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4.2 对数与对数函数
▉一、对数运算
1．对数的概念
一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
2．指数与对数的互化
当时，.
3．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
4．对数恒等式
且；（2）且
5．对数运算性质
如果，且，那么：
（1）；（2）；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，是错误的．
6．对数换底公式
若，且，则(，且)．
由换底公式推导的重要结论
（1）（2）（3）
▉二、对数函数
1．对数函数的概念
函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且
2．对数函数的图象及性质
图象
性质 定义域
值域
定点 过定点
单调性 是上的增函数 是上的增函数
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.
▉一．对数的概念（共3小题）
1．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5）
C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）
2．常用对数：lgN→以 　 　 为底．
3．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1有两个不同零点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．
▉二．指数式与对数式的互化（共3小题）
4．某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
5．若log2x＝3，则x＝　 　 ．
6．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N b＝logaN．现已知a＝log26，3b＝36，则　 　 ，　 　 ．
▉三．对数运算求值（共3小题）
7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.那么大约经过（　　）天后“进步”的是“退步”的2倍．请选出最接近的一项．（lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635）（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
8．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C． D．
9．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断22024的位数．（注lg2≈0.3010）
▉四．对数方程求解（共3小题）
10．已知方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，则logmn+lognm的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知函数，则f（x）＝2是x＝﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．若关于x的方程有实根，则a2+b2的最小值为 　 　 ．
▉五．换底公式的应用（共3小题）
13．若lg2＝a，lg3＝b，则log4512等于（　　）
A． B．
C． D．
14．若2a＝3，3b＝4，4c＝ab，则abc＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
15．已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则　 　 ．
▉六．对数函数的定义（共2小题）
16．若log（x﹣1）（3﹣x）有意义，则x的取值范围是　 　 ．
17．求下列方程的解集：
（1）．
（2）2x+2|x﹣1|＝6．
▉七．对数函数的定义域（共1小题）
18．函数的定义域为（　　）
A．（1，2] B．（1，3]
C．（0，1）∪（1，3] D．（0，1）∪（1，2]
▉八．求对数函数的定义域（共4小题）
19．已知集合，集合B＝{x|y＝log3（1﹣2x）}，则A∩B＝（　　）
A． B． C．（2，3] D．[﹣1，+∞）
20．已知函数，则f（x）的定义域为（　　）
A．（﹣4，2） B．[﹣4，2） C．（﹣4，2] D．[﹣4，2]
21．函数的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．（3，+∞） C．[0，3） D．[0，3]
22．函数的定义域为　 　 ，值域为　 　 ．
▉九．求对数型复合函数的定义域（共3小题）
23．函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（3，4） C．（3，4] D．（4，+∞）
24．已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　 　 ．
25．函数y的定义域是　 　 ．
▉十．对数函数的值域（共1小题）
26．已知集合，集合B＝{y|y＝lg（x2+1）}，则A∩B＝（　　）
A．（0，3） B．（﹣1，3] C．[0，3] D．[0，+∞）
▉十一．求对数函数的值域（共3小题）
27．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝elnx的定义域和值域相同的是（　　）
A．y＝x B．y＝lnx C．y＝ex D．
28．定义：若函数f（x）的值域是定义域的子集，则称f（x）是紧缩函数．
（1）试问函数g（x）＝lg（10﹣x）是否为紧缩函数？说明你的理由．
（2）若函数是紧缩函数，求a的取值范围．
（3）已知常数k＞0，函数，x∈[m，m+2]∪[m+3，m+5]是紧缩函数，求m的取值集合．
29．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）当时，解不等式f（x）+log25＞0；
（2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由．
▉十二．求对数型复合函数的值域（共4小题）
30．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
31．已知函数f（x）＝ln（ax2+2x+1），若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞）
32．已知函数．
（1）若f（x）≤0，求x的取值范围；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
33．已知x∈R，我们定义函数f（x）表示不小于x的最小整数，例如：f（π）＝4，f（﹣0.1）＝0．
（1）若f（x）＝2023，求实数x的取值范围；
（2）求函数的值域，并求满足f（4x+f（x））＝f（g（x））的实数x的取值范围．
▉十三．对数函数的图象（共1小题）
34．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且，则a＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．27
▉十四．对数函数图象特征与底数的关系（共4小题）
35．已知函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，则a＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
（多选）36．下列命题为真命题的是（　　）
A．xy＞0是x＞0，y＞0的必要不充分条件
B．若，则α+β的最小值为
C．若a＞b，则
D．若幂函数y＝xm的图象经过点（2，8），则函数f（x）＝loga（x+m）的图象恒过定点（﹣2，0）
37．函数y＝loga（x﹣2）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点 　 　 ．
38．已知函数f（x）＝loga（3x+4）+2x恒过定点（m，n），则m+n＝ 　 　 ．
▉十五．对数函数及对数型复合函数的图象（共4小题）
39．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
40．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
41．已知函数f（x）＝|lgx﹣1|，若f（a）＝f（b），且a＜b，则[f（a）]2﹣f（10b）的最小值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．
42．已知f（x）＝（a2﹣2a﹣2） ax+b﹣8（a＞0且a≠1）是指数函数．
（1）求a，b；
（2）求关于x的不等式f（log0.5（x﹣a）+b﹣2a）＞3的解集；
（3）求函数F（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣2在区间[0，3）上的值域．
▉十六．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题）
43．已知f（x）＝|lgx|，若a＝f（），b＝f（），c＝f（2），则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
44．a＞1是函数f（x）＝log（3a﹣1）x为增函数的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
45．函数f（x）＝lnx+ln（4﹣x）的单调递增区间是 　 　 ．
▉十七．由对数函数的单调性求解参数（共2小题）
46．若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（1，+∞）
47．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ln（2+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）奇偶性，并加以证明；
（3）若f（2m+1）＜ln3，求实数m的取值范围．
▉十八．求对数函数及对数型复合函数的最值（共3小题）
48．已知f（x）＝|lnx|，若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
49．函数y＝log2（x5）（x＞1）的最小值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣4
50．已知A＝{x|0≤x≤1}，函数f（x）＝log4（3x+a），g（x）＝log2（x+a），当且仅当x∈A时，f（x）≥g（x）．
（1）求实数a的值；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），当x∈A时，求函数h（x）的值域．
▉十九．由对数函数的最值求解参数（共2小题）
51．若函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[]上的最大值为2，最小值为m，函数g（x）＝（3+2m）在[0，+∞）上是增函数，则a+m的值是　 　 ．
52．（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）若a＞0，解关于x的不等式．
▉二十．对数值大小的比较（共2小题）
53．已知a＝20.3，b＝log20.3，c＝0.30.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c
54．若，，c＝60.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
▉二十一．指数函数与对数函数的关系（共3小题）
55．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）56．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
57．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　 　 ．
▉二十二．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题）
58．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若f（a）＝f（b）（a＜b），，则（　　）
A．M的最小值为 B．M的最小值为
C．M的最大值为 D．M的最大值为
59．为了得到函数y＝log4x的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有点的（　　）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
D．纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
60．已知，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y＝f（x）的图象上任意两点，点M（x0，y0）满足，其中O为坐标原点．
（1）求f（x）的零点；
（2）若，求y0值；
（3）若x2＝2x1，求y2﹣2y1的最小值．4.2 对数与对数函数
▉一、对数运算
1．对数的概念
一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
2．指数与对数的互化
当时，.
3．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
4．对数恒等式
且；（2）且
5．对数运算性质
如果，且，那么：
（1）；（2）；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，是错误的．
6．对数换底公式
若，且，则(，且)．
由换底公式推导的重要结论
（1）（2）（3）
▉二、对数函数
1．对数函数的概念
函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且
2．对数函数的图象及性质
图象
性质 定义域
值域
定点 过定点
单调性 是上的增函数 是上的增函数
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.
▉一．对数的概念（共3小题）
1．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5）
C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）
【答案】D
【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足，
解得3＜a＜4或4＜a＜5，
所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）．
故选：D．
2．常用对数：lgN→以 　10　 为底．
【答案】10．
【解答】解：根据常用对数的定义可得答案为10．
故答案为：10
3．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1有两个不同零点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意易知p：0＜a＜1，q：（2a﹣3）2﹣4＞0，即或．
又因为p和q有且只有一个正确，
所以若p真q假，即，得；
若p假q真，即，得，
综上可得a的取值范围是a＜1或．
▉二．指数式与对数式的互化（共3小题）
4．某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【解答】解：，由rn≤0.25，得30.25（n﹣1）≥50，即，
得，又n∈N*，所以n≥16，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C．
5．若log2x＝3，则x＝　8　 ．
【答案】8
【解答】解：∵log2x＝3，则x＝23＝8．
故答案为：8．
6．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N b＝logaN．现已知a＝log26，3b＝36，则　1　 ，　　 ．
【答案】1，．
【解答】解：a＝log26，3b＝36，
则b＝log336＝2log36
则log62+log63＝log66＝1，
log23＝log2，
则2，
故答案为：1，．
▉三．对数运算求值（共3小题）
7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.那么大约经过（　　）天后“进步”的是“退步”的2倍．请选出最接近的一项．（lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635）（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【解答】解：假设经过n天，“进步者”是“退步者”的2倍，
由题意可得，
lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635，
则，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：C．
8．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C． D．
【答案】D
【解答】解：，个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，
由已知，，
两式相除可得，2lnN1＝3lnN2，即，
∴．
故选：D．
9．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断22024的位数．（注lg2≈0.3010）
【答案】（1）；
（2）；
（3）610．
【解答】解：（1）；
（2）设3x＝4y＝6z＝a，则a＞0，
∴x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a，
∴；
（3）设22024＝t，则lgt＝2024 lg2，又lg2≈0.3010，
∴lgt＝2024×0.3010≈609.224，
∴t≈10609.224，则t∈（10609，10610），
∴22024的位数为610．
▉四．对数方程求解（共3小题）
10．已知方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，则logmn+lognm的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解答】解：由题意方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，
可知，
即lnm，lnn是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
则Δ＝9﹣4＝5＞0，可得，
所以．
故选：D．
11．已知函数，则f（x）＝2是x＝﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：当f（x）＝2时，
若x≤0，则有2﹣x＝2，解得x＝﹣1；
若x＞0，则有lnx＝2，解得x＝e2．
可得：x＝﹣1或x＝e2，不一定能推出x＝﹣1，故f（x）＝2不是x＝﹣1成立的充分条件；
反之，当x＝﹣1时，f（﹣1）＝2，即f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要条件，
综上，f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要不充分条件．
故选：B．
12．若关于x的方程有实根，则a2+b2的最小值为 e2 ．
【答案】e2．
【解答】解：关于x的方程有实根，
设方程的实根为x0，则，
∴，∴．
设点P（a，b），则点P在直线上．
设点O（0，0）到直线的距离为d，则，
设，则，
由0，得1，∴f（t）在上单调递减，
由0，得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）min＝f（1）＝e，
则d＝f（t）≥e，又a2+b2＝|OP|2，由几何意义可知|OP|≥d，
∴a2+b2＝|OP|2≥e2．
检验：当t＝1时，，由，解得，
由，解得，∴a2+b2可以取到最小值e2．
故答案为：e2．
▉五．换底公式的应用（共3小题）
13．若lg2＝a，lg3＝b，则log4512等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴log4512，
故选：D．
14．若2a＝3，3b＝4，4c＝ab，则abc＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意，2a＝3，3b＝4，则a＝log23，b＝log34，
则有ab＝log23 log342，
则c＝log4ab＝log42，
故abc＝1；
故选：B．
15．已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，
∴，解得．
∴2．
故答案为2．
▉六．对数函数的定义（共2小题）
16．若log（x﹣1）（3﹣x）有意义，则x的取值范围是　（1，2）∪（2，3）　 ．
【答案】（1，2）∪（2，3）
【解答】解：要使对数有意义，则，
即，
解得1＜x＜2或2＜x＜3，
即x的取值范围是（1，2）∪（2，3），
故答案为：（1，2）∪（2，3）
17．求下列方程的解集：
（1）．
（2）2x+2|x﹣1|＝6．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，
所以有，即，解得或x＝﹣2（舍去），
故方程的解集为；
（2）当x＜1时，2x+2|x﹣1|＝6可化为2x+21﹣x＝6，整理得（2x）2﹣6 2x+2＝0，
解得或，
因为，所以x＞1不满足x＜1，故舍去，
所以，
当x≥1时，2x+2|x﹣1|＝6可化为2x+2x﹣1＝6，即2x＝4，解得x＝2，
综上，方程2x+2|x﹣1|＝6的解集为．
▉七．对数函数的定义域（共1小题）
18．函数的定义域为（　　）
A．（1，2] B．（1，3]
C．（0，1）∪（1，3] D．（0，1）∪（1，2]
【答案】C
【解答】解：因为函数，
所以，即，
解得0＜x≤3且x≠1，
所以f（x）的定义域为（0，1）∪（1，3]．
故选：C．
▉八．求对数函数的定义域（共4小题）
19．已知集合，集合B＝{x|y＝log3（1﹣2x）}，则A∩B＝（　　）
A． B． C．（2，3] D．[﹣1，+∞）
【答案】A
【解答】解：，
由1﹣2x＞0得，x，
故，
所以A∩B＝[0，）．
故选：A．
20．已知函数，则f（x）的定义域为（　　）
A．（﹣4，2） B．[﹣4，2） C．（﹣4，2] D．[﹣4，2]
【答案】A
【解答】解：由函数，
可得，解得﹣4＜x＜2，
所以函数f（x）的定义域为（﹣4，2）．
故选：A．
21．函数的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．（3，+∞） C．[0，3） D．[0，3]
【答案】C
【解答】解：由题意得，解得0≤x＜3，
故其定义域为x∈[0，3）．
故选：C．
22．函数的定义域为　（﹣∞，0）∪（0，+∞）　 ，值域为　[1，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，0）∪（0，+∞）；[1，+∞）
【解答】解：因为（﹣2）2﹣4×11×1＜0，
所以11x2﹣2x+1＞0恒成立．由，得x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
，
故f（x）的值域为[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）；[1，+∞）．
▉九．求对数型复合函数的定义域（共3小题）
23．函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（3，4） C．（3，4] D．（4，+∞）
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
解得x≤3．
故选：A．
24．已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：函数定义域为R，
则恒成立．
当a＝0时，不恒成立；
当a＞0时，由，
解得，此时f（x）的定义域为R；
当a＜0时，抛物线的开口向下，函数值不可能恒大于0．
综上，．
故答案为：．
25．函数y的定义域是　（1，2]　 ．
【答案】（1，2]
【解答】解：由于函数，故有 ，∴0＜x﹣1≤1，解得 1＜x≤2，
故答案为 （1，2]．
▉十．对数函数的值域（共1小题）
26．已知集合，集合B＝{y|y＝lg（x2+1）}，则A∩B＝（　　）
A．（0，3） B．（﹣1，3] C．[0，3] D．[0，+∞）
【答案】C
【解答】解：令﹣x2+2x+3≥0解得﹣1≤x≤3，∴A＝[﹣1，3]，
∵x2+1≥1，∴lg（x2+1）≥0即B＝[0，+∞），
∴A∩B＝[0，3]．
故选：C．
▉十一．求对数函数的值域（共3小题）
27．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝elnx的定义域和值域相同的是（　　）
A．y＝x B．y＝lnx C．y＝ex D．
【答案】D
【解答】解：函数y＝elnΧ的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y＝x的定义域为R，值域为R，不满足要求，
函数y＝lnx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求，
函数y＝ex的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求，
函数y的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求，
故选：D．
28．定义：若函数f（x）的值域是定义域的子集，则称f（x）是紧缩函数．
（1）试问函数g（x）＝lg（10﹣x）是否为紧缩函数？说明你的理由．
（2）若函数是紧缩函数，求a的取值范围．
（3）已知常数k＞0，函数，x∈[m，m+2]∪[m+3，m+5]是紧缩函数，求m的取值集合．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数g（x）＝lg（10﹣x）的定义域为（﹣∞，10），值域为（﹣∞，+∞）．
因为（﹣∞，+∞）不是（﹣∞，10）的子集，所以g（x）＝lg（10﹣x）不是紧缩函数．
（2）对于函数，
令2x﹣2≥0，解得x≥1，即h（x）的定义域为[1，+∞）．
令，则2x＝t2+2，令p（t）＝t2+2﹣t+a，t∈[0，+∞），
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，即h（x）的值域为，
依题意可得，解得，
故a的取值范围为．
（3）因为f（x）的值域是定义域的子集，所以f（f（x））的值域是f（x）的值域的子集，
又（k＞0），则f（f（x））＝x，所以f（x）的值域与定义域相同，
又，x∈[m，m+2]∪[m+3，m+5]，
所以f（x）的值域为．
（i）若（m+2）（m+3）＜0，则，即m∈（﹣3，﹣2），
则且，
所以m（m+2）＝k且（m+3）（m+5）＝k，
即m（m+2）＝（m+3）（m+5），解得，此时，符合题意．
（ii）若（m+2）（m+3）＞0，则m＞0或m+5＜0，即m∈（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞），
则且，
所以m（m+5）＝k且（m+3）（m+2）＝k，即m（m+5）＝（m+3）（m+2），方程无解．
综上，m的取值集合为．
29．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）当时，解不等式f（x）+log25＞0；
（2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由．
【答案】（1）{x|1＜x＜3}；
（2）实数m的取值范围为[，1）；
（3）不存在，理由见解析．
【解答】解：（1）∵，
∴的定义域为（1，+∞）．
由，
化简得，解得，又x＞1，
∴所求不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
（2）对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，等价于f（x）max≤1，
∵，
设，
则t在[3m，4m]上是增函数，下面按照y＝logmt的单调性分类讨论：
当0＜m＜1时，f（x）在[3m，4m]上递减，则，解得，
当m＞1时，f（x）在[3m，4m]上递增，则，解得与m＞1矛盾，故舍去．
综上，实数m的取值范围为[，1）；
（3）∵，
∴f（x）在（，+∞）上递减，
∴，即，即关于x方程（x﹣m）（x﹣2m）＝x在（，+∞）上有两个不等的实根，设h（x）＝（x﹣m）（x﹣2m）﹣x＝x2﹣（3m+1）x+2m2，
则，即 m∈ ．
综上，不存在这样的α，β满足条件．
▉十二．求对数型复合函数的值域（共4小题）
30．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【解答】解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5，
由题意可得a＝5，
因为的值域为[2，+∞），
所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞），
所以5b﹣16＝9，即b＝5，
则a﹣b＝0．
故选：A．
31．已知函数f（x）＝ln（ax2+2x+1），若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞）
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）的值域为R，则u＝ax2+2x+1要取遍所有的正数．
所以a＝0或，解得0≤a≤1，
即实数a的取值范围是[0，1]．
故选：A．
32．已知函数．
（1）若f（x）≤0，求x的取值范围；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）令，则y＝t2﹣3t﹣4，t∈R，
由f（x）≤0，得t2﹣3t﹣4≤0，即（t﹣4）（t+1）≤0，解得﹣1≤t≤4，
即，解得，所以x的取值范围是；
（2）当时，，即y＝t2﹣3t﹣4，t∈[﹣2，3]，
当时，，
当t＝﹣2时，ymax＝4+6﹣4＝6，
所以函数f（x）的值域为．
33．已知x∈R，我们定义函数f（x）表示不小于x的最小整数，例如：f（π）＝4，f（﹣0.1）＝0．
（1）若f（x）＝2023，求实数x的取值范围；
（2）求函数的值域，并求满足f（4x+f（x））＝f（g（x））的实数x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由f（x）表示不小于x的最小整数，f（x）＝2023，得2022＜x≤2023，
所以实数x的取值范围是（2022，2023]；
（2）函数g（x）定义域为[0，+∞），而函数 在[0，+∞）上单调递增，值域为[1，+∞），
因此，即，
所以函数g（x）的值域为（3，4]，
显然x∈[0，+∞），f（g（x））＝4，
由f（4x+f（x））＝f（g（x）），得f（4x+f（x））＝4，
则有3＜4x+f（x）≤4，而x＝0时，不等式不成立，则f（x）＞0，必有4x＜4，即0＜x＜1，
因此f（x）＝1，3＜4x+1≤4，解得 ，
所以实数x的取值范围．
▉十三．对数函数的图象（共1小题）
34．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且，则a＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】C
【解答】解：已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且，
又函数f（x）＝logax在（0，+∞）上单调递增，所以a＞1，
因为，所以，即，
解得或loga3＝﹣1（舍），所以a＝9．
故选：C．
▉十四．对数函数图象特征与底数的关系（共4小题）
35．已知函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，则a＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】D
【解答】解：因为函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，
令x﹣3＝0，得x＝3，所以y＝f（3）＝1+2＝3，即A＝（3，3），
又因为点A在g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，
所以3＝log2（a﹣3），即a﹣3＝8，解得a＝11．
故选：D．
（多选）36．下列命题为真命题的是（　　）
A．xy＞0是x＞0，y＞0的必要不充分条件
B．若，则α+β的最小值为
C．若a＞b，则
D．若幂函数y＝xm的图象经过点（2，8），则函数f（x）＝loga（x+m）的图象恒过定点（﹣2，0）
【答案】ABD
【解答】解：对于A，x＞0，y＞0时，得xy＞0；xy＞0时，得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
所以xy＞0是x＞0，y＞0的必要不充分条件，选项A正确；
对于B，由cosαcosβ＝3sinαsinβ，得tanαtanβ，tan（α+β），所以α+β，当且仅当tanα＝tanβ时，等号成立，选项B正确；
对于C，当a＝0或b＝0或a＞0＞b时，不成立，选项C错误；
对于D，y＝xm经过点（2，8），代入8＝2m，则m＝3，logax恒过定点（1，0），所以f（x）＝loga（x+3）恒过定点（﹣2，0），选项D正确．
故选：ABD．
37．函数y＝loga（x﹣2）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点 　（3，3）　 ．
【答案】（3，3）．
【解答】解：因为y＝loga（x﹣2）+3（a＞0且a≠1），
令x﹣2＝1，即x＝3，此时y＝loga（3﹣2）+3＝3，
所以函数的图象恒过定点（3，3）．
故答案为：（3，3）．
38．已知函数f（x）＝loga（3x+4）+2x恒过定点（m，n），则m+n＝ 　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：根据对数函数的性质可令3x+4＝1，则x＝﹣1，f（﹣1）＝﹣2，
所以m＝﹣1，n＝﹣2，m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
▉十五．对数函数及对数型复合函数的图象（共4小题）
39．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由函数，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原点对称．
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B；
因为，故排除选项A；
因为，故排除选项D．
故选：C．
40．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
令，则，
因此为奇函数，其图象关于原点对称，A、B错误；
当时，2x∈（0，π），则sin2x＞0，，则，
于是，C错误，D满足．
故选：D．
41．已知函数f（x）＝|lgx﹣1|，若f（a）＝f（b），且a＜b，则[f（a）]2﹣f（10b）的最小值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，作出f（x）的图像如下：
由a＜b，且f（a）＝f（b），则f（a）＝1﹣lga，f（b）＝lgb﹣1，即1﹣lga＝lgb﹣1，解得：ab＝100，
所以[f（a）]2﹣f（10b）＝（1﹣lga）2﹣（lg10b﹣1）＝1﹣2lga+lg2a﹣lgb＝lg2a﹣（lga2b）+1
由ab＝100，则lg2a﹣（lga2b）+1＝lg2a﹣lg100a+1＝lg2a﹣lga﹣1，
所以，故当，
即时，[f（a）]2﹣f（10b）取最小值为．
故选：B．
42．已知f（x）＝（a2﹣2a﹣2） ax+b﹣8（a＞0且a≠1）是指数函数．
（1）求a，b；
（2）求关于x的不等式f（log0.5（x﹣a）+b﹣2a）＞3的解集；
（3）求函数F（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣2在区间[0，3）上的值域．
【答案】（1）a＝3，b＝8；
（2）{x|3＜x＜5}；
（3）[﹣6，619）．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（a2﹣2a﹣2） ax+b﹣8（a＞0且a≠1）是指数函数，
∴，又∵a＞0且a≠1，∴a＝3，b＝8，f（x）＝3x；
（2）不等式f（log0.5（x﹣a）+b﹣2a）＞3，即f（log0.5（x﹣3）+2）＞f（1），
∵函数f（x）＝3x在R上单调递增，∴log0.5（x﹣3）+2＞1，即log0.5（x﹣3）＞﹣1，
∴0＜x﹣3＜2，解得3＜x＜5，∴原不等式的解集为{x|3＜x＜5}．
（3）F（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣2＝32x﹣4 3x﹣2＝（3x）2﹣4 3x﹣2，
当x∈[0，3）时，令3x＝t，y＝F（x），则t∈[1，27），∴y＝t2﹣4t﹣2，t∈[1，27），
由二次函数的性质可知，F（t）在[1，2）上单调递减，在（2，27）上单调递增，
∴ymin＝y（2）＝﹣6，y（27）＝619＞y（1），
∴函数F（x）在区间[0，3）上的值域为[﹣6，619）．
▉十六．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题）
43．已知f（x）＝|lgx|，若a＝f（），b＝f（），c＝f（2），则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】D
【解答】解：依题意，f（x）＝|lgx|，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
又f（2）＝f（），
所以f（）＞f（）＞f（）＝f（2），
所以c＜b＜a，
故选：D．
44．a＞1是函数f（x）＝log（3a﹣1）x为增函数的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：根据题意，若a＞1，则3a﹣1＞2，则函数f（x）＝log（3a﹣1）x为增函数，
反之，当a时，3a﹣1＞1，则函数f（x）＝log（3a﹣1）x为增函数，
故a＞1是函数f（x）＝log（3a﹣1）x为增函数的充分不必要条件．
故选：A．
45．函数f（x）＝lnx+ln（4﹣x）的单调递增区间是 　（0，2）　 ．
【答案】（0，2）．
【解答】解：令，解得0＜x＜4，
因为f（x）＝lnx+ln（4﹣x）＝ln（4x﹣x2），
且u＝4x﹣x2在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，y＝lnu在定义域内单调递增，
可知函数f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
▉十七．由对数函数的单调性求解参数（共2小题）
46．若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（1，+∞）
【答案】A
【解答】解：若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，
则，解得．
故选：A．
47．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ln（2+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）奇偶性，并加以证明；
（3）若f（2m+1）＜ln3，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数f（x）＝ln（2﹣x）+ln（2+x），
2﹣x＞0且2+x＞0，
解得﹣2＜x＜2，所以函数定义域为（﹣2，2）；
（2）因为f（x）的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，
又f（﹣x）＝ln（2+x）+ln（2﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数；
（3）f（2m+1）＝ln（1﹣2m）+ln（2m+3）＝ln[（1﹣2m）（2m+3）]＜ln3，
则3，化简得m2+m＞0且，
解得m∈（，﹣1）或（0，）．
▉十八．求对数函数及对数型复合函数的最值（共3小题）
48．已知f（x）＝|lnx|，若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】B
【解答】解：对于函数f（x）＝|lnx|，
f（）＝ln2，f（3）＝ln3，f（）＝ln4．
又y＝lnx在定义域上单调递增，且2＜3＜4，
所以ln2＜ln3＜ln4，所以，即a＜b＜c．
故选：B．
49．函数y＝log2（x5）（x＞1）的最小值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：由题意y＝log2（x5）＝log2（x﹣16）≥log2（26）＝log28＝3，
当且仅当x﹣1，即x＝2时取等号，
故函数y＝log2（x5）（x＞1）的最小值为3，
故选：B．
50．已知A＝{x|0≤x≤1}，函数f（x）＝log4（3x+a），g（x）＝log2（x+a），当且仅当x∈A时，f（x）≥g（x）．
（1）求实数a的值；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），当x∈A时，求函数h（x）的值域．
【答案】（1）a＝1；
（2）．
【解答】解：（1）由f（x）≥g（x）得log4（3x+a）≥log2（x+a），
即
∴，即
依题意知，该不等式组的解集为A＝{x|0≤x≤1}．
∴方程x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＝0的两根为0，1．
则3﹣2a＝1且a2﹣a＝0，
解得a＝1．
（2）
令3x+1＝t，因0≤x≤1，则1≤t≤4且，
故，
令G（t）＝t，
根据对勾函数单调性可得，G（t）min＝G（2）＝4，G（1）＝G（4）＝5，则4≤G（t）≤5，
故，
故
∴函数h（x）的值域为．
▉十九．由对数函数的最值求解参数（共2小题）
51．若函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[]上的最大值为2，最小值为m，函数g（x）＝（3+2m）在[0，+∞）上是增函数，则a+m的值是　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）＝logax是减函数，，即2，∴，∴a，
∴f（x）min＝f（4）＝m，即m4，
把m＝﹣4代入g（x）可得：g（x）＝﹣5，∴函数g（x）在[0，+∞）上是减函数，不符合题意，舍；
当a＞1时，f（x）＝logax是增函数，f（x）max＝f（4）＝2，即f（4）＝loga4＝2，∴a＝2，
∴f（x）minm，即m1，
把m＝﹣1代入g（x）可得：g（x），∴函数g（x）在[0，+∞）上是增函数，符合题意；
所以a＝2，m＝﹣1，
所以a+m＝1，
故答案为1．
52．（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）若a＞0，解关于x的不等式．
【答案】（1）a＝2或．
（2）当0＜a＜1时，不等式解集为 ；当a＞1时，不等式解集为．
【解答】解：（1）因为y＝logax在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2或．
（2）因为函数是（0，+∞）上的减函数，
所以，即，
当0＜a＜1时，，原不等式解集为 ；
当a＞1时，，原不等式解集为．
▉二十．对数值大小的比较（共2小题）
53．已知a＝20.3，b＝log20.3，c＝0.30.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】B
【解答】解：∵指数函数y＝2x在R上单调递增，∴a＝20.3＞20＝1，即a＞1，
∵对数函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，∴b＝log20.3＜log21＝0，即b＜0，
∵指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且值域为（0，+∞），∴c＝0.30.5＜0.30＝1，即0＜c＜1．
综上，a＞c＞b．
故选：B．
54．若，，c＝60.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】B
【解答】解：c＝60.2＞60＝1，（）0＝1，且a＞0，
log31＝0，则c＞a＞b，
故选：B．
▉二十一．指数函数与对数函数的关系（共3小题）
55．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1，y2，
22，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故，
两边同时取对数可得，log2．
故选：B．
（多选）56．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是（　　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
57．设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4＝0和2x+x﹣4＝0的根，则α+β＝　4　 ．
【答案】4
【解答】解：分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4﹣x的图象，相交于点P，Q．
∵log2α＝4﹣α，2β＝4﹣β．
而y＝log2x（x＞0）与y＝2x互为反函数，直线y＝4﹣x与直线y＝x互相垂直，
∴点P与Q关于直线y＝x对称．
∴α＝2β＝4﹣β．
∴α+β＝4．
故答案为：4．
▉二十二．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题）
58．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若f（a）＝f（b）（a＜b），，则（　　）
A．M的最小值为 B．M的最小值为
C．M的最大值为 D．M的最大值为
【答案】A
【解答】解：已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若f（a）＝f（b）（a＜b），，
由lg（x﹣1）≥0可得x﹣1≥1，解得x≥2；由lg（x﹣1）＜0得0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2．
所以，
所以函数f（x）的增区间为[2，+∞），减区间为（1，2），
因为f（a）＝f（b）（a＜b），则1＜a＜2＜b，且有﹣lg（a﹣1）＝lg（b﹣1），
所以，
故
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故M的最小值为．
故选：A．
59．为了得到函数y＝log4x的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有点的（　　）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
D．纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
【答案】C
【解答】解：∵，
∴为了得到函数y＝log4x的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），
故选：C．
60．已知，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y＝f（x）的图象上任意两点，点M（x0，y0）满足，其中O为坐标原点．
（1）求f（x）的零点；
（2）若，求y0值；
（3）若x2＝2x1，求y2﹣2y1的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）令f（x）log20，得，解得x1，
所以f（x）的零点为1．
（2）由（），可得x0（x1+x2），即x1+x2＝1，
则
．
（3）由，解得0＜x＜1，所以f（x）的定义域为（0，1）；
由0＜2x1＜1，得0＜x1，
，，
．
．
当且仅当x1＝1﹣2x1，即x1时等号成立，所以y2﹣2y1的最小值为．

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