得e﹣10k；
所以令35＝20+（80﹣20）e﹣kt，解得e﹣kt，
又因为e﹣20k，所以t＝20，
即大约再经过20分钟温度降为35℃．
故选：B．
10．流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标．在疫情初期，感染人数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律近似满足公式，其中I0为初始感染人数，r为传播率．若某种病毒在疫情初期r＝0.2，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（　　）（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．5天 B．7天 C．9天 D．11天
【答案】B
【解答】解：因为，r＝0.2，感染人数翻两番（变为原来的4倍），
所以，因为I0＞0，所以4＝e0.2t，所以ln4＝lne0.2t，所以2ln2＝0.2t，
所以，所以t约为7．
故选：B．
11．古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为N0．当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量N（t）随时间t（单位：年）的变化规律满足，其中λ是衰变常数．已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的．现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为，由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（　　）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（9800，10000） B．（12800，13000）
C．（13800，14000） D．（14800，15000）
【答案】D
【解答】解：依题意，N（5730）＝N0e﹣5730λN0，得e﹣5730，
两边同时取对数得﹣5730λ＝﹣ln2，解得λ，则N（t）＝N0，
令N（t）N0，得，两边同时取对数得t＝﹣ln6，
所以t573014864.78∈（14800，15000）．
故选：D．
12．已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示原有的某种物质的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．690年 B．700年 C．710年 D．720年
【答案】B
【解答】解：由题意，要使得放射性物质的质量是原来的倍，
则有，
即，两边取自然对数，可得，
即，
所以年．
故选：B．
13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（C0为原始量，k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（　　）参考时间轴：
A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝
【答案】C
【解答】解：由题意C与死亡年数t之间的函数关系式为（C0为原始量，k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，
可得当t＝5730时，，故，
解得k＝5730，
∴，
由，得，
所以，得t≈1343，
而2025﹣1343＝682，可推断该文物属于唐朝．
故选：C．
14．目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为Q（t）＝100（1﹣e﹣0.05t）．现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据ln5≈1.6）（　　）
A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟
【答案】C
【解答】解：由题意知，Q（t）＝100（1﹣e﹣0.05t），
令100（1﹣e﹣0.05t）＝80，得e﹣0.05t，
所以﹣0.05t＝ln，解得t32，
所以要使电量达到80%以上，最少的充电时间约为32分钟．
故选：C．
15．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同．假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃中的保鲜时间约是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
【答案】C
【解答】解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．
所以，
解得：，
∴y＝100，
当x＝10时，y＝10064．
故选：C．
16．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间存在关系C＝Ik t，其中k为常数．在电池容量不变的条件下，当I＝15A时，t＝32h；当I＝20A时，t＝18h．则电池的容量C为（　　）
A．6600Ah B．6800Ah C．7000Ah D．7200Ah
【答案】D
【解答】解：根据题意，得，
两式相比，得 1，
化简得，
解得k＝2，所以C＝152×32＝7200Ah，
故选：D．
17．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间t0，该物质的能量由N0减少到，则再经过时间3t0，该物质的能量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设t1的能量为N0，则，
则，
所以，
则再经过时间3t0时，该物质的能量为．
故选：C．
18．已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（　　）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
【答案】B
【解答】解：设该工厂经过x年，人工智能机器人的产量才能达到900万台．
根据题意得，300×（1+20%）x＝900，
整理得，1.2x＝3，
解得x＝log1.23，
利用换底公式，
计算log1.236．
所以经过6年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆，
即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆．
故选：B．
19．荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（　　）
（参考数据：lg101≈2.0043，lg2≈0.3010）
A．60天 B．65天 C．70天 D．75天
【答案】C
【解答】解：设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，
设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，
由题意得a（1+0.01）x＝2a，
即（1+0.01）x＝2，
两边取对数得xlg1.01＝lg2，
所以x，
又因为lg101﹣lg100＝lg101﹣2≈0.0043，
所以，
即大约经过了70天．
故选：C．
20．核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水．核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡．已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：N＝N0，N0为初始值，T为半衰期，t为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过（　　）年．（lg2≈0.3010）
A．155 B．159 C．162 D．166
【答案】B
【解答】解：设氚含量变成初始量的大约需要经过t年，
则，，即4log210＝4，
即t159．
故选：B．
21．某厂1995年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（　　）
A．a（1+5%）13 B．a（1﹣5%）13 C．a（1+5%）12 D．a（1﹣5%）12
【答案】C
【解答】解：∵某厂1995年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，
∴该厂到1996年的产值（万元）为a×（1+5%），
该厂到1997年的产值（万元）为a×（1+5%）（1+5%）＝a×（1+5%）2，
该厂到1998年的产值（万元）为a×（1+5%）3，
∴该厂到2007年的产值（万元）为a×（1+5%）12．
故选：C．
22．碳14具有放射性．活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减．已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡t年后，碳14含量，其中C0为活体生物组织内碳14的含量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（　　）
A．宋（公元960～1279年）
B．元（公元1271 1368年）
C．明（公元1368 1644年）
D．清（公元1636 1912年）
【答案】B
【解答】解：由题意可知，C（t）＝0.92C0，代入公式可得，
因为C0≠0，两边同时除以C0，得到，
对两边取以为底的对数，可得，
则，
因为，0.92＝4×0.23，即，
所以，
将代入，可得t＝5730×0.12＝687.6≈688（年），
已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为2025﹣688＝1337（年），
因为1271＜1337＜1368，
所以该生物死亡的朝代为元（公元1271～1368年）．
故选：B．
23．某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：K＝eat+b（其中a、b为常数，e＝2.71828…，是一个和π类似的无理数）．若在20℃时的活性指标为11kgPP/gCat，若在40℃时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
【答案】C
【解答】解：在20℃时的活性指标为11kgPP/gCat，若在40℃时的活性指标为83kgPP/gCat，
则，化简整理可得，（e20a﹣9）（e20a+8）＝0，解得e20a＝9或e20a＝﹣8（舍去），
故e10a＝3，
所以该催化剂在50℃的活性指标为e50a+2＝35+2＝245kgPP/gCat．
故选：C．
24．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后液体A的温度θ℃可由公式求得．把温度是62℃的液体A放在15℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到51℃和27℃所用时间分别为t1min，t2min，则t2﹣t1的值约为（　　）（参考数据ln3≈1.10）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
【答案】B
【解答】解：把θ1＝62，θ0＝15，θ＝51代入中，得51＝15+（62﹣15）e﹣0.3t，
即e﹣0.3t，所以﹣0.3t＝ln，解得tln，即t1ln；
把θ1＝62，θ0＝15，θ＝27代入中，得27＝15+（62﹣15）e﹣0.3t，
即e﹣0.3t，所以﹣0.3t＝ln，解得tln，即t2ln；
所以t2﹣t1（lnln）ln（）lnln31.1≈3.7．
故选：B．
25．基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10．据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要（参考数据ln2≈0.69）（　　）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】B
【解答】解：因为R0＝3.22，T＝10，R0＝1+rT，
所以r0.222，I（0）＝e0.222×0＝1，
由题意知，e0.222t＞4，则t6.2，
所以累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要7天．
故选：B．
26．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（　　）（取：ln2＝0.69，ln3＝1.10）
A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min
【答案】D
【解答】解：100℃的物体放入20℃的空气中冷却，tmin后的温度是，
40℃的物体放入20℃的空气中冷却，tmin后的温度是，
要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则，
解得t≥4ln6＝4（ln2+ln3）＝7.16，
所以至少要经过7.16min．
故选：D．
27．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖．已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：y＝mat．若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（　　）（lg2≈0.3，结果四舍五入取整）
A．20天 B．21天 C．22天 D．23天
【答案】C
【解答】解：∵某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：y＝mat．若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，
∴，两式相除可得2＝a5，即，
设繁殖t天后数量达到200，
则200＝mat，又20＝ma5，则，
∴，则at﹣5＝10，即，
∴，
∴，
则要使数量达到200大约需要22天．
故选：C．
28．8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型．2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花．党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展．在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（　　）
（参考数据：lg2.338≈0.369，lg2.489≈0.396，100.034≈1.081，100.036≈1.086）
A．6% B．7% C．8% D．9%
【答案】C
【解答】解：设年平均增长率约为x，
则53.9×（1+x）11＝126，
所以（1+x）112.338，
两边同时取对数得，11lg（1+x）＝lg2.338≈0.369，
所以lg（1+x）≈0.033545，
所以1+x＝100.033545≈100.034≈1.081，
所以x≈0.081＝8.1%≈8%．
故选：C．
29．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，可得，
所以．
故选：B．
30．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型C＝C0ek（t﹣1），其中C0是初始浓度（即t＝1时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即t＝2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为9C0，则n＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：因为第2天（即t＝2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，
所以，
则e2k＝3，
解得，
令，即，
所以，
所以，
解得n＝5．
故选：B．
31．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为（　　）
A．
B．2
C．
D．2+log2512T1＝log2
【答案】B
【解答】解：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得 ，
所以2．
故选：B．
32．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的约（　　）（参考数据：lg0.99≈﹣0.004，lg1.01≈0.004，lg832≈2.92）
A．99倍 B．101倍 C．292倍 D．832倍
【答案】D
【解答】解：由题意知，1.01365÷0.99365，
则lg365lg365（lg1.01﹣lg0.99）＝365×（0.004+0.004）＝365×0.008＝2.92，
所以832，
即一年后“进步”的是“落后”的约832倍．
故选：D．
33．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋、外卖包装盒等产品．研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质．为研究总质量为100g的PBAT的已分解质量y（单位：g）与时间x（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y与时间x的函数关系式为y＝100﹣e4.6﹣0.1x．据此研究结果可以推测，总质量为100g的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（　　）（参考数据：ln40≈3.7）
A．8个月 B．9个月 C．10个月 D．11个月
【答案】C
【解答】解：由分解率超过60%，得y＞100×60%＝60，即100﹣e4.6﹣0.1x＞60，移项得e4.6﹣0.1x＜40，
对不等式两边取自然对数，得4.6﹣0.1x＜ln40，代入ln40≈3.7，得4.6﹣0.1x＜3.7，
移项计算：﹣0.1x＜﹣0.9，解得x＞9，
因为x为正整数，所以x至少为10．
故选：C．
34．杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级x（x＝1，2，3，4）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y＝eax+b．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（　　））
A．5.66元/千克 B．8.48元/千克
C．11.31元/千克 D．16元/千克
【答案】C
【解答】解：由市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y＝eax+b，
因为2级杨梅比4级杨梅多1倍，可得，
解得，
又因为1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，
可得ea+b＝4，
可得，
所以．
故选：C．
35．为了保证杭州亚运会运动员能够吃上新鲜食材，亚运会后勤采购部门决定从千岛湖某水产站直接采购新鲜活鱼．活鱼出水后，须在最短时间内将其处理掉，否则会失去新鲜度．已知某种活鱼失去新鲜度p与其出水时间t（分）满足函数关系：p＝mat．若出水后20分钟失去新鲜度为10%，出水后40分钟失去新鲜度为30%．若不及时处理，在多长时间后失去全部新鲜度（　　）（参考数据：lg3≈0.48）
A．52 B．59 C．62 D．69
【答案】C
【解答】解：由题意可得，解得，所以，
令p＝1，得，可得3t＝3020，
所以．
因此，若不及时处理，大约62分钟后将失去全部新鲜度．
故选：C．
36．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（　　）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：由题意可知，X0＝0.1，Xn＝10，
令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，两边同时取对数可得，nlg1.6＝lg100＝2，
所以n．
故选：B．
37．当生物死亡后，它的机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p＝（　　）
A． B．0.55330
C． D．1﹣0.55730
【答案】C
【解答】解：由题意得：，
解得．
故选：C．
38．假设某地2022年年初的物价为a，每年以5%的增长率递增，则2031年年初的物价为（　　）
A．（1.5%）8a B．1.058a C．1.059a D．1.0510a
【答案】C
【解答】解：因为2022年年初的物价为a，每年以5%的增长率递增，
所以1年后，2023年年初的物价为a（1+5%）＝1.05a，
2年后，2024年年初的物价为1.05a（1+5%）＝1.052a，
3年后，2025年年初的物价为1.052a（1+5%）＝1.053a，
4年后，2026年年初的物价为1.053a（1+5%）＝1.054a，
……，
到2031年年初经过了9年，所以2031年年初的物价为1.059a．
故选：C．
39．某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+2b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是（　　）
A．4h B．8h C．12h D．16h
【答案】B
【解答】解：∵该食品在储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，
∴，解得，即，
当x＝30时，
y＝e30k+2b＝e20k+2b e10k＝248，
故该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是8h．
故选：B．
40．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2，已知f（x）1，则函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为（　　）
A．{﹣3，0，2} B．{﹣1，2} C．{﹣3，0，﹣2} D．{﹣2，0，3}
【答案】A
【解答】解：∵f（x）11＝21＝1 是R上的增函数，
故f（x）的值域为（﹣1，1），
故[f（x）]＝{﹣1，0}，3[f（x）]＝{﹣3，0}．
由于f（﹣x）＝1 是R上的减函数，故f（﹣x）的值域为（﹣1，1），
故[f（﹣x）]＝{﹣1，0}，2[f（﹣x）]＝{﹣2，0}，且当3[f（x）]＝﹣3时，2[f（﹣x）]＝0，
∴函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为{﹣3，0，2}，
故选：A．
41．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t），其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解答】解：由已知可得0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53），
两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，
解得t*≈66，
故选：C．
（多选）42．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at（a＞0，a≠1）．下列说法正确的是（　　）
A．浮萍每月的增长率为1．
B．1.5个月内浮萍可以从4m2蔓延到12m2．
C．浮萍每月增加的面积都相等．
D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，36m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2（t1+t2）＝t3．
【答案】AD
【解答】解：根据指数函数的图象知，函数y＝at过点（1，2），得2＝a1，解得a＝2，所以y＝2t．
对于A，浮萍每月的增长率为1，选项A正确；
对于B，基于初始面积4m2计算，当t＝2时，y＝22＝4；则1.5个月后，
即t＝3.5时，浮萍的面积y＝23.5＝812，选项B错误；
对于C，第二个月比第一个月增加y2﹣y1＝22﹣21＝2，第三个月比第二个月增加y3﹣y2＝23﹣22＝4，
所以y2﹣y1≠y3﹣y2，选项C错误；
对于D，由题意得2，3，36，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log236，
所以2（t1+t2）＝2（log22+log23）＝2log22×3＝log236＝t3，选项D正确．
故选：AD．
（多选）43．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的部分图象如图所示，则（　　）
A．0＜a＜1
B．﹣1＜b＜0
C．log2（a﹣b）＞0
D．函数g（x）＝logax+b的零点小于1
【答案】ACD
【解答】解：由函数的图象可知a∈（0，1），所以A正确；
当x＝0时，f（0）＝1+b＜0，可得b＜﹣1，所以B不正确；
a﹣b＞1，可得log2（a﹣b）＞0，所以C正确；
∵a∈（0，1），b＜﹣1，∴函数g（x）＝logax+b的零点小于1，D正确．
故选：ACD．
（多选）44．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象．以下说法中正确的是（　　）
A．
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．剩留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
【答案】ABD
【解答】解：因为函数y＝at的图象过点（2，），所以a2，又因为a＞0，所以a，选项A正确；
由y，t＝4时，y，选项B正确；
第一月减少量为1，第二月减少量为，显然每月减少量不等，选项C错误；
令，，，得t1，t2，t3，
所以t1+t2（）t3，选项D正确．
故选：ABD．
（多选）45．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．人口的年平均增长率r满足，其中t为经过的时间，M0为t＝0时的人口总数（单位：万），Mt为经过t年后的人口总数（单位：万）．如表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况：
2022年人口总数 年平均增长率
A市 2M 0.02～0.03
B市 1.5M 0.04～0.05
C市 3M 0.03
利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为MA，MB，MC，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：因为r＝t﹣1ln，所以rt＝ln，所以ert，即Mt＝M0ert；
又t＝10，所以Mt＝M0e10r；
设A市的年平均增长率为r1，r1∈[0.02，0.03]；
B市的年平均增长率为r2，r2∈[0.04，0.05]；
C市的年平均增长率为r3，r3＝0.03．
对于A，，因为r1﹣r3≤0，所以，选项A错误；
对于B，，因为r2﹣r3＞0，所以，选项B正确；
对于C，，选项C正确；
对于D，由选项A知，，选项D正确．
故选：BCD．
46．碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率．考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年．假设某生物死亡时其体内碳14的含量为M0，则此生物的死亡时间t（t≥0，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是M＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，
那么死亡1年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p），
死亡2年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p）2，
死亡5730年后生物体内碳14含量为M0（1﹣p）5730，
所以1﹣p，则M＝M0（1﹣p）t＝M0M0．
故答案为：．
47．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程A后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%．为使得所记忆的内容不低于，最多在n（n∈N）个星期之后对所学内容进行复习，则n＝　7　 ．（lg3≈0.477，lg2≈0.3）
【答案】7．
【解答】解：由题意，两边取对数，得，
所以，即n（3lg2﹣1）≥﹣（lg2+lg3），
所以，
又n∈N，所以n的最大值是7．
故答案为：7．
48．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征，其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.25t．现将一壶水温为90℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为55℃时口感最佳，若空气的温度为20℃，则从沏茶开始，大约经过　3　 分钟饮用口感最佳．（参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693．结果要四舍五入，精确到整数）
【答案】3．
【解答】解：因为θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.25t，
所以根据题意可得55＝20+（90﹣20）e﹣0.25t，
整理可得，解得t≈3．
故答案为：3．
49．某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　12　 年．（参考数据：取lg3＝0.48，lg11＝1.041）
【答案】12
【解答】解：假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为．
由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，
则可得，得．
因为，
所以x＞11.7，故至少需要经过12年．
故答案为：12．
50．一种放射性元素，每年的衰减率是10%，那么akg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于 　log0.90.5　 ．
【答案】log0.90.5．
【解答】解：根据题意可得a（1﹣10%）t，
所以（0.9）t＝0.5，
所以t＝log0.90.5．
故答案为：log0.90.5．
51．某工厂在2020年排放废水200万吨，2021年增长率约为50%．如果不采取措施，未来排放废水量还将以此增长率增长，从 　2026　 年开始，该工厂排放废水量超过2000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【答案】2026．
【解答】解：由题意可知，该工厂在第n年（2021年为第一年）的排放废水量为200×1.5n，
令200×1.5n＞2000，即1.5n＞10，
两边同时取对数得，nlg1.5＞lg10，
所以n5.68，
所以从2026年开始，该工厂排放废水量超过2000万吨．
故答案为：2026．
52．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型C＝C0ek（t﹣1），其中C0是初始浓度（即t＝1时该污染物的浓度），k是常数．第2天（即t＝2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为27C0，则n＝　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：由题意可得，，
两式相除可得，e2k＝3，
所以C0e（n﹣1）k＝27C0，
则n＝7．
故答案为：7．
53．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.65g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.59g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型（p∈R，n∈N*），其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg2≈0.301）　11　 次．
【答案】11．
【解答】解：因为，r0＝2.65，r1＝2.59，
所以2.59＝2.65+（2.59﹣2.65） 50.25+p，
解得p＝﹣0.25，
所以，
由题意知，rn≤0.25，
即2.65﹣0.06×50.25n﹣0.25≤0.25，
即50.25n﹣0.25≥40，
解得，
又lg2≈0.301，n∈N*，
所以n≥11，n∈N*，
所以要使该企业排放的污水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次．
故答案为：11．
54．统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为k，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为20%．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 　237　 倍（结果精确到个位）．
【答案】237．
【解答】解：由题意，n年后该物种的种群数量约为k（1+20%）n，
所以30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的（1+20%）30≈237倍．
故答案为：237．
55．塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为为初始量，r为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），v为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：ln5≈1.6，lg2≈0.3）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变．已知2年就可降解初始量的20%．要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）144年；
（2）26年．
【解答】解：（1）由题可知，所以，
所以，
解得t≈144，所以残留量为初始量的20%，大约需要144年．
（2）根据题意当t＝2时，y＝（1﹣20%）y0，，
∴，若残留量不超过初始量的5%，则，即，
两边取常用对数，
解得，
所以至少需要26年．
56．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，e为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室．请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室．（参考数据：ln2≈0.7）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由函数的图象知，直线过点原点和（0.1，1），则图象中线段的方程为y＝10t（0≤t≤0.1），
又点（0.1，1）在曲线y上，所以1，解得a＝0.1，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为y．
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则0.25，所以，所以t﹣0.1≥ln4，解得t≥1.5，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室．
57．近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析．生产手办全年需投入固定成本12万元，生产x（千件）手办，需另投入成本C（x）（万元）．且，由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完．
（1）求出2024年的利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当0＜x＜6时，利润函数L（x）＝9x﹣（x2+x）﹣12＝﹣x2+8x﹣12；
当x≥6时，利润函数，
所以利润L（x）关于年产量x的解析式为L（x）；
（2）若0＜x＜6，则L（x）＝﹣x2+8x﹣12，即L（x）＝﹣（x﹣4）2+4，
所以当x＝4时，利润函数的最大值为L（x）max＝4万元；
若x≥6，则L（x）＝﹣（x）+28≤﹣228＝8，
当且仅当时，即x＝10时，利润函数取得最大值为L（x）max＝8万元，
因为8＞4，所以2024年年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元．
58．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情．经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃），可由公式求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t＝0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
t（min） 0 1 2 3 4 5
θ（℃） 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.00
（1）请你利用表中的一组数据t＝5，θ＝65.00求k的值，并求出此时θ（t）的解析式（计算结果四舍五入精确到0.01）；
（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据 （1）的结果，王大爷要等待多长时间？（计算结果四舍五入精确到1分钟）．
参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然对数的底数，e≈2.71828
【答案】（1）θ（t）＝25+60e﹣0.08t；
（2）王大爷要等待约9分钟．
【解答】解：（1）∵θ（t）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，
且当茶水开始的温度是θ1＝85℃，室温是θ0＝25℃，t＝5min时，θ＝65℃，
∴65＝25+（85﹣25）e﹣5k，
∴，
∴，
∴θ（t）＝25+60e﹣0.08t；
（2）由（1）可知θ（t）＝25+60e﹣0.08t，
代入θ＝55，得55＝25+60e﹣0.08t，即，
两边取以e为底的对数可得，
，
王大爷要等待约9分钟．
59．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
60．水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体．某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为16m2，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为54m2，水葫芦覆盖面积y（单位：m2），与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0且a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为80m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到640m2的最小月份．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【答案】（1）（x＞0），（x＞0）；
（2）10．
【解答】解：（1）依题意函数过点（1，16）和（4，54），
若选择模型y＝kax，
则，解得，，
故函数模型为（x＞0）．
若选择模型y＝mx2+n，
则，解得，，
故函数模型为（x＞0）．
（2）若选择模型y＝kax，即，当x＝5时，
若选择模型y＝mx2+n，即，当x＝5时，
因为|81﹣80|＜|76.8﹣80|，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到640m2的最小月份是10月份．4.6 函数的应用（二）
▉考点01 指数型函数模型
函数y=abx+c(b>0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸.
▉考点02 对数型函数模型
y=mlogax+m(a>0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0).
▉考点03 解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
一．指数函数的实际应用（共60小题）
1．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则（　　）
A．2 B．1 C．ln2 D．e
2．奶茶温度衰减满足函数关系T＝k bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟
3．我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里常数I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，则40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍
4．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
5．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
6．某种药物在人体内的浓度C（t）（单位：mg/L）随时间t（小时）的衰减规律为：，其中C0为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知ln2≈0.693）（　　）
A．12 B．24 C．28 D．36
7．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长．若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（参考数据：lg2≈0.3）（　　）
A．6 B．12 C．16 D．20
8．玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为y＝k 0.9x，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知1g3≈0.477，lg2≈0.301）（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．牛顿冷却定律（Newton’slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为80℃，那么大约再经过（　　）分钟，温度降为35℃．
A．10 B．20 C．30 D．40
10．流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标．在疫情初期，感染人数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律近似满足公式，其中I0为初始感染人数，r为传播率．若某种病毒在疫情初期r＝0.2，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（　　）（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．5天 B．7天 C．9天 D．11天
11．古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为N0．当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量N（t）随时间t（单位：年）的变化规律满足，其中λ是衰变常数．已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的．现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为，由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（　　）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（9800，10000） B．（12800，13000）
C．（13800，14000） D．（14800，15000）
12．已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示原有的某种物质的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．690年 B．700年 C．710年 D．720年
13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（C0为原始量，k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（　　）参考时间轴：
A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝
14．目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为Q（t）＝100（1﹣e﹣0.05t）．现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据ln5≈1.6）（　　）
A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟
15．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同．假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃中的保鲜时间约是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
16．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间存在关系C＝Ik t，其中k为常数．在电池容量不变的条件下，当I＝15A时，t＝32h；当I＝20A时，t＝18h．则电池的容量C为（　　）
A．6600Ah B．6800Ah C．7000Ah D．7200Ah
17．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间t0，该物质的能量由N0减少到，则再经过时间3t0，该物质的能量为（　　）
A． B． C． D．
18．已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（　　）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
19．荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（　　）
（参考数据：lg101≈2.0043，lg2≈0.3010）
A．60天 B．65天 C．70天 D．75天
20．核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水．核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡．已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：N＝N0，N0为初始值，T为半衰期，t为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过（　　）年．（lg2≈0.3010）
A．155 B．159 C．162 D．166
21．某厂1995年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（　　）
A．a（1+5%）13 B．a（1﹣5%）13 C．a（1+5%）12 D．a（1﹣5%）12
22．碳14具有放射性．活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减．已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡t年后，碳14含量，其中C0为活体生物组织内碳14的含量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（　　）
A．宋（公元960～1279年）
B．元（公元1271 1368年）
C．明（公元1368 1644年）
D．清（公元1636 1912年）
23．某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：K＝eat+b（其中a、b为常数，e＝2.71828…，是一个和π类似的无理数）．若在20℃时的活性指标为11kgPP/gCat，若在40℃时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
24．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后液体A的温度θ℃可由公式求得．把温度是62℃的液体A放在15℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到51℃和27℃所用时间分别为t1min，t2min，则t2﹣t1的值约为（　　）（参考数据ln3≈1.10）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
25．基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10．据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要（参考数据ln2≈0.69）（　　）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
26．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（　　）（取：ln2＝0.69，ln3＝1.10）
A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min
27．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖．已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：y＝mat．若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（　　）（lg2≈0.3，结果四舍五入取整）
A．20天 B．21天 C．22天 D．23天
28．8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型．2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花．党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展．在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（　　）
（参考数据：lg2.338≈0.369，lg2.489≈0.396，100.034≈1.081，100.036≈1.086）
A．6% B．7% C．8% D．9%
29．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为（　　）
A．
B．
C．
D．
30．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型C＝C0ek（t﹣1），其中C0是初始浓度（即t＝1时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即t＝2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为9C0，则n＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
31．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为（　　）
A．
B．2
C．
D．2+log2512T1＝log2
32．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的约（　　）（参考数据：lg0.99≈﹣0.004，lg1.01≈0.004，lg832≈2.92）
A．99倍 B．101倍 C．292倍 D．832倍
33．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋、外卖包装盒等产品．研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质．为研究总质量为100g的PBAT的已分解质量y（单位：g）与时间x（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y与时间x的函数关系式为y＝100﹣e4.6﹣0.1x．据此研究结果可以推测，总质量为100g的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（　　）（参考数据：ln40≈3.7）
A．8个月 B．9个月 C．10个月 D．11个月
34．杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级x（x＝1，2，3，4）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y＝eax+b．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（　　））
A．5.66元/千克 B．8.48元/千克
C．11.31元/千克 D．16元/千克
35．为了保证杭州亚运会运动员能够吃上新鲜食材，亚运会后勤采购部门决定从千岛湖某水产站直接采购新鲜活鱼．活鱼出水后，须在最短时间内将其处理掉，否则会失去新鲜度．已知某种活鱼失去新鲜度p与其出水时间t（分）满足函数关系：p＝mat．若出水后20分钟失去新鲜度为10%，出水后40分钟失去新鲜度为30%．若不及时处理，在多长时间后失去全部新鲜度（　　）（参考数据：lg3≈0.48）
A．52 B．59 C．62 D．69
36．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（　　）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5 B．10 C．15 D．20
37．当生物死亡后，它的机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p＝（　　）
A． B．0.55330
C． D．1﹣0.55730
38．假设某地2022年年初的物价为a，每年以5%的增长率递增，则2031年年初的物价为（　　）
A．（1.5%）8a B．1.058a C．1.059a D．1.0510a
39．某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+2b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是（　　）
A．4h B．8h C．12h D．16h
40．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2，已知f（x）1，则函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为（　　）
A．{﹣3，0，2} B．{﹣1，2} C．{﹣3，0，﹣2} D．{﹣2，0，3}
41．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t），其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
（多选）42．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at（a＞0，a≠1）．下列说法正确的是（　　）
A．浮萍每月的增长率为1．
B．1.5个月内浮萍可以从4m2蔓延到12m2．
C．浮萍每月增加的面积都相等．
D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，36m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2（t1+t2）＝t3．
（多选）43．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的部分图象如图所示，则（　　）
A．0＜a＜1
B．﹣1＜b＜0
C．log2（a﹣b）＞0
D．函数g（x）＝logax+b的零点小于1
（多选）44．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象．以下说法中正确的是（　　）
A．
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．剩留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
（多选）45．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．人口的年平均增长率r满足，其中t为经过的时间，M0为t＝0时的人口总数（单位：万），Mt为经过t年后的人口总数（单位：万）．如表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况：
2022年人口总数 年平均增长率
A市 2M 0.02～0.03
B市 1.5M 0.04～0.05
C市 3M 0.03
利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为MA，MB，MC，则（　　）
A． B．
C． D．
46．碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率．考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年．假设某生物死亡时其体内碳14的含量为M0，则此生物的死亡时间t（t≥0，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是M＝　 　 ．
47．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程A后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%．为使得所记忆的内容不低于，最多在n（n∈N）个星期之后对所学内容进行复习，则n＝　 　 ．（lg3≈0.477，lg2≈0.3）
48．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征，其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.25t．现将一壶水温为90℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为55℃时口感最佳，若空气的温度为20℃，则从沏茶开始，大约经过　 　 分钟饮用口感最佳．（参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693．结果要四舍五入，精确到整数）
49．某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　 　 年．（参考数据：取lg3＝0.48，lg11＝1.041）
50．一种放射性元素，每年的衰减率是10%，那么akg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于 　 　 ．
51．某工厂在2020年排放废水200万吨，2021年增长率约为50%．如果不采取措施，未来排放废水量还将以此增长率增长，从 　 　 年开始，该工厂排放废水量超过2000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
52．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型C＝C0ek（t﹣1），其中C0是初始浓度（即t＝1时该污染物的浓度），k是常数．第2天（即t＝2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为27C0，则n＝　 　 ．
53．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.65g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.59g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型（p∈R，n∈N*），其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg2≈0.301）　 　 次．
54．统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为k，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为20%．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 　 　 倍（结果精确到个位）．
55．塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为为初始量，r为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），v为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：ln5≈1.6，lg2≈0.3）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变．已知2年就可降解初始量的20%．要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
56．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，e为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室．请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室．（参考数据：ln2≈0.7）
57．近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析．生产手办全年需投入固定成本12万元，生产x（千件）手办，需另投入成本C（x）（万元）．且，由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完．
（1）求出2024年的利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
58．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情．经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃），可由公式求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t＝0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
t（min） 0 1 2 3 4 5
θ（℃） 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.00
（1）请你利用表中的一组数据t＝5，θ＝65.00求k的值，并求出此时θ（t）的解析式（计算结果四舍五入精确到0.01）；
（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据 （1）的结果，王大爷要等待多长时间？（计算结果四舍五入精确到1分钟）．
参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然对数的底数，e≈2.71828
59．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
60．水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体．某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为16m2，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为54m2，水葫芦覆盖面积y（单位：m2），与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0且a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为80m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到640m2的最小月份．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

展开更多......

收起↑