资源简介

4.1 指数与指数函数
▉一、指数运算
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:（1）；
（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中.
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
4．有理数指数幂的运算性质
（1）;
（2）;
（3）.
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
▉二、指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.
（3）的系数是1.
2．指数函数的图形及性质
图象
性质 定义域
值域
定点 过定点
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．
3．图象位置关系
底数的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
▉一．有理数指数幂与根式的互化（共6小题）
1．将化为分数指数幂的形式为（　　）
A． B． C． D．
2．设x∈R，若为定值，则实数x的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
3．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需要的时间为（　　）
A．14小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
（多选）4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．将a 化为有理数指数幂的形式为 　 　 ．
6．化简，并以正指数表示答案．
▉二．指数函数的概念（共1小题）
7．下列函数中是指数函数的为（　　）
A．y＝x3 B．y＝（﹣4）x C．y＝5x+1 D．v＝52x
▉三．指数函数的特征及解析式（共6小题）
8．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．2 D．
9．如图是指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的部分图象，已知a取，2，3这四个值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a依次为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数f（x）＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则f（m+n﹣2）＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
11．已知函数y＝2ax+2b（a＞0，b＞0）的图像过函数f（x）＝mx﹣1+2（m＞0，m≠1）图像的定点，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
12．下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝ax﹣1﹣3（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，﹣3）
B．函数与是同一个函数
C．函数的单调递增区间是[4，+∞）
D．若函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为[﹣1，0]
（多选）13．下列命题中正确的是（　　）
A．函数f（x）＝ax﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（4，2）
B．命题：“ x≥0，x2≥0”的否定是“ x＜0，x2＜0”
C．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，3），则f（2x+1）定义域为[﹣1，7）
D．若函数f（x﹣1）＝x2﹣3x，则f（x）＝x2﹣x﹣2
▉四．由指数函数的解析式求解参数（共2小题）
14．若函数y＝（m2﹣m﹣1） mx是指数函数，则m等于（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．
15．已知m＞0，a＞0且a≠1，函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）ax是指数函数，且f（2）＝4．
（1）求m和a的值；
（2）求f（2x）﹣3f（x）﹣4＞0的解集．
▉五．指数函数的定义域（共5小题）
16．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C． D．
17．函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0] B．（﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]
18．已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，3]
19．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
（多选）20．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y轴对称
D．函数f（x）在R上为减函数
▉六．指数函数的值域（共9小题）
21．已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B． C． D．
22．若集合，B＝{y|y＝2025x}，则A∪B＝（　　）
A．R B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
23．已知集合，，则A∩B＝（　　）
A．[0，2] B．（0，2） C．[1，2] D．（1，2]
24．若集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y}，M∪N＝（　　）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
25．设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．a＜2且a≠1
26．函数y（﹣3≤x≤1）的值域是　 　 ．
27．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16）．
（1）试求f（x）的解析式，并求；
（2）若，求实数m的值．
28．已知关于x的方程有正根，求实数a的取值范围．
29．已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（x）的图象过点（0，﹣1）和（3，6），求f（x）在R上的值域；
（2）若f（x）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
▉七．指数函数图象特征与底数的关系（共7小题）
30．已知实数a，b满足a＝log512+log245+log254，5a+12a＝13b，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．b＞a＞2 D．a＞b＞2
31．已知a＞0且a≠1，则函数y＝ax+a与函数y＝ax﹣a在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
32．下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝x﹣1 D．y＝x4
33．若实数x，y，z满足2x＝4y＝﹣log2z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．z＞y＞x B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．y＞z＞x
34．已知函数y＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则m+n＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
（多选）35．下列命题中，正确的有（　　）
A．若函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为
B．若函数，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
36．函数y＝a2x﹣4﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点　 　 ．
▉八．指数函数及指数型复合函数的图象（共7小题）
37．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x| B．
C．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|
38．已知函数f（x）＝|3x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．3﹣a＜3c D．3a+3c＜2
39．函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
40．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），则m+n的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．（0，+∞） D．（0，1）
41．若a，b，c满足ax＝by＝cz（a＞1，b＞1，c＞1），且，xyz≠0），则有序实数组（a，b，c）可能是（　　）
A．（2，3，4） B．（3，2，4） C．（3，2，12） D．（2，3，12）
42．要使的图象不经过第一象限，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．（﹣∞，﹣1]
43．已知函数，其中a为常数，且函数的图象过点（﹣1，5），则a＝　 　 ．
▉九．指数函数的单调性与最值（共4小题）
44．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
45．已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝mx﹣n不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
46．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
47．已知函数f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1），若，则[f（m+n）]2＝　 　 ．
▉十．由指数函数的单调性求解参数（共1小题）
48．设函数y＝f（x）和y＝f（﹣x），若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”，已知区间[1，2024]为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
▉十一．求指数函数及指数型复合函数的最值（共1小题）
49．已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．记集合A为f（x）的定义域．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当x∈A时，求函数的值域
▉十二．指数函数的实际应用（共6小题）
50．奶茶温度衰减满足函数关系T＝k bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟
51．我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里常数I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，则40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍
52．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
53．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
54．某种药物在人体内的浓度C（t）（单位：mg/L）随时间t（小时）的衰减规律为：，其中C0为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知ln2≈0.693）（　　）
A．12 B．24 C．28 D．36
55．塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为为初始量，r为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），v为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：ln5≈1.6，lg2≈0.3）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变．已知2年就可降解初始量的20%．要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
▉十三．指数函数综合题（共5小题）
56．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
57．定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得成立，则称函数f（x）为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（　　）
A．f（x）＝lnx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝esinx D．f（x）＝cosx
58．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），g（x）＝﹣x2+2x+2，设函数F（x）＝min{f（x），g（x）}，（min{p，q}表示p，q中的较小值），若F（x）＜2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（0，1）或（1，2）
C．（1，） D．（0，1）或（1， ）
59．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数的值域为[2，+∞），求不等式loga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
60．已知函数f（x）＝2x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）＝t，p（t）＝g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））＝0无实根，求m的取值范围．4.1 指数与指数函数
▉一、指数运算
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:（1）；
（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中.
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
4．有理数指数幂的运算性质
（1）;
（2）;
（3）.
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
▉二、指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.
（3）的系数是1.
2．指数函数的图形及性质
图象
性质 定义域
值域
定点 过定点
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．
3．图象位置关系
底数的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
▉一．有理数指数幂与根式的互化（共6小题）
1．将化为分数指数幂的形式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式
故选：A．
2．设x∈R，若为定值，则实数x的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】B
【解答】解：当x＞1时，不为定值；
当x≤1时，为定值．
由上可知，若为定值，则实数x的取值范围为（﹣∞，1]．
故选：B．
3．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需要的时间为（　　）
A．14小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
【答案】B
【解答】解：设经过n小时，处理池中的污染物水平降到最初的10%，
则（1﹣12%）n＝10%，
则n＝log0.880.118．
故选：B．
（多选）4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
5．将a 化为有理数指数幂的形式为 　　 ．
【答案】
【解答】解：a a ，
故答案为：．
6．化简，并以正指数表示答案．
【答案】．
【解答】解：原式a3﹣15b﹣8﹣（﹣12）＝a﹣12b4．
▉二．指数函数的概念（共1小题）
7．下列函数中是指数函数的为（　　）
A．y＝x3 B．y＝（﹣4）x C．y＝5x+1 D．v＝52x
【答案】D
【解答】解：形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数，叫做指数函数，
y＝x3是幂函数，故排除A；
y＝（﹣4）x不是指数函数，故排除B；
y＝5x+1不是指数函数，故排除C；
v＝52x＝（52）x＝25x是指数函数，故选D．
故选：D．
▉三．指数函数的特征及解析式（共6小题）
8．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：由x﹣1＝0，解得x＝1，又f（1）＝2，所以函数y＝ax﹣1+1过定点为A（1，2），
代入直线y＝mx+n中，得m+n＝2，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2．
故选：C．
9．如图是指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的部分图象，已知a取，2，3这四个值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a依次为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在图象上画出x＝1的直线，与各个曲线的交点的纵坐标即为对应的指数函数的底数，
如图所示：
所以对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为：，，3，2．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则f（m+n﹣2）＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：f（﹣2）＝a0+1＝2，所以f（x）过定点（﹣2，2），
∴m＝﹣2，n＝2，
∴f（m+n﹣2）＝f（﹣2）＝a﹣2+2+1＝2．
故选：A．
11．已知函数y＝2ax+2b（a＞0，b＞0）的图像过函数f（x）＝mx﹣1+2（m＞0，m≠1）图像的定点，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【解答】解：函数y＝2ax+2b（a＞0，b＞0）的图像过函数f（x）＝mx﹣1+2（m＞0，m≠1）图像的定点，
由x﹣1＝0，得x＝1，
f（1）＝m0+2＝3，
∴函数y＝2ax+2b（a＞0，b＞0）的图像过（1，3），
∴2a+2b＝3，∴a+b，
∴（）（a+b）
（41）
（5+2）
＝6．
当且仅当时，取等号，
∴的最小值为6．
故选：A．
12．下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝ax﹣1﹣3（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，﹣3）
B．函数与是同一个函数
C．函数的单调递增区间是[4，+∞）
D．若函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为[﹣1，0]
【答案】C
【解答】解：对于A，令x﹣1＝0，得x＝1，所以y＝a0﹣3＝﹣2，函数y＝ax﹣1﹣3的图象过定点（1，﹣2），选项A错误；
对于B，f（x） 的定义域为[2，+∞），g（x）的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），
两函数的定义域不同，不是同一函数，选项B错误；
对于C，由t＝﹣x2+8x+1在[4，+∞）上单调递减，y在R上单调递减，
所以y在[4，+∞）上单调递增，选项C正确；
对于D，由f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，得x∈[﹣1，1]，所以2x+1∈[﹣1，3]，
所以函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，选项D错误．
故选：C．
（多选）13．下列命题中正确的是（　　）
A．函数f（x）＝ax﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（4，2）
B．命题：“ x≥0，x2≥0”的否定是“ x＜0，x2＜0”
C．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，3），则f（2x+1）定义域为[﹣1，7）
D．若函数f（x﹣1）＝x2﹣3x，则f（x）＝x2﹣x﹣2
【答案】AD
【解答】解：对于A，令x﹣4＝0，则x＝4，则f（4）＝2，
∴f（x）＝ax﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（4，2），故A正确；
对于B，命题：“ x≥0，x2≥0”的否定是“ x≥0，x2＜0”，故B错误；
对于C，∵f（x）的定义域为[﹣1，3），
∴f（2x+1）定义域为满足﹣1≤2x+1＜3，
解得﹣1≤x＜1，∴f（2x+1）的定义域为[﹣1，1），故C错误；
对于D，函数f（x﹣1）＝x2﹣3x，令x﹣1＝t，则x＝t+1，
故f（t）＝（t+1）2﹣3（t+1）＝t2﹣t﹣2，
故f（x）＝x2﹣x﹣2，故D正确．
故选：AD．
▉四．由指数函数的解析式求解参数（共2小题）
14．若函数y＝（m2﹣m﹣1） mx是指数函数，则m等于（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可得，，得m＝2，
故选：C．
15．已知m＞0，a＞0且a≠1，函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）ax是指数函数，且f（2）＝4．
（1）求m和a的值；
（2）求f（2x）﹣3f（x）﹣4＞0的解集．
【答案】（1）m＝5，a＝2；
（2）（2，+∞）．
【解答】解：（1）由题意得，m2﹣4m﹣4＝1，解得m＝5或m＝﹣1（不合题意，舍去），
由f（2）＝a2＝4，a＞0且a≠1，解得a＝2．
（2）由（1）得，f（x）＝2x，所以不等式f（2x）﹣3f（x）﹣4＞0，即22x﹣3×2x﹣4＞0，
设2x＝t（t＞0），原不等式化为t2﹣3t﹣4＞0，解得t＞4或t＜﹣1（不合题意，舍去），
所以t＞4，即2x＞4，解得x＞2，所以原不等式的解集为（2，+∞）．
▉五．指数函数的定义域（共5小题）
16．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C． D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）的定义域为[﹣2，2]，
∴g（x）需满足，解得﹣1≤x≤0，
∴g（x）的定义域为[﹣1，0]．
故选：B．
17．函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0] B．（﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]
【答案】A
【解答】解：函数中，
令，
解得﹣2＜x≤0，
所以函数f（x）的定义域为（﹣2，0]．
故选：A．
18．已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，3]
【答案】A
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，
∴由0≤2x≤2，解得0≤x≤1．
∴由，解得0≤x≤1．
∴函数的定义域为[0，1]．
故选：A．
19．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为
所以，
所以函数要有意义则：，
即，
即，
所以函数的定义域为：．
故选：D．
（多选）20．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y轴对称
D．函数f（x）在R上为减函数
【答案】AB
【解答】解：A：因为2x＞0，所以函数f（x）的定义域为R，故A正确；
B：，
由，
所以函数f（x）的值域为（﹣1，1），故B正确；
C：因为，
所以函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D：因为函数y＝2x+1是增函数，因为y＝2x+1＞1，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误．
故选：AB．
▉六．指数函数的值域（共9小题）
21．已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B． C． D．
【答案】D
【解答】解：集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），
B＝{y|y＝2x，x∈A}，
故A∩B＝（）．
故选：D．
22．若集合，B＝{y|y＝2025x}，则A∪B＝（　　）
A．R B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
【答案】A
【解答】解：集合{x|x≤1}，B＝{y|y＝2025x}＝{y|y＞0}，
则A∪B＝R．
故选：A．
23．已知集合，，则A∩B＝（　　）
A．[0，2] B．（0，2） C．[1，2] D．（1，2]
【答案】B
【解答】解：因为集合{x|0≤x≤2}，{y|0＜y＜2}，
则A∩B＝（0，2）．
故选：B．
24．若集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y}，M∪N＝（　　）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
【解答】解：因为集合M＝{y|y＝2x}＝（0，+∞），
集合N＝{x|y}＝[1，+∞），
所以M∪N＝（0，+∞）．
故选：A．
25．设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．a＜2且a≠1
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，f（2）＞f（3），
则函数f（x）在R上单调递减，
故0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．
故选：A．
26．函数y（﹣3≤x≤1）的值域是　[3﹣9，39]　 ．
【答案】[3﹣9，39]
【解答】解：设t＝﹣2x2﹣8x+1＝﹣2（x+2）2+9，
∵﹣3≤x≤1，∴当x＝﹣2时，t有最大值是9；当x＝1时，t有最小值是﹣9，
∴﹣9≤t≤9，由函数y在定义域上是减函数，
∴原函数的值域是[3﹣9，39]．
故答案为：[3﹣9，39]．
27．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16）．
（1）试求f（x）的解析式，并求；
（2）若，求实数m的值．
【答案】（1）f（x）＝2x，f（）；
（2）m＝0或m＝2．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16），
所以f（4）＝a4＝16，
所以a＝2，
故f（x）＝2x，f（）；
（2）若f（﹣2），
所以m2﹣2m﹣2＝﹣2，
解得m＝0或m＝2．
28．已知关于x的方程有正根，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解答】解：当x＞0时，3x＞1，
∵关于x的方程有正根，
∴，即，
即，即（3a﹣2）（a﹣5）＜0
解得，
故a的范围为（）．
29．已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（x）的图象过点（0，﹣1）和（3，6），求f（x）在R上的值域；
（2）若f（x）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】（1）（﹣2，+∞）；
（2）或．
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1），且f（x）的图象过点（0，﹣1）和（3，6），
由题可知f（0）＝a0﹣b＝1﹣b＝﹣1，f（3）＝a3﹣b＝6，
解得a＝2，b＝2，所以f（x）＝2x﹣2．
因为2x＞0，所以2x﹣2＞﹣2，所以f（x）在R上的值域为（﹣2，+∞）．
（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝a﹣b，，
因此，解得或a＝0（舍去）．
当a＞1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以，f（x）min＝f（1）＝a﹣b，
因此，解得或a＝0（舍去）．
所以或．
▉七．指数函数图象特征与底数的关系（共7小题）
30．已知实数a，b满足a＝log512+log245+log254，5a+12a＝13b，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．b＞a＞2 D．a＞b＞2
【答案】D
【解答】解：∵log524＞0，
∴a＝log512+log245+log254＝log512+log245+log52＝log524+log245
＝log52422；
又∵5a+12a＝13b，∴13b＝5a+12a＞52+122＝132，∴b＞2；
令g（x）＝5x+12x﹣13x，（x＞2），
则g（x）＝52 5x﹣2+122 12x﹣2﹣132 13x﹣2＜（52+122） 12x﹣2﹣132 13x﹣2
＝169（12x﹣2﹣13x﹣2）＜0，
∴g（x）＝5x+12x﹣13x＜0，（x＞2），∴5a+12a﹣13a＜0，
∴5a+12a＜13a，∴13b＜13a，∴b＜a，∴a＞b＞2．
故选：D．
31．已知a＞0且a≠1，则函数y＝ax+a与函数y＝ax﹣a在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：对于A，B，由图象得a＞1，且对于y＝ax﹣a，当x＝0时，y＝﹣a，
则﹣a＜﹣1，故A正确，B错误，
对于C，由题意得0＜a＜1，则﹣1＜﹣a＜0，与图象不符，故C错误，
对于D，由指数函数性质结合图象得0＜a＜1，
对于y＝ax+a，当x＝0时，y＝a0+a＝1+a，则1＜a+1＜2，与图象不符，故D错误．
故选：A．
32．下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝x﹣1 D．y＝x4
【答案】D
【解答】解：对于A，y＝f（x），定义域为R，且f（﹣x）f（x），所以f（x）是偶函数，
当x＜0时，f（x）2x为指数函数，且底数a＝2＞1，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，不满足题意；
对于B，y，定义域为[0，+∞），所以函数y为非奇非偶函数，不满足题意；
对于C，y＝f（x）＝x﹣1，定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）f（x），所以f（x）是奇函数，不满足题意；
对于D，y＝f（x）＝x4，定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）4＝x4＝f（x），所以f（x）是偶函数，
f（x）＝x4是幂函数，当x＞0时，f（x）＝x4为单调递增函数，
因为f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数，满足题意．
故选：D．
33．若实数x，y，z满足2x＝4y＝﹣log2z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．z＞y＞x B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．y＞z＞x
【答案】D
【解答】解：令2x＝4y＝﹣log2z＝t＞0，可得2x＝4y＝log0.5z＝t，
在同一坐标系内分别作出y＝2x，y＝4x，y＝log0.5x，y＝t的图象，如图所示：
其中x，y，z分别是直线y＝t与y＝2x，y＝4x，y＝log0.5x的交点横坐标，
当0＜t＜1时，由函数的图象知，z＞y＞x；
当t＝1时，由函数的图象知，z＞y＝x；
当t＞1时，由函数的图象知，z＞y＞x，x＞y＝z，x＞y＝z，x＞y＞z，均有可能；
结合选项知，y＞z＞x不可能．
故选：D．
34．已知函数y＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），则m+n＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】C
【解答】解：已知函数y＝ax+2+1（a＞1）的图象恒过定点（m，n），
令x+2＝0，解得：x＝﹣2，即m＝﹣2；
当x＝﹣2时，y＝a﹣2+2+1＝2，所以n＝2，
综上可得：m+n＝﹣2+2＝0．
故选：C．
（多选）35．下列命题中，正确的有（　　）
A．若函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为
B．若函数，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
【答案】ABD
【解答】对于A，因为函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），
则﹣3＜x＜4，所以﹣1＜x+2＜6，
所以函数f（x）的定义域为（﹣1，6），
由，得，解得，
所以函数g（x）的定义域为，故A正确；
对于B，令，则x＝（t+1）2，
则f（t）＝（t+1）2﹣3（t+1）＝t2﹣t﹣2，（t≥﹣1），
所以f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1），故B正确；
对于C，关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为﹣2，3且a＜0，
则，所以b＝﹣a，c＝﹣6a，
则8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故C错误；
对于D，令x﹣1＝0，则x＝1，f（1）＝﹣1，
所以函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点（1，﹣1），
所以m＝1，n＝﹣1，
则，其图象不过第四象限，故D正确．
故选：ABD．
36．函数y＝a2x﹣4﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点　（2，﹣1）　 ．
【答案】（2，﹣1）．
【解答】解：令2x﹣4＝0，解得x＝2，
将x＝2代入函数y＝a2x﹣4﹣2，得y＝a0﹣2＝1﹣2＝﹣1，
即函数y＝a2x﹣4﹣2的图象恒过点（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
▉八．指数函数及指数型复合函数的图象（共7小题）
37．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x| B．
C．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|
【答案】C
【解答】解：令，
易知g（x）+g（﹣x）＝0，h（x）＝h（﹣x），u（x）＝u（﹣x），n（x）＝n（﹣x），
即g（x），h（x），u（x），n（x）分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知f（x）为奇函数，且在x＝0处无定义，故排除A，
显然对于BD选项，f（x）＝0无根，故BD排除；
对于C选项，f（﹣x）＝（4﹣x﹣4x）log2|x|＝﹣（4x﹣4﹣x）log2|x|，为奇函数，
且f（x）＝0可得x＝1和x＝﹣1，故C成立．
故选：C．
38．已知函数f（x）＝|3x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．3﹣a＜3c D．3a+3c＜2
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝|3x﹣1|的图象如下图所示：
对于A，B，由图可知若a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），
则a＜0，c＞0，b的值可正，可负，也可以为零，故A错误，B错误；
对于C，当时，，
满足f（a）＞f（c）＞f（b），
但是3c，故C错误；
对于D，f（a）＝|3a﹣1|＝1﹣3a，f（c）＝|3c﹣1|＝3c﹣1，
由f（a）＞f（c）可得1﹣3a＞3c﹣1，
即3a+3c＜2，故D正确．
故选：D．
39．函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵y＝e﹣|x﹣1|，
∴函数函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是：
故选：B．
40．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），则m+n的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．（0，+∞） D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），
则1﹣2m＝2n﹣1，即2＝2m+2n2，当且仅当m＝n时取等号，显然等号无法取得，
则m+n＜0．
故选：A．
41．若a，b，c满足ax＝by＝cz（a＞1，b＞1，c＞1），且，xyz≠0），则有序实数组（a，b，c）可能是（　　）
A．（2，3，4） B．（3，2，4） C．（3，2，12） D．（2，3，12）
【答案】C
【解答】解：设ax＝by＝cz＝k，
则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，
因为，xyz≠0），
所以logka+2logkb﹣logkc＝0，即logk0，
所以1，即ab2＝c，
结合选项可知，C正确．
故选：C．
42．要使的图象不经过第一象限，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．（﹣∞，﹣1]
【答案】B
【解答】解：函数的图象与y轴的交点坐标为，且为减函数，
要使f（x）图象不经过第一象限，则，解得，
所以t的取值范围是（﹣∞，]．
故选：B．
43．已知函数，其中a为常数，且函数的图象过点（﹣1，5），则a＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：将点（﹣1，5）代入f（x）中，得5，解得a＝1．
故答案为：1．
▉九．指数函数的单调性与最值（共4小题）
44．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【答案】D
【解答】解：由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，+∞）上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．
所以b＞a＞c．
故选：D．
45．已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝mx﹣n不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：由指数函数的性质可知，f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点M（2，2），
则函数g（x）＝mx﹣n＝2x﹣2经过一，三，四象限．
故选：B．
46．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】C
【解答】解：a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，，
因为f（x）＝2x是定义在R上的单调递增函数
所以c＞a＞b．
故选：C．
47．已知函数f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1），若，则[f（m+n）]2＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由于f（x）＝amx+1+（n﹣3）a的图象恒过定点（2，1），所以2m+1＝0，且f（2）＝a2m+1+（n﹣3）a＝1，故且（n﹣3）a＝0，
由于a＞0，所以n＝3，
又，即，故a＝2，
因此，故．
故答案为：．
▉十．由指数函数的单调性求解参数（共1小题）
48．设函数y＝f（x）和y＝f（﹣x），若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”，已知区间[1，2024]为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：函数y＝f（x）和y＝f（﹣x），若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”，
函数在R上单调递减，函数y＝2x在R上单调递增，
若区间[1，2024]为函数的“稳定区间”，
则函数与函数y＝f（﹣x）＝|2x﹣a|在区间[1，2024]上同增或者同减，
①若两函数在区间[1，2024]上单调递增，则在区间[1，2024]上恒成立，
可得，解得；
②若两函数在区间[1，2024]上单调递减，则在区间[1，2024]上恒成立，
即，无解，
综上所述；a的范围为{a|}．
故选：A．
▉十一．求指数函数及指数型复合函数的最值（共1小题）
49．已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．记集合A为f（x）的定义域．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当x∈A时，求函数的值域
【答案】（1）函数f（x）为奇函数，由题意知，解得﹣1＜x＜1，A＝{x|﹣1＜x＜1}，
因为，
且，
所以函数f（x）为奇函数；
（2）．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
由题意知，解得﹣1＜x＜1，A＝{x|﹣1＜x＜1}，
因为，
且，
所以函数f（x）为奇函数；
（2）因为t＝x2+2x的图象开口向上，对称轴x＝﹣1，
可知t＝x2+2x在（﹣1，1）内单调递增，
又因为在定义域上单调递减，
可知函数在（﹣1，1）内单调递减，
且g（﹣1）＝2，，即，
所以函数的值域是．
▉十二．指数函数的实际应用（共6小题）
50．奶茶温度衰减满足函数关系T＝k bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟
【答案】C
【解答】解：因为T＝k bt+M，其中T为t时的温度，M，k，b为常数，b＞0；
且M＝20，t＝0时，T＝100，t＝10时，T＝80，
所以，解得k＝80，b10，
所以T＝80 20，
令T＝80 20＝50，得，
所以lglg，即（lg3﹣2lg2）＝lg3﹣3lg2，
所以t35，
所以该奶茶适宜饮用温度为50℃，制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟．
故选：C．
51．我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里常数I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，则40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍
【答案】D
【解答】解：因为音量η＝10lg，所以I＝I0 ，
所以102＝100，
即40dB时的声音强度I是20dB时声音强度I′的100倍．
故选：D．
52．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现在加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是（　　）
A．﹣18 B．﹣15 C．15 D．18
【答案】A
【解答】解：因为加密密钥为y＝ax（a＞0，且a≠1），且“3”通过加密后得到密文“2”，
所以a3＝2，
若接收方接到密文“，
则ax，
所以ax（a3）﹣6＝a﹣18，
所以x＝﹣18，
即若接收方接到密文“，则解密后得到的明文是﹣18．
故选：A．
53．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog220，
所以klog21024＝20，解得k2，
所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log22log24＝2×2＝4．
故选：B．
54．某种药物在人体内的浓度C（t）（单位：mg/L）随时间t（小时）的衰减规律为：，其中C0为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知ln2≈0.693）（　　）
A．12 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【解答】解：由题意，令C（t），即C0 e﹣0.05t，则e﹣0.05t，
化为对数式，可得﹣0.05t＝ln2ln2≈﹣1.386，所以t≈27.72≈28．
故选：C．
55．塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为为初始量，r为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），v为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：ln5≈1.6，lg2≈0.3）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变．已知2年就可降解初始量的20%．要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）144年；
（2）26年．
【解答】解：（1）由题可知，所以，
所以，
解得t≈144，所以残留量为初始量的20%，大约需要144年．
（2）根据题意当t＝2时，y＝（1﹣20%）y0，，
∴，若残留量不超过初始量的5%，则，即，
两边取常用对数，
解得，
所以至少需要26年．
▉十三．指数函数综合题（共5小题）
56．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c＝M，则a，b，c
代入到B中，左边，
而右边，
左边等于右边，B正确；
代入到A、C、D中不相等．
故选：B．
57．定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得成立，则称函数f（x）为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（　　）
A．f（x）＝lnx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝esinx D．f（x）＝cosx
【答案】B
【解答】解：对于A，由，
当x1＝1时，则不存在x2满足方程，故A不符合题意；
对于B，由，
则任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2满足x1+x2＝0，故B符合题意；
对于C，由，
得sinx1+sinx2＝0，
当x1＝0时，则sinx2＝0，x2＝kπ，k∈Z，则x2不唯一，故C不符合题意；
对于D，由，
当cosx1∈[0，1）时，则不存在x2满足方程，故D不符合题意．
故选：B．
58．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），g（x）＝﹣x2+2x+2，设函数F（x）＝min{f（x），g（x）}，（min{p，q}表示p，q中的较小值），若F（x）＜2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（0，1）或（1，2）
C．（1，） D．（0，1）或（1， ）
【答案】D
【解答】解：由题意，0＜a＜1时，F（x）＜2恒成立，
a＞1时，令﹣x2+2x+2＝2，可得x＝2，
利用指数函数，∵F（x）＜2恒成立，
∴可得a2＜2，
∴a，
∴1＜a，
综上，a的取值范围（0，1）或（1， ）．
故选：D．
59．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数的值域为[2，+∞），求不等式loga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在区间上的最大值是2．
a＞1时，f（x）在区间上单调递增，
0＜a＜1时，f（x）在区间上单调递减，
则或，解得或a＝4．
（2）令y＝2m，m＝x2﹣2x+a，y的最小值为2，y＝2m单调递增，则m＝x2﹣2x+a的最小值为1，
则当x＝1，m＝1﹣2+a＝1，所以a＝2，
loga（1﹣t）≤1，得0＜1﹣t≤2，
解得﹣1≤t＜1，即不等式的解集为[﹣1，1）．
60．已知函数f（x）＝2x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）＝t，p（t）＝g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））＝0无实根，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）假设f（x）＝g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（﹣x）＝g（﹣x）+h（﹣x），即f（﹣x）＝g（x）﹣h（x）②，
由①②解得，．
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵，．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）＝2x+1，
∴，．
由，则t∈R，
平方得，∴，
∴p（t）＝t2+2mt+m2﹣m+1．
（2）∵t＝h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴．
∴p（t）＝t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于恒成立，
∴对于恒成立，
令，则，
∵，∴，故在上单调递减，
∴，∴为m的取值范围．
（3）由（1）得p（p（t））＝[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，
若p（p（t））＝0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，
方程①的判别式Δ＝4m2﹣4（m2﹣m+1）＝4（m﹣1）．
1°当方程①的判别式Δ＜0，即m＜1时，方程①无实根．
2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，
方程①有两个实根，
即②，
只要方程②无实根，故其判别式，
即得③，且④，
∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．
综上，m的取值范围为m＜2．

展开更多......

收起↑