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4.5增长速度的比较
▉一、平均变化率的概念
对于函数，若取定义域内两个不相等的点和，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间（或）上的平均变化率为
▉二、平均变化率的几何意义
函数在区间上的平均变化率表示函数图象上过点和点的直线的斜率．
▉三、增长速度的比较
四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。
（3）对数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间上，尽管函数，和都是增函数，但增长速度不在同一“档次”．
随着x的增大，的增长速度越来越快，最终会远超
的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个，当时，就有．
▉一．函数的单调性与函数图象的特征（共30小题）
1．已知函数且a＞0，若f（x）在R上为减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，2） C． D．
2．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝x2 D．y＝2x
3．以下函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B．f（x）＝|x| C．f（x）＝sinx D．f（x）＝﹣x3
4．已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（2，6] C．[3，6] D．（2，3]
5．函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（2，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1]
6．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝3x B．y＝x3+1 C． D．y＝x﹣sinx
7．已知函数y＝f（x）在[﹣1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为（　　）
A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
8．函数在区间（0，+∞）上（　　）
A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减
9．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（　　）
A． B．（1，2） C． D．（1，2]
10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（3﹣x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）＝1在[﹣1，11]上的所有实根之和为（　　）
A．30 B．28 C．26 D．24
11．已知函数f（x）（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（4，+∞）
12．如图是函数y＝f（x）的图象，其定义域为[﹣2，+∞），则函数f（x）的单调递减区间是（　　）
A．[﹣1，0） B．[1，+∞）
C．[﹣1，0），[1，+∞） D．[﹣1，0）∪[1，+∞）
13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x3 C． D．y＝x4
14．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（　　）
A．y B．y＝x2 C．y＝|x| D．
15．如图所示，函数y＝f（x）在下列哪个区间上单调递增（　　）
A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4] C．[﹣3，1] D．[﹣3，4]
（多选）16．下列函数中，满足对任意x1，x2∈（1，+∞），[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0的是（　　）
A．f（x）＝3x+1 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝﹣（x﹣1）2﹣5 D．f（x）＝|x+4|
（多选）17．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝5z，则下列不等关系正确的有（　　）
A． B． C．3x＜4y＜5z D．xz＞y2
（多选）18．关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象在第一、三象限
B．当a＞0时，函数f（x）的图象在第一象限内先单调递减后单调递增
C．当a＝10时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D．当a＜0时，函数f（x）在定义域上单调递增
（多选）19．已知函数，，则（　　）
A．f1（x）的图象是中心对称图形
B．f2（x）的值域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）
C．
D．当函数g（x）＝f1（x）+f2（x）+f3（x）时，存在x1＜x2＜x3，使得g（x1）＝g（x2）＝g（x3）＝﹣5
（多选）20．下列判断不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数．
B．f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调减区间为（4，+∞）
C．已知x＞0，y＞0，且，若x+y＞m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是（﹣4，1）
D．已知在R上是减函数，则a的取值范围是
（多选）21．函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　）
A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞）
B．函数s＝f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时，
（多选）22．下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣|x|
（多选）23．下列判断不正确的是（　　）
A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数f（x），对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0成立
D．已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]
（多选）24．a＞b的充要条件可以是（　　）
A． B．
C．a3＞b3 D．ac2＞bc2
（多选）25．下列函数在（1，+∞）上单调递增的为（　　）
A．
B．f（x）＝lnx
C．f（x）＝x2﹣2x+3
D．
（多选）26．下列函数中，在（﹣1，+∞）上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|x|﹣1
B．
C．f（x）＝﹣x3
D．
27．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列结论：①函数f（x）在x∈（3，6）上单调递增；②函数f（x）的值域为；③直线x＝3是函数f（x）图象的一条对称轴；④关于x的方程f（x）＝kx+3最多有6个实数根．其中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
28．已知函数f（x）的图象如图所示，若f（x）在[m，m+1]上单调递增，则m的取值范围为 　 　 ．
29．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：
①f（5）＝0；
②f（x）在上单调递减；
③函数f（x）没有最小值；
④函数f（x）在x＝0处取得最大值；
⑤f（x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是 　 　 ．
30．已知函数f（x）＝|x2﹣2|x|﹣3|
（1）证明f（x）为偶函数；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
二．指数函数与对数函数的关系（共30小题）
31．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
32．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
33．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣e B． C．e D．
34．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝[xlnx]，当f（x）＝0时，x的取值集合为A，则下列选项为x∈A的充分不必要条件的是（　　）
A．x∈（0，1） B． C．x∈（1，2） D．x∈（2，e）
35．已知x1＝ln，x2，x3满足lnx3，则下列各选项正确的是（　　）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
36．当时，，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，4） D．（2，4 ）
37．设方程10x＝|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
38．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，则f（x）与g（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
39．设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．x1x2＜0
40．已知函数f（x），若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
41．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
42．给出下列三个等式：f（xy）＝f（x）+f（y），f（x+y）＝f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（　　）
A．f（x）＝3x B．f（x）＝sinx
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝tanx
43．已知（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝ex的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
44．已知a＝2﹣0.3，，，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
45．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＞0 D．
46．已知0＜a＜1，则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logax的图象在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
47．下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝ax与y＝（）x图象关于x轴对称
B．函数y＝logax与y图象关于y轴对称
C．函数y＝ax与y＝logax图象关于直线y＝x对称
D．函数y＝ax与y＝logax图象关于y轴对称
（多选）48．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
（多选）49．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D．
（多选）50．下列四个命题中为假命题的是（　　）
A．
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“ x∈R，x2+x﹣1＜0”
C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x的图象关于直线y＝x对称
（多选）51．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＝2
B．
C．
D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2）
（多选）52．若函数f（x）＝loga（x﹣1）+loga+2（x+1）（0＜a＜1）在（1，+∞）上单调递减，则a的取值可以是（　　）
A．0.39 B． C．0.42 D．
（多选）53．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论，则其中正确的结论是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C． D．x1lnx2+x2lnx1＜0
54．设2a＝5b＝m，且2，m＝　 　 ．
55．已知f（x5）＝log2x，则f（2）＝　 　 ．
56．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　 　 ．
57．已知lga+lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx的图象可能是 　 　 ．
58．若a＞0，，则a＝　 　 ．
59．已知函数，有以下命题：
①函数f（x）的图象在y轴的一侧；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）为定义域上的增函数；
④函数f（x）在定义域内有最大值，则正确的命题序号是　 　 ．
60．设函数f（ex）＝2x+3，求f（x）．4.5增长速度的比较
▉一、平均变化率的概念
对于函数，若取定义域内两个不相等的点和，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间（或）上的平均变化率为
▉二、平均变化率的几何意义
函数在区间上的平均变化率表示函数图象上过点和点的直线的斜率．
▉三、增长速度的比较
四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。
（3）对数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间上，尽管函数，和都是增函数，但增长速度不在同一“档次”．
随着x的增大，的增长速度越来越快，最终会远超
的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个，当时，就有．
▉一．函数的单调性与函数图象的特征（共30小题）
1．已知函数且a＞0，若f（x）在R上为减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，2） C． D．
【答案】A
【解答】解：函数在R上为减函数，a＞0，
当x＜1时，单调递减，此时，
若当x≥1时，f（x）＝ax﹣x2单调递减，则，此时f（x）max＝f（1）＝a﹣1，
因为f（x）在R上单调递减，所以，解得a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2．
故选：A．
2．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝x2 D．y＝2x
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是幂函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于C，y＝x2，是二次函数，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，y＝2x，是指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：C．
3．以下函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B．f（x）＝|x| C．f（x）＝sinx D．f（x）＝﹣x3
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是反比例函数，是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝|x|是R上的偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝sinx是R上的奇函数，在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
对于D，f（x）＝﹣x3是R上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
故选：D．
4．已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（2，6] C．[3，6] D．（2，3]
【答案】C
【解答】解：根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减．
可得，解得3≤a≤6．
故选：C．
5．函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（2，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1]
【答案】D
【解答】解：由已知，，
则f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]．
故选：D．
6．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝3x B．y＝x3+1 C． D．y＝x﹣sinx
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝3x，是指数函数，其定义域为R，f（﹣x）＝3﹣x≠﹣f（x），则y＝3x不是奇函数，故A错误；
对于B，g（x）＝x3+1的定义域为R，g（﹣x）＝（﹣x）3+1＝﹣x3+1≠﹣g（x），则y＝x3+1不是奇函数，故B错误；
对于C，在（0，1）上单调递减，故C错误；
对于D，h（x）＝x﹣sinx的定义域为R，h（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣h（x），则y＝x﹣sinx为奇函数，
当x∈（0，1）时，y′＝1﹣cosx＞0，∴y＝x﹣sinx在（0，1）上单调递增，故D正确，
故选：D．
7．已知函数y＝f（x）在[﹣1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为（　　）
A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
【答案】B
【解答】解：根据题意，若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，
由图可知：y＝f（x）的单调递增区间为[0，1]．
故选：B．
8．函数在区间（0，+∞）上（　　）
A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减
【答案】D
【解答】解：因，即f（x）＝min{2﹣x，lgx}，
设g（x）＝2﹣x﹣lgx，
y＝2﹣x在R上单调简单，y＝lgx在R上单调递增，
函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又，
由零点存在定理，存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＝2﹣x﹣lgx＜0，则2﹣x＜lgx，此时，f（x）＝2﹣x在（x0，+∞）上单调递减，
当x∈（0，x0）时，g（x）＝2﹣x﹣lgx＞0，则2﹣x＞lgx，此时f（x）＝lgx在（0，x0）上单调递增；
故函数，在区间（0，+∞）上先增后减．
故选：D．
9．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（　　）
A． B．（1，2） C． D．（1，2]
【答案】D
【解答】解：根据题意，函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，
所以，解得1＜a≤2，
所以a的取值范围是（1，2]．
故选：D．
10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（3﹣x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）＝1在[﹣1，11]上的所有实根之和为（　　）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】A
【解答】解：由f（x﹣1）＝f（3﹣x）可知，函数f（x）关于x＝1对称，
由函数是奇函数，可知，f（3﹣x）＝f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），即f（2+x）＝﹣f（x），
则f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），所以函数的周期为4，
如图，根据函数的性质，画出函数的示意图，
由对称性可知，方程f（x）＝1在[﹣1，0）上有一个实数根，根据函数关于x＝1对称，
可知f（x）＝1在[2，3）上也有一个实数根，再根据函数的周期性，如图，得到y＝1与y＝f（x）在区间[﹣1，11]的6个交点，
利用对称性可知，x1+x2＝2，x3+x4＝10，x5+x6＝18，
所以方程f（x）＝1在[﹣1，11]上的所有实根之和为2+10+18＝30．
故选：A．
11．已知函数f（x）（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（4，+∞）
【答案】A
【解答】解：因为f（x）（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，
所以，解得a≥3．
故选：A．
12．如图是函数y＝f（x）的图象，其定义域为[﹣2，+∞），则函数f（x）的单调递减区间是（　　）
A．[﹣1，0） B．[1，+∞）
C．[﹣1，0），[1，+∞） D．[﹣1，0）∪[1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由函数单调递减的定义可知对应图象呈下降趋势，根据函数图象可知，f（x）的单调递减区间为[﹣1，0）和[1，+∞）．
故选：C．
13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x3 C． D．y＝x4
【答案】B
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x+1，是一次函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x3，是幂函数，在定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意；
对于C，y，是反比例函数，不是增函数，不符合题意；
对于D，y＝x4，是幂函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意．
故选：B．
14．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（　　）
A．y B．y＝x2 C．y＝|x| D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减且是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x2，是二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝|x|，是偶函数不是奇函数，不符合题意；
对于D，设f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣xf（x），是奇函数，
函数y＝x在区间（0，+∞）上单调递增，而函数y区间（0，+∞）上单调递减，
故该函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：D．
15．如图所示，函数y＝f（x）在下列哪个区间上单调递增（　　）
A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4] C．[﹣3，1] D．[﹣3，4]
【答案】C
【解答】解：观察函数图象，在[﹣4，﹣3]、[1，4]上随x的增大，函数y＝f（x）的图象是下降的，
在[﹣3，1]上随x的增大，函数y＝f（x）的图象是上升的，
因此函数y＝f（x）在[﹣4，﹣3]、[1，4]上单调递减，在[﹣3，1]上单调递增，
所以函数y＝f（x）在[﹣3，1]上是增函数．
故选：C．
（多选）16．下列函数中，满足对任意x1，x2∈（1，+∞），[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0的是（　　）
A．f（x）＝3x+1 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝﹣（x﹣1）2﹣5 D．f（x）＝|x+4|
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，若f（x）满足对任意x1，x2∈（1，+∞），[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则f（x）在（1，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，f（x）＝3x+1，是一次函数，在（1，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，f（x）＝2x，是指数函数，在（1，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，f（x）＝﹣（x﹣1）2﹣5，是二次函数，在（1，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于D，f（x）＝|x+4|，在（1，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：ABD．
（多选）17．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝5z，则下列不等关系正确的有（　　）
A． B． C．3x＜4y＜5z D．xz＞y2
【答案】ACD
【解答】解：已知正数x，y，z满足3x＝4y＝5z，
令3x＝4y＝5z＝k，则k＞1，x＝log3k，y＝log4k，z＝log5k．
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故3x＜4y；，故4y＜5z；从而3x＜4y＜5z，故C正确；
对于D：由A知，则xz＞y2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）18．关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象在第一、三象限
B．当a＞0时，函数f（x）的图象在第一象限内先单调递减后单调递增
C．当a＝10时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D．当a＜0时，函数f（x）在定义域上单调递增
【答案】BC
【解答】解：，
对于AD，当a＜0时，函数f（x）的图象分布在每个象限，如图，
且函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，故AD错误；
对于B，当a＞0时，函数f（x）为对勾函数，
且函数f（x）的图象在第一象限内先单调递减后单调递增，故B正确；
对于C，当a＝10时，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故C正确．
故选：BC．
（多选）19．已知函数，，则（　　）
A．f1（x）的图象是中心对称图形
B．f2（x）的值域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）
C．
D．当函数g（x）＝f1（x）+f2（x）+f3（x）时，存在x1＜x2＜x3，使得g（x1）＝g（x2）＝g（x3）＝﹣5
【答案】AD
【解答】解：因为，
所以f1（x）+f1（﹣x﹣6）＝﹣4，f1（x）的图象关于点（﹣3．﹣2）对称，A正确；
，
因为x≠﹣3，且x≠﹣2，所以﹣x+2∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），
所以，B不正确；
，且x≠﹣2），
则，
则f2025（x）＝f3（x），f2025（0）＝f3（0）＝0，C正确；
，
令，
结合解析式可知h（x）在（﹣∞，﹣3），（﹣3，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增，
因为，，
，，
，
所以存在，，x3∈（0，1），
使得/（x1）＝h（x2）＝h（x3）＝0，
则存在x1＜x2＜x3使得g（x1）＝g（x2）＝g（x3）＝﹣5，故D正确．
故选：AD．
（多选）20．下列判断不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数．
B．f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调减区间为（4，+∞）
C．已知x＞0，y＞0，且，若x+y＞m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是（﹣4，1）
D．已知在R上是减函数，则a的取值范围是
【答案】ABD
【解答】解：对于A，函数f（x），函数的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），在整个定义域内不具有单调性，故A不正确；
对于B，f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8），x2﹣2x﹣8＞0，可得x＞4或x＜﹣2，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
由复合函数的单调性可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），单调递增区间为（4，+∞），故B不正确；
因为x＞0，y＞0，且，所以x+y＝（x+y）（）＝24，当且仅当y＝x＝2时取等号，
要使x+y＞m2+3m恒成立，即4＞m2+3m恒成立，解得﹣4＜m＜1，即实数m的取值范围是（﹣4，1），故C正确；
因为在R上是减函数，所以，
解得a，即a的取值范围是[，），故D不正确．
故选：ABD．
（多选）21．函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　）
A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞）
B．函数s＝f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时，
【答案】BD
【解答】解：由图象可知，当t∈[﹣3，﹣1]，s∈[1，5]，
当t∈[0，+∞），s∈（0，4]，
故f（t）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A选项错误．
f（t）的值域为（0，5]，故B选项正确．
当s∈[1，2]时，通过图象可以发现，当s＝2时，有3个不同的t值与之对应，故C选项错误．
当t∈（0，1）时，函数为增函数，故D选项正确．
故选：BD．
（多选）22．下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣|x|
【答案】AB
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是反比例函数，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x，是正比例函数，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝x2，是二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意；
对于D，设f（x）＝﹣|x|，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），
则该函数是偶函数不是奇函数，不符合题意．
故选：AB．
（多选）23．下列判断不正确的是（　　）
A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数f（x），对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0成立
D．已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]
【答案】ABD
【解答】解：f（x）＝（x﹣1）2，满足f（﹣2）＞f（2），但它在R上不是减函数，A错；
在定义域内不是减函数，例如f（﹣2），f（1）＝1，B错；
C中函数x≥0时f（x）＝（x+1）2≥1是增函数，x＜0时，f（x）＝1是常数函数，
因此f（x）定义域内不递减，即x1≤x2时，一定有f（x1）≤f（x2），
所以（x1﹣x2）[（f（x1）﹣f（x2）]≤0恒成立，x1＞x2时，也一样，C正确；
D中函数在R上是增函数，则，解得﹣3≤a≤﹣2，D错．
故选：ABD．
（多选）24．a＞b的充要条件可以是（　　）
A． B．
C．a3＞b3 D．ac2＞bc2
【答案】BC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
A选项，当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但不满足，A错误；
B选项，因为在R上单调递减，所以a＞b，故B正确；
C选项，由于y＝x3在R上单调递增，故a3＞b3 a＞b，C正确；
D选项，当a＝2，b＝1，c＝0时，满足a＞b，但不满足ac2＞bc2，D错误．
故选：BC．
（多选）25．下列函数在（1，+∞）上单调递增的为（　　）
A．
B．f（x）＝lnx
C．f（x）＝x2﹣2x+3
D．
【答案】BC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，为对勾函数，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故A错误；
对于B，f（x）＝lnx，是对数函数，在（0，+∞）上单调递增，故B正确；
对于C，f（x）＝x2﹣2x+3，是二次函数，在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故C正确；
对于D，因为f（2）＝5，log24.1＞log24＝2，
所以，故D错误．
故选：BC．
（多选）26．下列函数中，在（﹣1，+∞）上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|x|﹣1
B．
C．f（x）＝﹣x3
D．
【答案】BD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝|x|﹣1，在区间（﹣1，0）上为减函数，不符合题意；
对于B，f（x）1，可以由函数y向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，
则f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，f（x）＝﹣x3，在R上为减函数，不符合题意；
对于D，，在（﹣1，+∞）上为增函数，符合题意．
故选：BD．
27．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列结论：①函数f（x）在x∈（3，6）上单调递增；②函数f（x）的值域为；③直线x＝3是函数f（x）图象的一条对称轴；④关于x的方程f（x）＝kx+3最多有6个实数根．其中，所有正确结论的序号是 　①④　 ．
【答案】①④．
【解答】解：设AB的中点为D，连接OD，OP，则△ODP为直角三角形，且易知，如下图所示：
当3≤x＜6时，OD2+DP2＝OP2，即3+（x﹣3）2；
当0≤x＜3时，OD2+DP2＝OP2，即3+（x﹣3）2；
则0≤x＜6时，f（x）＝x2﹣6x+12，
同理可得6≤x＜12时，f（x）＝3+（x﹣9）2，当12≤x≤18时，f（x）＝3+（x﹣15）2；
故，
画出函数f（x）的图象如下图所示：
由图可知函数f（x）在x∈（3，6）上单调递增，即①正确；
易知函数f（x）的值域为[3，12]，②说法错误；
由图可知直线x＝9是函数f（x）图象的唯一一条对称轴，③说法错误；
画出f（x）与y＝kx+3在同一坐标系下的图象，
可得关于x的方程f（x）＝kx+3最多有6个实数根，即④说法正确．
故答案为：①④．
28．已知函数f（x）的图象如图所示，若f（x）在[m，m+1]上单调递增，则m的取值范围为 　[0，1]　 ．
【答案】[0，1]．
【解答】解：由题意得，，
解得，0≤m≤2，
故m的范围为：[0，1]．
故答案为：[0，1]．
29．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：
①f（5）＝0；
②f（x）在上单调递减；
③函数f（x）没有最小值；
④函数f（x）在x＝0处取得最大值；
⑤f（x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是 　①②④　 ．
【答案】①②④．
【解答】解：（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0，
得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），
设t＝x﹣1．x＝t+1，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t），
所以f（4+x）＝f（x），所以函数的周期是4．
当x＝0时，f（1）+f（1）＝0，
所以f（1）＝0，
因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．
（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．
（3）函数有最小值，也有最大值，且互为相反数，故③错，
（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），
∴函数f（x）在x＝0处取得最大值，④正确；
（5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（1）＝0，
所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误．
故答案为：①②④．
30．已知函数f（x）＝|x2﹣2|x|﹣3|
（1）证明f（x）为偶函数；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）图象见解答，f（x）的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）．
（3）f（x）在x∈[﹣2，4]时的最大值为5，最小值为0．
【解答】解：（1）证明：f（x）＝|x2﹣2|x|﹣3|的定义域为R，
且f（﹣x）＝|（﹣x）2﹣2|﹣x|﹣3|＝|x2﹣2|x|﹣3|＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）作出函数f（x）的图象如图所示：
由图象可得f（x）的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）．
（3）由图象可得f（x）在x∈[﹣2，4]时的最大值为f（4）＝5，
最小值为f（3）＝0．
▉二．指数函数与对数函数的关系（共30小题）
31．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1，y2，
22，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故，
两边同时取对数可得，log2．
故选：B．
32．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【答案】A
【解答】解：∵，，，
∴c＜a＜b．
故选：A．
33．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣e B． C．e D．
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，
∴函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，
则f（x）＝lnx，
又∵f（m）＝﹣1
∴lnm＝﹣1，
m，
故选：D．
34．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝[xlnx]，当f（x）＝0时，x的取值集合为A，则下列选项为x∈A的充分不必要条件的是（　　）
A．x∈（0，1） B． C．x∈（1，2） D．x∈（2，e）
【答案】B
【解答】解：令g（x）＝xlnx，x＞0，
当f（x）＝0时，0≤g（x）＜1，
∵g′（x）＝lnx+1，
当x∈（，+∞）时，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（0，）时，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，且g（x）＜0，
∵g（1）＝0，∴0≤g（x）＜1的解为[1，x0），且g（x0）＝1，
∵g（2）＝2ln2＝ln4＞1，g（）ln1，g（e）＝elne＝e＞1，
∴（1，） [1，x0），
故选：B．
35．已知x1＝ln，x2，x3满足lnx3，则下列各选项正确的是（　　）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
【答案】B
【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x1＝lnln1＝0；
因为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x2e0＝1；
x3满足lnx3，
所以x3＞0，所以0，
所以lnx3＞0＝ln1，
又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，
所以x3＞1，
综上：x1＜x2＜x3．
故选：B．
36．当时，，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，4） D．（2，4 ）
【答案】B
【解答】解：当时，要使恒成立，则需
解得：．
故选：B．
37．设方程10x＝|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
【答案】D
【解答】解：作出函数y＝10x，y＝|lg（﹣x）|的图象，由图象可知，两个根一个小于﹣1，一个在（﹣1，0）之间，
不妨设x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，
则lg（﹣x1），
|lg（﹣x2）|＝﹣lg（﹣x2）．
两式相减得：
lg（﹣x1）﹣（﹣lg（﹣x2）＝lg（﹣x1）+lg（﹣x2）＝lg（x1x2）0，
即0＜x1x2＜1．
故选：D．
38．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，则f（x）与g（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，
∴f（3）＞0，g（3）＞0，
∴a＞1，
即f（x），g（x）都为增函数，
故选：B．
39．设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．x1x2＜0
【答案】A
【解答】解：∵方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1和x2，由题意知，0＜x1＜1，x2＞1．
根据 y＝2﹣x 是减函数，可得 ，即|lgx1|＞|lgx2|，
∴﹣lgx1＞lgx2，∴x2，∴0＜x1x2＜1，
故选：A．
40．已知函数f（x），若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
【答案】C
【解答】解：当x0≤0时，，解得0≥x0≥﹣1
当x0＞0时，log2x0≥1，解得x0≥2
∴x0∈[﹣1，0]∪[2，+∞），
故选：C．
41．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：当x＝1时，对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，
故M（1，1），N（1，2），一定不是好点，
当y＝1时，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，
故P（2，1）也一定不是好点，
而Q（2，2）是函数y与y的交点；
G（2，0.5）是函数y与y＝log4x的交点；
故好点有2个，
故选：C．
42．给出下列三个等式：f（xy）＝f（x）+f（y），f（x+y）＝f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（　　）
A．f（x）＝3x B．f（x）＝sinx
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝tanx
【答案】B
【解答】解：f（x）＝3x是指数函数满足f（x+y）＝f（x）f（y），排除A．
f（x）＝log2x是对数函数满足f（xy）＝f（x）+f（y），排除C
f（x）＝tanx满足，排除D．
故选：B．
43．已知（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝ex的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意知y10，y20，所以2，
因为（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝ex的图象上两个不同的点，
所以，所以2，即，
因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，
所以，
即ln．
故选：B．
44．已知a＝2﹣0.3，，，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【解答】解：因为a＝2﹣0.3∈（0，1），30.2＞1，0，
故c＜a＜b．
故选：B．
45．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＞0 D．
【答案】C
【解答】解：画出直线y＝﹣x+2与函数y＝ex和y＝lnx的图象，如图所示：
因为y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称；
直线y＝﹣x+2的图象也关于y＝x对称，所以交点A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x对称；
所以x1＝y2，x2＝y1，
又A（x1，y1）在直线y＝﹣x+2上，所以x1+y1＝2，即x1+x2＝2，选项A正确；
因为222e，所以选项B正确；
由，得ex+x﹣2＝0，设f（x）＝ex+x﹣2，则f（x）单调递增，
因为f（0）＝﹣1，f（）0，所以f（x）的零点在（0，）上，即0＜x1，
由x1+x2＝2得，1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1＝x1lnx2﹣x2lnx1lnx2﹣x2lnx2＝（x1﹣x2）lnx2＜0，选项C错误；
设g（x）＝2﹣x﹣lnx，则g（1）＝1＞0，g（）＝20，所以1＜x2，
又因为x1x2＝x2lnx2，函数y＝xlnx在（1，e）上单调递增，
所以x1x2＝x2lnx2ln，选项D正确．
故选：C．
46．已知0＜a＜1，则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logax的图象在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：当0＜a＜1时，g（x）＝logax在定义域（0，+∞）上单调递减，
f（x）＝a﹣x在R上单调递增，
∴对应的图形为D，
故选：D．
47．下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝ax与y＝（）x图象关于x轴对称
B．函数y＝logax与y图象关于y轴对称
C．函数y＝ax与y＝logax图象关于直线y＝x对称
D．函数y＝ax与y＝logax图象关于y轴对称
【答案】C
【解答】解：令a＝2，分别作出对应的图象，由图象可知
对于选项A，∵函数y＝ax与y＝（）x图象关于y轴对称，故不正确，
对于选项B，∵函数y＝logax与y图象关于x轴对称，故不正确，
对于选项C，D∵函数y＝ax与y＝logax图象关于直线y＝x对称，故C正确，D不正确．
故选：C．
（多选）48．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
（多选）49．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D．
【答案】AC
【解答】解：函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，
则y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称，
将y＝﹣x+2与y＝x联立，则x＝1，y＝1，
由直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
作出函数图像：
，
则A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（1，1），得0＜x1＜1＜x2＜2，
对于A，由，解得x1+x2＝2，故A正确；
对于B，由，解得x1x2≤1，由于x1≠x2，则x1x2＜1，故B错误；
对于C，因为0＜x1＜1＜x2＜2，
则x1lnx2+x2lnx1＜x2lnx2+x2lnx1＝x2ln（x1x2），
由于x1x2＜1，得x2ln（x1x2）＜0，故C正确；
对于D，，
因为x1≠x2，即等号不成立，所以，故D正确．
故选：AC．
（多选）50．下列四个命题中为假命题的是（　　）
A．
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“ x∈R，x2+x﹣1＜0”
C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x的图象关于直线y＝x对称
【答案】BC
【解答】解：A．如图，
可看出，存在x∈（0，1），使，A为真命题；
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0“的否定是″ x∈R，x2+x﹣1≤0“，∴B是假命题；
C.，则p是q的充分不必要条件，∴C是假命题；
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x互为反函数，∴图象关于y＝x对称，该命题是真命题．
故选：BC．
（多选）51．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＝2
B．
C．
D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2）
【答案】ABD
【解答】解：由函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，可知y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称，
又y＝﹣x+2与y＝x垂直，且由题意可知点A（x1，y1），B（x2，y2）也与y＝x对称，
可得x1＝y2，x2＝y1，结合点A（x1，y1）在直线 y＝﹣x+2上，得x1+y1＝2，即x1+x2＝2，故A正确；
由，
因为x1≠x2，则等号不成立，所以，故B正确；
因为﹣x1+2，﹣x2+2＝lnx2，所以ln（2x2）＝ln2+lnx2＝ln2﹣x2+2，
所以，故C错误；
因为，且，所以x1＝lny1，
由A可知x2＝y1，所以x1＝lnx2，
两边同时减lnx1，得x1﹣lnx1＝lnx2﹣lnx1，
又因为x1＝y2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣lny2，
由题可知y2＝lnx2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2），故D正确．
故选：ABD．
（多选）52．若函数f（x）＝loga（x﹣1）+loga+2（x+1）（0＜a＜1）在（1，+∞）上单调递减，则a的取值可以是（　　）
A．0.39 B． C．0.42 D．
【答案】BC
【解答】解：．
当0＜a＜1，x＞1时，，所以x[lna+ln（a+2）]+ln（a+2）﹣lna≥0对x∈（1，+∞）恒成立，
设g（x）＝x[lna+ln（a+2）]+ln（a+2）﹣lna，则lna+ln（a+2）＝ln（a2+2a）≥0，且
g（1）＝2ln（a+2）≥0，则，解得a∈[1，1）．
故选：BC．
（多选）53．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论，则其中正确的结论是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C． D．x1lnx2+x2lnx1＜0
【答案】ABD
【解答】解：对于A中，由直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，
又由函数y＝lnx和y＝ex的图象关于y＝x对称，且与y＝﹣x+2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
所以A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x对称，又由得交点坐标为（1，1），
所以x1+x2＝2，所以A正确；
对于B中，由，
因为x1≠x2，所以，所以B正确；
对于C中，设h（x）＝2﹣x﹣lnx，则，
所以，由于x1x2＝（2﹣x2）x2＝x2lnx2，
因为函数y＝xlnx在为单调递增函数，
所以，所以不成立，所以C错误；
对于D中，直线y＝﹣x+2与y＝ex联立，可得﹣x+2＝ex，即ex+x﹣2＝0，
设函数f（x）＝ex+x﹣2，易知f（x）是增函数，
又由f（0）＝﹣1＜0，，可得，
所以函数f（x）在区间上存在唯一零点，即，
因为x1+x2＝2，所以，
则，
所以x1lnx2+x2lnx1＜0，所以D正确．
故选：ABD．
54．设2a＝5b＝m，且2，m＝　　 ．
【答案】
【解答】解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得
，∴m2＝10，∵m＞0，∴
故应填
55．已知f（x5）＝log2x，则f（2）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：设t＝x5，则x，
∴f（t）＝log2log2t，
即f（2）log22，
故答案为：．
56．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　4　 ．
【答案】4
【解答】解：分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4﹣x的图象，相交于点P，Q．
∵log2α＝4﹣α，2β＝4﹣β．
而y＝log2x（x＞0）与y＝2x互为反函数，直线y＝4﹣x与直线y＝x互相垂直，
∴点P与Q关于直线y＝x对称．
∴α＝2β＝4﹣β．
∴α+β＝4．
故答案为：4．
57．已知lga+lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx的图象可能是 　②　 ．
【答案】②
【解答】解：∵lga+lgb＝0，
∴lgab＝0，即ab＝1，
①∵g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴①错误．
②由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，满足条件．
③由图象知指数函数单调递减，∴0＜a＜1，此时g（x）单调递减，不满足条件．
④由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，不满足条件．
故答案为：②．
58．若a＞0，，则a＝　3　 ．
【答案】3
【解答】解：由得，所以
故答案为：3
59．已知函数，有以下命题：
①函数f（x）的图象在y轴的一侧；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）为定义域上的增函数；
④函数f（x）在定义域内有最大值，则正确的命题序号是　①③　 ．
【答案】①③
【解答】解：对于函数，
由ax﹣1＞0，可得ax＞1＝a0，
当a＞1时，求得x＞0，故函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时，函数的图象仅在y轴的右侧，
当0＜a＜1时，求得x＜0，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），
此时，函数的图象仅在y轴的左侧，故①正确；
由于f（﹣x）f（x），故函数不是奇函数，故②不正确．
由于函数y＝logat 和函数t＝ax在它们各自的定义域上单调性相同，即同是增函数或同是减函数，
根据复合函数的单调性，可得在它的定义域内一定是增函数，故③正确．
由于t＝ax﹣1无最值，故y＝logat 无最值，故④不正确．
故答案为：①③．
60．设函数f（ex）＝2x+3，求f（x）．
【答案】f（x）＝2lnx+3．
【解答】解：令ex＝t，则有x＝lnt，所以原函数变形为f（t）＝2lnt+3，
∴f（x）＝2lnx+3．

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