资源简介

第2章第2节 从位移的合成到向量的加减法
题型1 平面向量的加法 题型2 平面向量的减法
题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型4 平面向量的加减混合运算
▉题型1 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
2．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
3．（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
5．（　　）
A． B． C． D．
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则||＝　 ．
▉题型2 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ+μ的值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　　 ．
▉题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
9．若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
11．P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
▉题型4 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
12．化简：（　　）
A． B． C． D．
13．化简（　　）
A． B． C． D．
14．已知正六边形ABCDEF，则（　　）
A． B． C． D．
15．等于（　　）
A． B． C． D．
16．2（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足，N是AC上的点且满足，CM与BN交于P点，且，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）18．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是 （　　）
A． B． C． D．
（多选）19．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）20．下列四个等式中，正确的是（　　）
A． B．﹣（）
C． D．（）
21．的化简结果为 　　 ．
22． 　　 ．
23．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知（2，1），（2，﹣2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
24．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）（）+（）．第2章第2节 从位移的合成到向量的加减法
题型1 平面向量的加法 题型2 平面向量的减法
题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型4 平面向量的加减混合运算
▉题型1 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，，
如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD，
则，所以．
故选：A．
2．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，
则．
故选：B．
3．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据平面向量的加法运算及数乘运算可知，
．
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
5．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由向量的加法运算法则可知，．
故选：B．
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则||＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2
∵||2＝||2+||2+2|| ||cos∠DAB＝4+4+2×2×212，
∴||＝||＝2，
故答案为：2．
▉题型2 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ+μ的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，则D（0，0），C（2，0），A（0，2），
B（1，2），E（0，1）．
（﹣2，2），（﹣2，1），（1，2），
∵，∴（﹣2，2）＝λ（﹣2，1）+μ（1，2），
∴，
解得λ，μ．
则λ+μ．
故选：B．
8．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　（3，1）　 ．
【答案】（3，1）．
【解答】解：，，
则β相对于α的位移为．
故答案为：（3，1）．
▉题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
9．若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示：
对于A，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故A正确；
对于B，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确；
对于C，利用向量减法的三角形法则得，故C正确；
对于D，∵与是相等的非零向量，∴，故D错误．
故选：D．
10．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
【答案】B
【解答】解：如图，
，
∴，即．
故选：B．
11．P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解答】解：P是△ABC所在平面上一点，且||﹣||＝0，
∴||﹣|（）+（）|＝0，
即||＝||，
∴||＝||，
两边平方并化简得 0，
∴⊥，
∴∠A＝90°，
则△ABC是直角三角形．
故选：B．
▉题型4 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
12．化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量的线性运算，．
故选：C．
13．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据向量的线性运算可知，．
故选：C．
14．已知正六边形ABCDEF，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
15．等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据向量的运算法则，可得222．
故选：B．
16．2（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
17．如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足，N是AC上的点且满足，CM与BN交于P点，且，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设，
由，
又由，
所以，解得，可得，
因为，所以，所以．
故选：D．
（多选）18．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）19．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解答】解：由向量的数乘运算可知，，故A正确．
由向量的数乘运算可知，，故B正确．
由向量的数乘运算可知，，故C错误．
由向量的数乘运算可知，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）20．下列四个等式中，正确的是（　　）
A． B．﹣（）
C． D．（）
【答案】ABCD
【解答】解：对于A，由向量的加法满足交换律得，故A正确；
对于B，由向量的运算法则得﹣（），故B正确；
对于C，由向量运算法则得，故C正确；
对于D，由向量运算法则得，故D正确．
故选：ABCD．
21．的化简结果为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
22． 　　 ．
【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
23．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知（2，1），（2，﹣2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）+（λ）（1+λ）．
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得k，
即（1+λ）k（﹣2），
得（1+2k）（k﹣1﹣λ）．
∵，是平面内两个不共线的非零向量，
∴，解得k，λ．
（2）3
＝（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）＝（﹣7，﹣2）．
∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴．
设A（x，y），则（3﹣x，5﹣y），
∵（﹣7，﹣2），
∴，解得，即点A的坐标为（10，7）．
24．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）（）+（）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．

展开更多......

收起↑