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4.3 指数函数与对数函数的关系
▉一、反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到．
2．反函数的性质
若函数的反函数记作，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
减函数．
▉二、求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
▉三、指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
▉一．指数函数与对数函数的关系（共20小题）
1．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
3．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣e B． C．e D．
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝[xlnx]，当f（x）＝0时，x的取值集合为A，则下列选项为x∈A的充分不必要条件的是（　　）
A．x∈（0，1） B． C．x∈（1，2） D．x∈（2，e）
5．已知x1＝ln，x2，x3满足lnx3，则下列各选项正确的是（　　）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
6．当时，，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，4） D．（2，4 ）
7．设方程10x＝|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
8．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，则f（x）与g（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．x1x2＜0
10．已知函数f（x），若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
11．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．给出下列三个等式：f（xy）＝f（x）+f（y），f（x+y）＝f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（　　）
A．f（x）＝3x B．f（x）＝sinx
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝tanx
（多选）13．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
（多选）14．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D．
（多选）15．下列四个命题中为假命题的是（　　）
A．
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“ x∈R，x2+x﹣1＜0”
C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x的图象关于直线y＝x对称
16．设2a＝5b＝m，且2，m＝　 　 ．
17．已知f（x5）＝log2x，则f（2）＝　 　 ．
18．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　 　 ．
19．已知lga+lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx的图象可能是 　 　 ．
20．若a＞0，，则a＝　 　 ．
▉二．反函数（共40小题）
21．若函数y＝f（x）是y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则函数y＝f（2x﹣1）+3图象必过定点（　　）
A． B．（1，4） C． D．（1，3）
22．已知函数f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），则a＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
23．把函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）的图像，则g（x）的图像与函数的图像关于（　　）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
24．已知函数y＝f（x）与y＝3x互为反函数，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．1
25．已知函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则f（lg3） f（lg4）＝（　　）
A．lg7 B．10 C．12 D．107
26．若函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（1，3），则f（27）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
27．在函数y＝f（x）中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数x＝f（y）或y＝f﹣1（x）的图像时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（　　）
A．（0，+∞） B．（0，] C．（0，e] D．（0，]
28．若函数f（x）＝loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图像过点（5，1），其反函数的图像过点，则a+b＝（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
29．已知函数f（x）与g（x）＝log2x互为反函数，且满足f（﹣m）﹣f（﹣n）＞m﹣n，则（　　）
A．log2|m﹣n|＜0 B．log2|m﹣n|＞0
C．log2（n﹣m+1）＞0 D．log2（n﹣m+1）＜0
30．已知y＝（）x的反函数为y＝f（x），若f（x0），则x0等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．
31．函数y＝f（x）的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．已知函数f（x）＝2x，g（x）与f（x）互为反函数，则g（2）＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
33．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ex与y＝lnx的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝﹣x对称
34．已知函数y＝f（x）与y＝3x是互为反函数，则（　　）
A． B． C．f（1）＝3 D．f（3）＝1
35．已知函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图像关于直线y＝x对称，且满足f（1）+f（2）＝2，则a＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣1
36．已知函数f（x）在定义域[1，3]上满足f（x）f（y）＝f（x+y），f（1）＝2，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则g（x）＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
37．已知函数f（x）＝logax过点（4，2），若1≤f（x）≤3，f（x）的反函数为g（x），则g（x）的值域为（　　）
A． B． C．[1，3] D．[2，8]
38．设是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，则g（x）的值域为（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
39．函数y＝21﹣x+3（x∈R）的反函数的解析表达式为（　　）
A．（x＞3） B．（x＞3）
C．（x＜3） D．（x＜3）
40．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　）
A．log2x B． C． D．2x﹣2
41．函数y＝2x﹣1的反函数是（　　）
A．y＝log2（x﹣1）（x＞1） B．y1（x∈R）
C．y＝1+log2x（x＞0） D．y（x≠1）
42．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则下列选项不正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
（多选）43．已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a，b，则（　　）
A．a＜b B．a+b＝2 C．ab＞1 D．a2+b2＞2
（多选）44．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
（多选）45．下列说法正确的有（　　）
A．任取x∈R，都有4x＞3x
B．函数的最大值为1
C．所有的幂函数图象都会经过点（0，0）和（1，1）
D．在同一坐标系中，函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
（多选）46．如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（　　）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为
C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线
D．Γ的面积大于
（多选）47．有下列几个命题，其中正确的是（　　）
A．给定幂函数，则对任意x1，x2∈[0，+∞），都有
B．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
C．函数y＝f（x）与y＝10x互为反函数，则y＝f（x2﹣2x）的单调递减区间为（﹣∞，1）
D．已知函数是奇函数，则f（x）＝2x+3（x＜0）
48．已知对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），且图象过点（9，2），f（x）的反函数记为y＝g（x），则g（x）的解析式是　 　 ．
49．函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于　 　 对称；若函数h（x）是函数g（x）的反函数，则h（3）＝　 　 ．
50．若α+2α﹣1＝5，β+log2β＝4，则α+β＝ 　 　 ．
51．已知函数f（x）＝log2x，若函数g（x）是f（x）的反函数，则g（2）＝　 　 ．
52．若函数f（x）与g（x）＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，且g（x）的图象过点（﹣2，9），则f（1）+f（3）＝　 　 ．
53．若函数f（x）与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（8）为　 　 ．
54．若函数f（x）与g（x）＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，且g（x）的图象过点（2，9），则f（1）+f（9）＝ 　 　 ．
55．函数g（x）的图象和函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，则g（﹣1）＝　 　 ．
56．互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，如：指数函数y＝10x和对数函数y＝lgx的图象关于直线y＝x对称．（1）已知函数y＝f（x）和函数y＝h（x）互为反函数，点P（2，a）在y＝f（x）的图象上，则h（a）＝ 　 　 ．
（2）若函数与函数互为反函数，则c＝ 　 　 ．
57．若的反函数为f﹣1（x），且f﹣1（a）+f﹣1（b）＝﹣4，则的最小值为 　 　 ．
58．函数f（x）与y＝2x互为反函数，则f（f（2））＝　 　 ．
59．已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝　 　 ．
60．已知函数f（x）＝ex，函数y＝g（x）与y＝f（x）互为反函数．
（1）若函数y＝g（mx2+2x+1）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）求证：函数φ（x）＝g（x）+g（x+2）+x仅有1个零点x0，且g（ex0）＜f（x0+lnx0）．4.3 指数函数与对数函数的关系
▉一、反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到．
2．反函数的性质
若函数的反函数记作，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
减函数．
▉二、求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
▉三、指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
▉一．指数函数与对数函数的关系（共20小题）
1．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1，y2，
22，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故，
两边同时取对数可得，log2．
故选：B．
2．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【答案】A
【解答】解：∵，，，
∴c＜a＜b．
故选：A．
3．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣e B． C．e D．
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，
∴函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，
则f（x）＝lnx，
又∵f（m）＝﹣1
∴lnm＝﹣1，
m，
故选：D．
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝[xlnx]，当f（x）＝0时，x的取值集合为A，则下列选项为x∈A的充分不必要条件的是（　　）
A．x∈（0，1） B． C．x∈（1，2） D．x∈（2，e）
【答案】B
【解答】解：令g（x）＝xlnx，x＞0，
当f（x）＝0时，0≤g（x）＜1，
∵g′（x）＝lnx+1，
当x∈（，+∞）时，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（0，）时，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，且g（x）＜0，
∵g（1）＝0，∴0≤g（x）＜1的解为[1，x0），且g（x0）＝1，
∵g（2）＝2ln2＝ln4＞1，g（）ln1，g（e）＝elne＝e＞1，
∴（1，） [1，x0），
故选：B．
5．已知x1＝ln，x2，x3满足lnx3，则下列各选项正确的是（　　）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
【答案】B
【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x1＝lnln1＝0；
因为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x2e0＝1；
x3满足lnx3，
所以x3＞0，所以0，
所以lnx3＞0＝ln1，
又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，
所以x3＞1，
综上：x1＜x2＜x3．
故选：B．
6．当时，，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，4） D．（2，4 ）
【答案】B
【解答】解：当时，要使恒成立，则需
解得：．
故选：B．
7．设方程10x＝|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
【答案】D
【解答】解：作出函数y＝10x，y＝|lg（﹣x）|的图象，由图象可知，两个根一个小于﹣1，一个在（﹣1，0）之间，
不妨设x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，
则lg（﹣x1），
|lg（﹣x2）|＝﹣lg（﹣x2）．
两式相减得：
lg（﹣x1）﹣（﹣lg（﹣x2）＝lg（﹣x1）+lg（﹣x2）＝lg（x1x2）0，
即0＜x1x2＜1．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，则f（x）与g（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝ax，g（x）＝logax（a＞0，a≠1），若f（3）g（3）＞0，
∴f（3）＞0，g（3）＞0，
∴a＞1，
即f（x），g（x）都为增函数，
故选：B．
9．设方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1，x2，则下列关系正确的是（　　）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．x1x2＜0
【答案】A
【解答】解：∵方程2﹣x＝|lgx|的两个根为x1和x2，由题意知，0＜x1＜1，x2＞1．
根据 y＝2﹣x 是减函数，可得 ，即|lgx1|＞|lgx2|，
∴﹣lgx1＞lgx2，∴x2，∴0＜x1x2＜1，
故选：A．
10．已知函数f（x），若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
【答案】C
【解答】解：当x0≤0时，，解得0≥x0≥﹣1
当x0＞0时，log2x0≥1，解得x0≥2
∴x0∈[﹣1，0]∪[2，+∞），
故选：C．
11．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：当x＝1时，对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，
故M（1，1），N（1，2），一定不是好点，
当y＝1时，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，
故P（2，1）也一定不是好点，
而Q（2，2）是函数y与y的交点；
G（2，0.5）是函数y与y＝log4x的交点；
故好点有2个，
故选：C．
12．给出下列三个等式：f（xy）＝f（x）+f（y），f（x+y）＝f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（　　）
A．f（x）＝3x B．f（x）＝sinx
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝tanx
【答案】B
【解答】解：f（x）＝3x是指数函数满足f（x+y）＝f（x）f（y），排除A．
f（x）＝log2x是对数函数满足f（xy）＝f（x）+f（y），排除C
f（x）＝tanx满足，排除D．
故选：B．
（多选）13．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
（多选）14．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．
C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D．
【答案】AC
【解答】解：函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，
则y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称，
将y＝﹣x+2与y＝x联立，则x＝1，y＝1，
由直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
作出函数图像：
，
则A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（1，1），得0＜x1＜1＜x2＜2，
对于A，由，解得x1+x2＝2，故A正确；
对于B，由，解得x1x2≤1，由于x1≠x2，则x1x2＜1，故B错误；
对于C，因为0＜x1＜1＜x2＜2，
则x1lnx2+x2lnx1＜x2lnx2+x2lnx1＝x2ln（x1x2），
由于x1x2＜1，得x2ln（x1x2）＜0，故C正确；
对于D，，
因为x1≠x2，即等号不成立，所以，故D正确．
故选：AC．
（多选）15．下列四个命题中为假命题的是（　　）
A．
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“ x∈R，x2+x﹣1＜0”
C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x的图象关于直线y＝x对称
【答案】BC
【解答】解：A．如图，
可看出，存在x∈（0，1），使，A为真命题；
B．命题“ x∈R，x2+x﹣1＞0“的否定是″ x∈R，x2+x﹣1≤0“，∴B是假命题；
C.，则p是q的充分不必要条件，∴C是假命题；
D．f（x）＝2x与g（x）＝log2x互为反函数，∴图象关于y＝x对称，该命题是真命题．
故选：BC．
16．设2a＝5b＝m，且2，m＝　　 ．
【答案】
【解答】解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得
，∴m2＝10，∵m＞0，∴
故应填
17．已知f（x5）＝log2x，则f（2）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：设t＝x5，则x，
∴f（t）＝log2log2t，
即f（2）log22，
故答案为：．
18．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　4　 ．
【答案】4
【解答】解：分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4﹣x的图象，相交于点P，Q．
∵log2α＝4﹣α，2β＝4﹣β．
而y＝log2x（x＞0）与y＝2x互为反函数，直线y＝4﹣x与直线y＝x互相垂直，
∴点P与Q关于直线y＝x对称．
∴α＝2β＝4﹣β．
∴α+β＝4．
故答案为：4．
19．已知lga+lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx的图象可能是 　②　 ．
【答案】②
【解答】解：∵lga+lgb＝0，
∴lgab＝0，即ab＝1，
①∵g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴①错误．
②由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，满足条件．
③由图象知指数函数单调递减，∴0＜a＜1，此时g（x）单调递减，不满足条件．
④由图象知指数函数单调递增，∴a＞1，此时g（x）单调递增，不满足条件．
故答案为：②．
20．若a＞0，，则a＝　3　 ．
【答案】3
【解答】解：由得，所以
故答案为：3
▉二．反函数（共40小题）
21．若函数y＝f（x）是y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则函数y＝f（2x﹣1）+3图象必过定点（　　）
A． B．（1，4） C． D．（1，3）
【答案】D
【解答】解：因为函数y＝f（x）是y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，
所以y＝f（x）＝logax（a＞0且a≠1），
令g（x）＝f（2x﹣1）+3＝loga（2x﹣1）+3，
由2x﹣1＝1，解得x＝1，此时g（1）＝loga1+3＝3，
所以函数y＝f（2x﹣1）+3图象必过定点（1，3）．
故选：D．
22．已知函数f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），则a＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），
∴f（x）的图象经过点（﹣1，0），
∴f（﹣1）＝log2（﹣1+a）＝0，解得a＝2．
故选：D．
23．把函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）的图像，则g（x）的图像与函数的图像关于（　　）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
【答案】D
【解答】解：函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）g（x）＝（）x，
g（x）的图像与函数的图像关于y＝x对称．
故选：D．
24．已知函数y＝f（x）与y＝3x互为反函数，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．1
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，以f（x）＝log3x，则．
故选：A．
25．已知函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则f（lg3） f（lg4）＝（　　）
A．lg7 B．10 C．12 D．107
【答案】C
【解答】解：因为函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，
所以函数y＝f（x）与函数y＝lgx互为反函数，
所以f（x）＝10x，所以f（lg3） f（lg4）＝10lg3×10lg4＝3×4＝12，
故选：C．
26．若函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（1，3），则f（27）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数是y＝ax（a＞0，a≠1），
∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（1，3），
∴a1＝3，解得a＝3，
∴原函数为f（x）＝log3x，
∴．
故选：D．
27．在函数y＝f（x）中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数x＝f（y）或y＝f﹣1（x）的图像时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（　　）
A．（0，+∞） B．（0，] C．（0，e] D．（0，]
【答案】B
【解答】解：令f（x）＝y，函数左右同时取对数，得lny＝xxxxxx...lnx，
即lny＝ylnx，所以x，所以函数f（x）的反函数为y，
令g（x），则g′（x），令g′（x）＝0，得x＝e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x≥e，g′（x）≤0，所以当x＝e时，g（x）取得最大值为，
所以函数y的最大值为，又y＞0，所以y值域为（0，]，
即函数f（x）的定义域为（0，]．
故选：B．
28．若函数f（x）＝loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图像过点（5，1），其反函数的图像过点，则a+b＝（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）的图象过点（5，1），
且其反函数的图象过点，可知函数f（x）过点，
则，解得a＝4，b＝﹣1，则a+b＝3．
故选：B．
29．已知函数f（x）与g（x）＝log2x互为反函数，且满足f（﹣m）﹣f（﹣n）＞m﹣n，则（　　）
A．log2|m﹣n|＜0 B．log2|m﹣n|＞0
C．log2（n﹣m+1）＞0 D．log2（n﹣m+1）＜0
【答案】C
【解答】解：根据题意，f（x）＝2x；
由f（﹣m）﹣f（﹣n）＞m﹣n，得到2﹣m﹣2﹣n＞m﹣n，即2﹣m﹣m＞2﹣n﹣n，
即，令，则h（m）＞h（n）
在R上函数单调递减，函数y＝x单调递增，
所以在R上单调递减，所以m＜n，所以n﹣m＞0，
所以|m﹣n|＞0，n﹣m+1＞1
因为g（x）＝log2x在（0，+∞） 单调递增，log21＝0，
所以log2（n﹣m+1）＞log21＝0，log2|m﹣n|可正，可负，也可能等于0，
所以ABD错误，C正确．
故选：C．
30．已知y＝（）x的反函数为y＝f（x），若f（x0），则x0等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：因为y＝（）x的反函数为y＝f（x），
当f（x0）时，则x0，所以x0＝2，
故选：C．
31．函数y＝f（x）的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）＝log3x，所以．
故选：A．
32．已知函数f（x）＝2x，g（x）与f（x）互为反函数，则g（2）＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：已知函数f（x）＝2x，g（x）与f（x）互为反函数，
所以g（x）＝log2x，
所以g（2）＝1．
故选：B．
33．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ex与y＝lnx的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝﹣x对称
【答案】C
【解答】解：因为函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，所以两者的图象关于直线y＝x对称．
故选：C．
34．已知函数y＝f（x）与y＝3x是互为反函数，则（　　）
A． B． C．f（1）＝3 D．f（3）＝1
【答案】D
【解答】解：由y＝3x得，x＝log3y，
所以，函数y＝3x的反函数为y＝log3x，
因为函数y＝f（x）与y＝3x互为反函数，
所以，f（x）＝log3x，
所以f（）＝log32，f（）＝log31，f（1）＝log31＝0，f（3）＝log33＝1．
故选：D．
35．已知函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图像关于直线y＝x对称，且满足f（1）+f（2）＝2，则a＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图像关于直线y＝x对称，
则（f（1），1），（f（2），2），满足y＝log2（x+a），
则有，
所以，又f（1）+f（2）＝2，
则a＝2．
故选：B．
36．已知函数f（x）在定义域[1，3]上满足f（x）f（y）＝f（x+y），f（1）＝2，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则g（x）＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解答】解：由题意，令f（x）＝2x∈[2，8]，满足[1，3]上f（x）f（y）＝f（x+y）且f（1）＝2，
此时f﹣1（x）＝log2x且定义域为[2，8]，
所以g（x）＝2x+log2x定义域为[2，3]，且单调递增，
所以g（x）min＝g（2）＝4+log22＝5．
故选：C．
37．已知函数f（x）＝logax过点（4，2），若1≤f（x）≤3，f（x）的反函数为g（x），则g（x）的值域为（　　）
A． B． C．[1，3] D．[2，8]
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝logax过点（4，2），则loga4＝2，解得a＝2，∴f（x）＝log2x，f（x）的反函数为g（x），得g（x）＝2x，
由1≤f（x）≤3，∴g（x）的定义域为[1，3]，当x∈[1，3]，有2x∈[2，8]，则g（x）的值域为[2，8]．
故选：D．
38．设是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，则g（x）的值域为（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【答案】A
【解答】解：因为，
所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣a﹣1或x＞﹣a}，
因为f（x）是奇函数，
所以﹣a﹣1＝a，解得，
因为函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，
所以g（x）与f（x）互为反函数，
故g（x）的值域为．
故选：A．
39．函数y＝21﹣x+3（x∈R）的反函数的解析表达式为（　　）
A．（x＞3） B．（x＞3）
C．（x＜3） D．（x＜3）
【答案】A
【解答】解：∵y＝21﹣x+3∴y﹣3＝21﹣x∴1﹣x＝log2（y﹣3），
∴x＝1﹣log2（y﹣3）＝log2，
∴反函数为：y＝log2，x＞3
故选：A．
40．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　）
A．log2x B． C． D．2x﹣2
【答案】A
【解答】解：函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，
又f（2）＝1，即loga2＝1，
所以，a＝2，
故f（x）＝log2x，
故选：A．
41．函数y＝2x﹣1的反函数是（　　）
A．y＝log2（x﹣1）（x＞1） B．y1（x∈R）
C．y＝1+log2x（x＞0） D．y（x≠1）
【答案】C
【解答】解：由y＝2x﹣1得x＝1+log2y且y＞0
即：y＝1+log2x，x＞0
所以函数y＝2x﹣1的反函数是y＝1+log2x（x＞0）
故选：C．
42．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则下列选项不正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，方程ex+x＝2可化为ex＝2﹣x，方程lnx+x＝2等价于lnx＝2﹣x，
因为y＝ex和y＝lnx与直线y＝2﹣x的交点的横坐标分别为x1，x2，且y＝ex与y＝lnx是互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
如图所示，点A，B关于点C对称，0＜x1＜1＜x2＜2，且C（1，1），所以x1+x2＝2，故A正确；
因为，即，可得，结合x2＝2﹣x1，所以x2＝2﹣2x1＞1，故B正确；
因为y＝ex和y＝lnx是互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
所以x1＝lnx2且，可得，故C正确；
若成立，则，可得x1＝x2，这与0＜x1＜1＜x2＜2矛盾，故D错误．
故选：D．
（多选）43．已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a，b，则（　　）
A．a＜b B．a+b＝2 C．ab＞1 D．a2+b2＞2
【答案】ABD
【解答】解：函数y＝ex和y＝lnx互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
由直线y＝2﹣x与直线y＝x垂直，且交点为（1，1）知a+b＝2，0＜a＜1＜b，A，B正确；
因此0＜a＜1，
所以a2+b2＝a2+（2﹣a）2＝2a2﹣4a+4＝2（a﹣1）2+2＞2，D正确．
故选：ABD．
（多选）44．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
【答案】ABC
【解答】解：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．
由方程ex+x＝2和lnx+x＝2可化为ex＝﹣x+2和lnx＝﹣x+2，
即直线y＝﹣x+2与两函数y＝ex和y＝lnx的交点横坐标分别为x1、x2，
由于y＝ex和y＝lnx互为反函数，则它们的图像关于直线y＝x对称，
如图所示，点A、B关于点C对称，0＜x1＜1＜x2＜2，且C（1，1），
所以x1+x2＝2，故A正确；
因为，所以，
又x2＝2﹣x1，所以x2﹣x1＝2﹣x1﹣x1＝2﹣2x1＞1，故B正确；
由y＝ex和y＝lnx它们的图像关于直线y＝x对称，所以，lnx2＝x1，
所以，故C正确；
对于D，由，则，即x1＝x2，与0＜x1＜1＜x2＜2矛盾，故D错误．
故选：ABC．
（多选）45．下列说法正确的有（　　）
A．任取x∈R，都有4x＞3x
B．函数的最大值为1
C．所有的幂函数图象都会经过点（0，0）和（1，1）
D．在同一坐标系中，函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
【答案】BD
【解答】解：对于A，由于当x＝﹣1时，，故A错误；
对于B，由于|x|≥0，根据指数函数的单调性可知，故B正确；
对于C，由于幂函数y＝x﹣1不经过原点，故C错误；
对于D，由于函数y＝2x可得x＝log2y，所以函数y＝2x与函数y＝log2x互为反函数，则它们的图象关于直线y＝x对称，故D正确．
故选：BD．
（多选）46．如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（　　）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为
C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线
D．Γ的面积大于
【答案】ACD
【解答】解：对于A项，由题意，由y＝ex﹣e+1 ex＝y+e﹣1，∴x＝ln（y+e﹣1），
∴y＝ex﹣e+1的反函数为y＝ln（x+e﹣1），两者关于y＝x对称，故A正确；
对于B项，由A选项分析，两函数的交点为它们与y＝x的交点，
故联立y＝ex﹣e+1与y＝x，，
令h（x）＝ex﹣x﹣e+1，h'（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，h（x）＜0；h（x）在 （﹣∞，0）上单调递减，
因为h（﹣2）＞0，，
所以h（x）在（﹣2，﹣1）内有一个零点x0（﹣2＜x0＜﹣1），另一个零点为1，
所以A（1，1），B（x0，y0），且，故B错误；
对于C项，如图，
设A（1，1），B（x0，y0）的中点为，
设y＝ex﹣e+1上存在一点D（x1，y1），点D关于点C的对称点为E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1），
因为函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）互为反函数，所以E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1）在y＝ln（x+e﹣1）上，
所以在封闭图形Γ上，D，E关于中点C对称，
即在封闭图形Γ中，总存在与任意一点P关于中点C对称的点P'，使得直线PP'平分封闭图形，
对T内任意一点P，均存在过P且平分Ⅰ围成区域的面积的直线，C正确；
对于D项，如图，
先考虑曲线y＝ex﹣e+1上P到y＝x 距离的最大值，只需找出过P与曲线相切且与AB平行的点P0即可，
令f（x）＝ex﹣e+1，令f'（x）＝ex＝1，得x＝0，此时P（0，2﹣e），P0到y＝x的距离，
SΓ＞22|AB|d＝2 （e﹣2） |xA﹣xB|
＝（e﹣2）（1﹣x0）＞2（e﹣2）（e﹣2），（﹣2＜x0＜﹣1），故D正确．
故选：ACD．
（多选）47．有下列几个命题，其中正确的是（　　）
A．给定幂函数，则对任意x1，x2∈[0，+∞），都有
B．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
C．函数y＝f（x）与y＝10x互为反函数，则y＝f（x2﹣2x）的单调递减区间为（﹣∞，1）
D．已知函数是奇函数，则f（x）＝2x+3（x＜0）
【答案】ABD
【解答】解：对于A，，
由于x1，x2≥0，所以，进而可得，
从而可得，即，故A正确，
对于B，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域满足2x∈[0，2]，
所以x∈[0，1]，故其定义域为[0，1]，故B正确，
对于C，由于函数y＝f（x）与y＝10x互为反函数，所以f（x）＝lgx，
则y＝f（x2﹣2x）＝lg（x2﹣2x），定义域为（2，+∞）∪（﹣∞，0），
由于（﹣∞，1）不在定义域范围内，故C错误，
对于D，当x＜0时，﹣x＞0，则g（﹣x）＝﹣2x﹣3，
由于g（x）为奇函数，所以g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣（﹣2x﹣3）＝2x+3，
故f（x）＝2x+3（x＜0），D正确．
故选：ABD．
48．已知对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），且图象过点（9，2），f（x）的反函数记为y＝g（x），则g（x）的解析式是g（x）＝3x ．
【答案】g（x）＝3x．
【解答】解：根据题意可知，2＝loga9，所以a＝3，所以对数函数的解析式为y＝log3x，
所以其反函数为g（x）＝3x．
故答案为：g（x）＝3x．
49．函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于　原点　 对称；若函数h（x）是函数g（x）的反函数，则h（3）＝　log23　 ．
【答案】原点；log23．
【解答】解：在函数f（x）图象上任取一点（x，﹣2﹣x），
其关于原点对称的点为（﹣x，2﹣x），
因为g（﹣x）＝2﹣x，
所以点（﹣x，2﹣x）在函数g（x）图象上，
所以函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于原点对称，
因为函数h（x）是函数g（x）的反函数，
所以h（x）＝log2x，
所以h（3）＝log23．
故答案为：原点；log23．
50．若α+2α﹣1＝5，β+log2β＝4，则α+β＝ 　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：令γ＝α﹣1，
则α+2α﹣1＝γ+1+2γ＝5，β+log2β＝4，
所以γ+2γ＝4，β+log2β＝4，
所以2γ＝4﹣γ，log2β＝4﹣β，
令f（x）＝2x，g（x）＝log2x，h（x）＝4﹣x，
则γ，β可分别看作f（x），g（x）与h（x）交点的横坐标，
因为f（x）与g（x）互为反函数，图象关于y＝x对称，
联立可得x＝y＝2，
所以β+γ＝4，
则α+β＝β+γ+1＝5．
故答案为：5．
51．已知函数f（x）＝log2x，若函数g（x）是f（x）的反函数，则g（2）＝　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：已知函数f（x）＝log2x，
若函数g（x）是f（x）的反函数，
则根据反函数的定义可得g（x）＝2x，
所以g（2）＝4．
故答案为：4．
52．若函数f（x）与g（x）＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，且g（x）的图象过点（﹣2，9），则f（1）+f（3）＝　﹣1　 ．
【答案】﹣1
【解答】解：由函数g（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣2，9），
可得a﹣2＝9，解得，即，
由函数f（x）与g（x）互为反函数，得，
则．
故答案为：﹣1．
53．若函数f（x）与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（8）为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：因为函数f（x）与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以函数f（x）与g（x）互为反函数，
又指数函数与对数函数互为反函数，
所以f（x）＝log2x，则f（8）＝log28＝3．
故答案为：3．
54．若函数f（x）与g（x）＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，且g（x）的图象过点（2，9），则f（1）+f（9）＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为f（x）与g（x）＝ax互为反函数，所以f（x）＝logax，
由g（x）＝ax的图象过点（2，9），可得g（2）＝9，
所以f（9）＝loga9＝2，解得a＝3，可得f（1）+f（9）＝log31+log39＝0+2＝2．
故答案为：2．
55．函数g（x）的图象和函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，则g（﹣1）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题可得g（x）＝ex，
所以g（﹣1）．
故答案为：．
56．互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，如：指数函数y＝10x和对数函数y＝lgx的图象关于直线y＝x对称．（1）已知函数y＝f（x）和函数y＝h（x）互为反函数，点P（2，a）在y＝f（x）的图象上，则h（a）＝ 　2　 ．
（2）若函数与函数互为反函数，则c＝ 　6　 ．
【答案】（1）2；（2）6．
【解答】解：（1）因为函数y＝f（x）和函数y＝h（x）互为反函数，点P（2，a）在y＝f（x）的图象上，
即f（2）＝a，
则h（a）＝2．
（2）若函数y与函数1互为反函数，
由y＝a可得xb，即f（x）的反函数为yb，
由题意可得，即a，b＝﹣1，c＝6，
则c＝6．
故答案为：（1）2；（2）6．
57．若的反函数为f﹣1（x），且f﹣1（a）+f﹣1（b）＝﹣4，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为y＝ax和y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，
若，则，
又因为f﹣1（a）+f﹣1（b）＝﹣4，所以，所以ab＝16，且a＞0，b＞0，
又，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
58．函数f（x）与y＝2x互为反函数，则f（f（2））＝　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：∵f（x）与y＝2x互为反函数，
∴f（x）＝log2x，故f（2）＝log22＝1，
∴f（f（2））＝f（1）＝log21＝0．
故答案为：0．
59．已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：由反函数的定义可知，函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），
则函数f（x）经过点（2，4），
所以22﹣m＝4，解得m＝0．
故答案为：0．
60．已知函数f（x）＝ex，函数y＝g（x）与y＝f（x）互为反函数．
（1）若函数y＝g（mx2+2x+1）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）求证：函数φ（x）＝g（x）+g（x+2）+x仅有1个零点x0，且g（ex0）＜f（x0+lnx0）．
【答案】（1）[0，1]；（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）因为函数y＝g（x）与f（x）＝ex互为反函数，所以g（x）＝lnx．
因为y＝ln（mx2+2x+1）的值域为R，所以y＝mx2+2x+1能取遍（0，+∞）的所有值，
当m＝0时，y＝2x+1能取遍（0，+∞）的所有值，符合题意；
当m≠0时，则只需解得0＜m 1，
综上所述：实数m的取值范围为[0，1]；
（2）证明：φ（x）＝lnx+ln（x+2）+x，定义域为{x|x＞0}．
因为，φ（e﹣2）＝lne﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＝﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＜0，
由零点存在定理有，存在零点，使得φ（x0）＝0，
又因为φ（x）是增函数，所以φ（x）仅有1个零点x0，且lnx0+ln（x0+2）+x0＝0．
g（ex0）＜f（x0+lnx0）等价于，
令，显然函数λ（x）在定义域{x|x＞0}上单调递增，
因为，所以，
因为e3＜33＝27＜32＝25，所以，则．
所以，故，得以证明．

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