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第2章第3节 从速度的倍数到向量的数乘
题型1 平面向量的平行向量 题型2 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
1．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
5．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
6．设，为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）7．下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
（多选）8．已知向量，，，则可能是（　　）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣8） D．（﹣4，8）
（多选）9．下列说法不正确的是（　　）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数λ使得
D．若是两个单位向量，且，则
10．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为　　 ．
11．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为　　 ．
12．已知向量，当x＝ 　　 时，与方向相反．
13．设A，B，C，D为平面内的四点，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，﹣3）．
（1）若，求点D坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数k的值．
▉题型2 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
14．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
15．已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
16．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
17．在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t＝（　　）
A． B． C． D．
18．已知D为△ABC所在平面内一点，且，若S表示面积，则（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
（多选）20．△ABC中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且为正实数），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．3λ+2μ＝2
C．λμ的最大值为
D．的最小值为
21．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 　 ．
22．在△ABC中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足（λ＞0，μ＞0），则λ与μ的关系为 　　 ．
23．如图，在△ABC中，，点O为AD和CE的交点，设，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，求的取值范围．第2章第3节 从速度的倍数到向量的数乘
题型1 平面向量的平行向量 题型2 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
1．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
2．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量，
得，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y，当且仅当，时取等号，
所以x+2y的最小值为．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
4．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：，
由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以．
故选：A．
5．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由题意知，即，解得，．
故选：B．
6．设，为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由，可得，
因为为常数，所以由向量共线定理可得，
所以由“”可以推出“”，
当时，由向量共线定理可得，
此时λ或λ，
所以由“”推不出“”，
所以“”是“”充分不必要条件．
故选：A．
（多选）7．下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
【答案】ACD
【解答】解：若是共线的单位向量，则或，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若，的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时共线，故C错误；
若，如且时，
则不存在实数λ，使得成立，故D错误．
故选：ACD．
（多选）8．已知向量，，，则可能是（　　）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣8） D．（﹣4，8）
【答案】AD
【解答】解：向量，，，
∵，∴设，∴．
∵，∴λ2+（﹣2λ）2＝5λ2＝16×[12+（﹣2）2]＝80，即λ2＝16，解得λ＝±4．
∴或．
故选：AD．
（多选）9．下列说法不正确的是（　　）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数λ使得
D．若是两个单位向量，且，则
【答案】CD
【解答】解：对于A，若，，∥，则与的方向相同或相反，选项A正确；
对于B，由为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，且，所以与共线，选项B正确；
对于C，当，且为非零向量时，此时λ不存在，选项C错误；
对于D，由，得2 1，即，解得，
所以，选项D错误．
故选：CD．
10．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：向量不共线，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，由λ＞0，μ＞0，所以，
当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4．
故答案为：4．
11．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：因为A，B，D三点共线，所以，
又，
所以存在实数λ使得，
所以，
解得m＝λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．已知向量，当x＝ 　﹣2　 时，与方向相反．
【答案】﹣2．
【解答】解：当时，x2﹣1×4＝0，解出x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，，此时，与方向相同，不满足条件；
当x＝﹣2时，，此时，与方向相反，满足条件．
故答案为：﹣2．
13．设A，B，C，D为平面内的四点，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，﹣3）．
（1）若，求点D坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数k的值．
【答案】（1）（3，﹣1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为A（﹣2，0），B（0，4），C（2，﹣3），设D（x，y），
所以，，
因为，所以，解得，
所以点D坐标为（3，﹣1）；
（2）由题意，，，
所以，，
因为与平行，
所以（4k+7）×6＝（﹣10）×（2k﹣2），解得．
▉题型2 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
14．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，D是AC的中点，则，
∴，
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴，故x2+y2的最小值为．
故选：A．
15．已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：利用已知条件：则．
故选：A．
16．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，
建立如图所示的直角坐标系．
所以（2，4）＝（2x+2y，﹣2x+2y），
则作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
AB＝BC＝2，AD＝AC，
则A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（2，4），
则，（2，﹣2），．
因为，
所以，解得，
故．
故选：B．
17．在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为C、M、P三点共线，点Q是BC中点，
所以λ（1﹣λ）λ（1﹣λ），
又因为P是AB上靠近点A三等分点，
所以，
因为，
所以λ（1﹣λ），
所以，解得．
故选：C．
18．已知D为△ABC所在平面内一点，且，若S表示面积，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，过D作DM∥AC，DN∥AB，
则四边形AMDN为平行四边形，
作DG⊥AB，DH⊥AC，
因，则，
设S＝S△ABC，
则，
，
，
则．
故选：A．
19．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：由于，m＞0，n＞0，
所以，
所以1+41+4+4＝9（n＝2m），
故选：C．
（多选）20．△ABC中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且为正实数），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．3λ+2μ＝2
C．λμ的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【解答】解：，故A正确；
由2，可得，
又，D，P，C三点共线，
则，即3λ+2μ＝2，故B正确；
由λ，μ为正实数，，得，当且仅当3λ＝2μ时等号成立，故C错误；
，当且仅当λ＝μ时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
21．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，
设，由得，
故
，
由得，
故，
由于B，P，E三点共线，故，则，
又，故，
所以．
故答案为：．
22．在△ABC中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足（λ＞0，μ＞0），则λ与μ的关系为 　λ+3μ＝1　 ．
【答案】λ+3μ＝1．
【解答】解：在△ABC中，D为AC上的一点，满足，所以，
若P为BD上的一点，满足（λ＞0，μ＞0），
所以，
因为B，P，D三点共线，
所以λ+3μ＝1．
故答案为：λ+3μ＝1．
23．如图，在△ABC中，，点O为AD和CE的交点，设，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，求的取值范围．
【答案】（1）x，y；（2）（0，）．
【解答】解：（1）在△ABC中，，2，点O为AD和CE的交点，且，，设λ，μ，
根据向量的减法法则得，λλ（），
μμ（），
所以λ，（1﹣μ）μ；
由平面向量基本定理得，解得，
又因为xy，所以x，y；（2）因为F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，
由（1）知，，
根据向量的减法法则得，（）（）
；
因为C、F、A三点共线，所以设k，与的夹角为θ，其中θ∈（0，π），
根据向量的加法和减法法则得：kk（）
k（）＝（k）（k），
根据向量减法法则得：，
因为OF⊥AC，根据平面向量数量积运算得：
[（k）（k）] （）＝0，
即（k）（k）（2k） 0，
根据平面向量数量积公式得：100（k）+25（k）+50（2k）cosθ＝0，
所以cosθ，
因为两向量夹角θ∈（0，π），所以cosθ∈（﹣1，1），
所以﹣11，解得0＜k，
所以的取值范围是（0，）．

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